Práctica, preguntas y respuestas - \"Aplicaciones de la función cuadrática\" PDF

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Actividad "Aplicaciones de la función cuadrática" Incluye preguntas, respuestas y gráficos...

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Actividad(de(Aprendizaje(Activo(para(trabajar(el(tema(de(Aplicaciones(de(la( Función(cuadrática( Los"puntos"más"importantes"que"necesitaremos"determinar"de"la"gráfica"de"una"función"cuadrática" son:"

Vértice:"Como"es"el"punto"más"alto"o"más"bajo"de"la"parábola"nos"representa"el"valor"máximo"o" el"mínimo"de"la"situación"que"estemos"modelando"con"la"función"cuadrática." 1)

Intersecciones,con,los,ejes:"Generalmente"nos"muestran"el"intervalo"de"valores" en"los"que"nuestro"modelo"es"válido."

2)

Intersecciones,de,la,gráfica,con,otras,gráficas:"Esto"nos"sirve"para" determinar"puntos"de"equilibrio"de"mercado."

Trabajaremos"éstos"temas"en"el"orden"presentado." 1) Ya"vimos"anteriormente"como"podemos"determinar"el,vértice"de"una"ecuación" cuadrática,"ahora"veremos"su"aplicación"y"utilidad." Efecto'de'publicidad'sobre'ganancias:' Si"tenemos"que"la"ecuación"ganancia"trimestral"de"una"empresa"está"dada"por:"

1 p( x) = − x 2 + 7 x + 30 3

0 ≤ x ≤ 50"

Donde" (x)" es" la" cantidad" de" dinero" (en" miles" de" dólares)" que" la" empresa" invierte" en" publicidad." cada"trimestre:" a) Determine"(analíticamente)"la" cantidad"que"la" empresa"deberá" invertir" para" obtener" una" ganancia"trimestral"máxima." V"["Nb"/2a"",f(Nb"/2a"")],"""Nb"/2a""=N7/(2(N1/3))"=10.5" ""

X=''10.5'DOLARES'' b) Determine"(analíticamente)""la"máxima"ganancia"trimestral"que"puede"lograr"la"empresa." De"la"ecuación"anterior""Y'='P(X)=''D1/3'(10.5)

2''''

+7(10.5)'+30='66.75'mil'dólares''

c) Utilizando"un"graficador,"traza"la"gráfica,""insértala"en"éste"espacio"y"responde,"en"base"a" ella:"

1"

" " i)

¿Qué"significa"que"el"punto"de"inicio"de"la"gráfica"sea"(0, 30)?" Que"se"tiene"un"capital"inicial"de"30"mil"dólares""

ii)

iii)

¿Qué" ganancia" obtendríamos" con" una" inversión" en" publicidad" de" 6000" mil" dólares?"" P(6)="N"1/3"(6)2"+7(6)"+30"=60"mil"dólares"" ¿En"qué"punto"de"la"gráfica"volvemos"a"tener"ésta"misma"ganancia?"" 60"=""N"1/3"x2"+7x"+30,"multiplicando"todo"por"N3" N180"="x"2N21x"N90" x"2N21x"N90+180=0" x"2N21x"+90=0","factorizando" (xN6)(x"N15)"=0"

Por"lo"tanto"vuelve"a"adquirirse"una"ganancia"de"60"mil"dólares"es"en'x'=15'

¿Por"qué"crees"que"está"ocurriendo"esto?" Porque" la" ecuación" ganancia" tiene" una" forma" cuadrática," con" un" punto" máximo" (10.5,"66.75)"y"donde"los"puntos"que"forman"su"grafica"son"simétricos"respecto"al" eje" “y”" (Ganancias)." Por" lo" tanto" al" incrementar" la" inversión" en" publicidad" las" ganancias"comienzan"a"decrecer." iv) ¿Qué"significa,"dentro"de"nuestro"problema,"el"punto"(25,0)?" Que"cuando"se"invierten"25"mil"dólares,"ya"no"se"obtienen"ganancias"pero"tampoco"hay" pérdidas."" Oferta'de'un'producto'con'respecto'al'precio'unitario.' La"función"oferta"para"cierto"producto"está"dada"por:"

p = s ( x) = 0.01x 2 + 0.1x + 3 " Donde"(p)"es"el"precio"unitario"al"mayoreo,"en"dólares,"(x)"representa"la"cantidad"de"productos"que" el"proveedor"pondrá"en"el"mercado"(medida"en"millares)." 2"

a) Determina,"analíticamente,"¿Cuál"es"el" precio"mínimo"para"el"cual"el" proveedor"colocará" los"productos"en"el"mercado?" V"["Nb"/2a"",f(Nb"/2a"")],"""Nb"/2a""=0.1/2(0.01)="N5" " 2 Por"lo"tanto"el"precio"es"y='p(x)'='0.01(D5) ''+0.1(D5)'+3=2.75'dólares"" " b) Utilizando"un"graficador,"grafica"la"función,"insértala"en"éste"espacio"y"responde,"en"base"a" la"gráfica:"

" " " i)

¿Tiene"sentido,"para"nuestro"problema,"la"parte"negativa"de"la"gráfica?,"¿Por"qué?" No,"sería"un"absurdo""porque"significaría"que"para"vender"un"producto"tengo"que" pagar."" ii) ¿La" gráfica" es" siempre" creciente?" En" toda" grafica" de" parábola" hay" un" intervalo" donde"crece"y"otro"donde"decrece." "¿Crees"que"pueda"“crecer"al"infinito”?""Matemáticamente"si"" iii) iv) ¿Qué"podría"“frenar”"el"crecimiento"de"la"gráfica?" la"cantidad"de"productos"que"el" proveedor"pondrá"en"el"mercado" 2) Con"ayuda"de"un"graficador,"encuentre'las'intersecciones'de'la'gráfica'de'la'función'con' el'eje'(x),'si'existen,"y"trace"la"gráfica"e"inserta"la"imagen"en"éste"documento."(Este"dato" nos"permite,"en"muchas"ocasiones,"la"definición"del""dominio"en"el"que"es"válido"nuestro" modelo"dentro"del"problema)" " 𝟑

a) 𝑓 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐" 𝟐

" " " "

3"

" " b) 𝑓 𝒙 = 𝟏. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑. 𝟐𝒙 − 𝟏. 𝟐"

"" "

" " c) 𝑓 𝒙 = 𝟐. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒. 𝟏𝒙 + 𝟑" " " " " "

" " " " " 4"

" 3) Utilizando'un'graficador,"determine"el"o"los"puntos"de"intersección"con"las"gráficas." Inserte"las"imágenes"en"el"documento." a) 𝑓 𝒙 = −𝟎. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟎. 𝟔𝒙 + 𝟑. 𝟐!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!𝒈 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏. 𝟐𝒙 − 𝟒. 𝟖"

"

"

" b) 𝑓 𝒙 = 𝟎. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏. 𝟑𝒙 − 𝟑!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!𝒈 𝒙 = −𝟏. 𝟑𝒙 + 𝟐. 𝟖" " "

' Equilibrio'del'Mercado.' Las"funciones"de"demanda"y"oferta"mensual"de"cierta"marca"de"productos"están"dadas"por:" 𝑝 = −0.2𝑥 ! − 1.2𝑥 + 50""Demanda" 𝑝 = 0.1𝑥 ! + 3.2𝑥 + 25""""""Oferta"" Respectivamente,"donde"(p)"se"mide"en"dólares"y"(x)"en"centenas"de"productos." a) Trace"la"gráfica"de"ambas"funciones"e"inserte"en"éste"documento."

5"

" b) Determine"el"precio"y"la"cantidad"de"equilibrio." La"cantidad"seria""el"valor"positivo"de"la"intersección"de"las"dos"graficas""

"Centenas"de"producto" Y"el"precio"" P="0.1(4.3761)2"+3.2(4.3761)"+25""="40.92"dólares""

6"...