Prácticas operaciones básicas Matlab PDF

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Extracto libro MATLAB...

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1 ´ EN MATLAB MANUAL DE PR ACTICAS

1.1

Introducci´ on a MATLAB

MATLAB es un programa computacional que ofrece al usuario un ambiente adecuado para diversos tipos de c´alculos (en particular, aquellos que se relacionan con manipulaciones de matrices). MATLAB opera interactivamente ejecutando, una por una, las instrucciones del usuario, conforme se van introduciendo. MATLAB tiene muchas funciones predefinidas; sin embargo, es posible que los usuarios construyan sus propias funciones a partir de comandos y funciones de MATLAB (se har´a en cursos posteriores). Las principales caracter´ısticas de MATLAB son c´alculos predefinidos con vectores y matrices como: ✍ Aritm´etica de vectores y matrices ✍ Inversi´on de matrices y an´alisis de valores y vectores propios ✍ Aritm´etica compleja y operaciones con polinomios ✍ C´alculos estad´ısticos ✍ Despliegue de gr´aficas ✍ Dise˜ no de sistemas de control ✍ Modelos de proceso de a juste a partir del an´alisis de datos Los ejercicios siguientes est´an dise˜nados para que puedan ser calculados con MATLAB; no constituyen un tutorial completo. Existen materiales tutoriales adicionales en los manuales de MATLAB. Su finalidad, es porporcionar una introducci´ on pr´actica al programa y retomar algunos conceptos del curso de a´lgebra lineal. La pantalla cl´asica de MATLAB es la siguiente: 4

´ A MATLAB 1.1. INTRODUCCION

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Figura 1.1: Ventana de MATLAB: Ventana de comandos (Command Window), Carpeta de trabajo (Current Folder) y Espacio de Trabajo (Workspace)

Trabajando con MATLAB Las instrucciones para los c´alculos u operaciones se escriben en la ventana de comandos de MATLAB que se muestra en la figura 1.1. ✍ Lo que sigue es una introducci´on guiada a MATLAB ✍ Los ejemplos ilustrar´an algunos comandos b´asicos para traba jar. ✍ Lo que aparece a continuaci´on de >> es lo que se introduce como dato o instrucci´on. ✍ Una vez que se escribe lo que se desea, al pulsar Enter la computadora realiza la operaci´on y muestra la respuesta como ans =. ✍ La forma de representar n´ umeros y de operar en MATLAB es la misma que en las calculadoras de bolsillo. ✍ Las operaciones usuales se realizan con los siguientes s´ımbolos suma a+b

resta a-b

multiplicaci´on a*b

divisi´on a/b

potencia a^b

✍ Para que MATLAB ejecute la orden, basta presionar la tecla Enter Operaciones elementales. A continuaci´on se ilustran algunas operaciones IA - IB - IIL - IQI

´ EN MATLAB 1. MANUAL DE PRACTICAS

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Pr´ actica 1. ✍ Por ejemplo, para calcular el valor de 3 + 5 × 2 + 1, se ejecuta la instrucci´on >>3+5*2+1 al presionar Enter el resultado arrojado es

ans = 14 ✍ En cambio, al escribir >>(3+5)*2+1 ¿Cu´al es la diferencia? ✍ Es importante comentar que la jerarqu´ıa de las operaciones es respetada por MATLAB

Ejercicio 1. Escriba los comandos para realizar las operaciones indicadas en MATLAB y muestre el resultado √ 6 a) 32 − 5 4 d) 32 − 5 − 3·2 32 − 5 −4 · 7 + 23 b) √ e) −5 4 4   212 + 17 6 √ f) c) 32 − 5 − 2 0.25 − 3(1 − 3) 3

Asignaci´ on de valores a los nombres de las variables La asignaci´on de valores a variables escalares es similar a otros lenguajes de computaci´on. Teclee >>a = 4 y >>A = 4 ´ es una caracter´ıstica de Observe c´omo la asignaci´on se repite para confirmar lo que usted ha hecho. Esta MATLAB. La repetici´on se elimina terminando la l´ınea de instrucci´on con un punto y coma (;). Teclee >>b = -3; ´Algebra Lineal

1.2. VECTORES EN MATLAB

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Importante: MATLAB considera a los nombres reconociendo may´usculas y min´usculas; es decir, el nombre a no es lo mismo que el nombre A. Para ilustrar esto, introduzca >> A, a Vea c´omo sus valores son distintos. Son nombres distintos, el valor almacenado permanecer´a igual a menos que se modifique asignando de nuevo un valor. Realice la siguiente pr´actica para observar lo anterior Pr´ actica 2. Defina las variables a = −1, b = 3, c = 2, escriba en MATLAB >>a=-1, b=3,c=2 Ahora calcule la nueva variable >>x1=(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a) MATLAB realiza los c´alculo con los valores previamente definidos para a, b y c. Si modifica b = −7 y ahora calcula >>b=-7, x1=(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a) Se actualizan los valores de b y x1

1.2

Vectores en MATLAB

En MATLAB, los nombres de las variables generalmente representan cantidades matriciales. Un vector rengl´on se puede asignar como sigue: Pr´ actica 3. Para introducir el vector (1, 2, 3, 4, 5) en MATLAB se escribe: >> b = [ 1

2

3

4

5 ]

el resultado arrojado por MATLAB es b = 1

2

3

4

5

indicando que el vector ha sido guardado en la variable b

Las operaciones entre vectores en MATLAB respetan las reglas presentadas en clase: para suma ,u + v, los vectores deben tener el mismo n´ umero de componentes y la multiplicaci´on escalar, cu, c debe ser un n´umero real. La multiplicaci´on o divisi´on entre vectores no est´a definida IA - IB - IIL - IQI

´ EN MATLAB 1. MANUAL DE PRACTICAS

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Pr´ actica 4 (Operaciones con vectores). Defina los vectores en MATLAB u = 3 −2 1



v = 4 −1 7



>> u=[3,-2,1], v=[4,-1,7] Ahora presentamos los comandos para realizar operaciones ✍ Para la suma u + v escriba >> u+v el resultado es el vector u + v = 7 −3 8 ✍ Para la multiplicaci´on escalar −3u escriba



>>-3*u el resultado es el vector −3u = −9 6 −3



✍ Para el producto punto u · v usamos la traspuesta de v, v’, y la multiplicaci´on * que MATLAB interpreta como multiplicaci´on de matrices, lo cual en este caso est´ a definido al ser los ordenes de los vectores u y v ′ 1 × 3 y 3 × 1 respectivamente. Para el producto punto, u · v escriba >>u*v’ el resultado es u · v = 21 ✍ Para la magnitud del vector ||u|| =

p

32 + (−2)2 + 12 se escribe en MATLAB

>>norm(u) el resultado es ||u|| = 3.7417 ✍ Para el producto cruz u × v se usa el comando cross, escriba en MATLAB >>cross(u,v) el resultado es el vector u × v = −13i − 17j + 5k

´Algebra Lineal

1.2. VECTORES EN MATLAB

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Ejercicio 2. En los siguientes incisos, sea u = 3i − 4j − k,

v = −4i + 2j + 4k,

w = i − 7j + 6k,

t = −4i + 3j − 5k

Calcule lo que se solicita en cada inciso: a) Calcule 3u − 2v

f) Calcule el ´angulo entre u y w

b) Calcule ||u||t − (v · t)w

g) Calcule proyu v

c) Calcule w · (u + v)

h) Calcule u × w

d) Calcule (3t − 2u) · (5v + 2w)

i) Calcule 2u × (v − 3w)

e) Calcule u · w − w · t

j) Calcule ||u||(v × w) · t

Ejercicio 3. Considere los puntos en el espacio A(−3, 1, 4), B(−1, 0, 2), C (2, 1, −1), D(−3, −1, 5) a) Encuentre el ´area del paralelogramo con v´ertices adyacentes A, B y C −−→ −→ −−→ b) Encuentre el volumen del paralelep´ıpedo formado por los vectores AB y AC y AD

Ejercicio 4. Un turista regres´o de un viaje por Am´erica del Sur con divisa extranjera de las siguientes denominaciones: 1 000 pesos argentinos, 20 reales de Brasil, 100 pesos colombianos, 5 000 pesos chilenos y 50 colones de Costa Rica. En d´olares, un peso argentino val´ıa $0.3174, los reales brasile˜ nos $0.4962, los pesos colombianos $0.000471, los pesos chilenos $0.00191 y los colones $0.001928. a) Exprese la cantidad de cada tipo de moneda por medio de un vector rengl´on. b) Exprese el valor de cada tipo de moneda en d´olares por medio de un vector columna. c) Utilice el producto punto para calcular cu´antos d´olares val´ıa el dinero extranjero del turista.

Ejercicio 5.   Encuentre un vector unitario perpendicular a u = −2 4 1 y v = 2 −3 5

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1.3

N´ umeros complejos en MATLAB

Tambi´en se pueden asignar valores complejos a las variables, ya que MATLAB trata autom´aticamente la aritm´etica compleja. En muchos c´alculos matriciales los datos y/o resultados no son reales sino complejos, con la parte real e imaginaria Para ver como se presentan por defecto los n´ umeros complejos, ejecute los siguientes comandos en MATLAB Pr´ actica 5. Para el resultado de

√ −4 escriba

>>a=sqrt(-4) Para introducir el complejo 2 + 4i escriba >>b=2+4*i Para el complejo −3 + 5i escriba >>c=-3+5i

En general, cuando se est´a traba jando con n´ umeros complejos, conviene no utilizar la i como variable. Todas las operaciones y funciones aritm´eticas funcionan con los n´ umeros complejos, por ejemplo. Pr´ actica 6. Encuentre con ayuda de MATLAB el resultado de las siguientes operaciones con complejos ✍ A = 2 + 3i − (4 + 2i) se escribe como >>A=(2+3i)-(4+2i) ✍ B = (2 + 3i)(4 + 2i) se escribe como >>(2+3i)*(4+2i) ✍ C=

2 + 3i se escribe como >>(2+3i)/(4+2i) 4 + 2i

✍ D = (1 + i)2 se escribe como >>(1+i)^2 ✍ E = 3 + 4i se escribe como >>conj(3+4i) p

32 + (−2)2 se puede calcular como >>abs(3-2i) √ ✍ Para la forma polar de z = 1 + i el radio r = ||z|| = 2 y el ´angulo θ = π4 se puede calcular en MATLAB como

✍ La magnitud de un complejo F = ||3−2i|| =

>>z=1+i, r=abs(z), theta=angle(z) Verifique lo anterior para z = 1 + i. Note que el ´angulo se presenta en radianes.

´Algebra Lineal

´ COMPLEJOS EN MATLAB 1.3. NUMEROS

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Ejercicio 6. Escriba los comandos para realizar las operaciones indicadas en MATLAB y muestre el resultado √ (1 + 2i)(3 − i) a) 2 + 3i + (2 − 2i) f) 15i 3−i b) 4 + 5i 1 1 √ g) − c) (2 − 2i)3 1−i 1+i d) i100

h) 2 + 3i + 5 − 12 i

e) (2 − 3i)−1 Ejercicio 7.

Escriba los comandos para encontrar el radio y el ´angulo de la forma polar de los n´ umeros complejos siguientes y muestre el resultado a) 2 + 3i

b) 2 − 2i

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c) 12 + 5i

´ EN MATLAB 1. MANUAL DE PRACTICAS

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1.4

Ra´ıces de polinomios en MATLAB

Realice las siguientes pr´acticas para familiarizarse con el manejo de polinomios en MATLAB. La representaci´ on de polinomios en MATLAB tiene las siguientes reglas: ✍ Los coeficientes ordenados en forma decreciente por su grado ✍ Deben estar todos los coeficientes, a´ un si en su representaci´on algebraica su valor es cero. Para ilustrar lo anterior realice la siguiente pr´actica Pr´ actica 7 (Polinomios en MATLAB). El polinomio p(x) = x3 − 2x2 + x − 2 se representa en MATLAB como el vector >>p=[1 -2 1 -2] donde el primer componente del vector, 1, corresponde al coeficiente de x3 , el coeficiente −2 corresponde a x2 , 1 corresponde a x y el t´ermino independiente se escribe como el ´ultimo componente del vector −2. El polinomio q(x) = 2x2 − 1 se puede representar en MATLAB como >>q=[2 0 -1] Importante: Note que se debe representar el coeficiente 0 en el vector para los t´erminos que no aparecen en la expresi´on algebraica del polinomio

Para evaluar un polinomio en x = c, es decir, para calcular p(c) se usa la funci´on polyval de MATLAB

Pr´ actica 8. Para evaluar el polinomio p(x) = 2x2 − 1 en x = 2 en MATLAB las instrucciones son: >>p=[2 0 -1] >>polyval(p,2) el resultado obtenido con el u ´ltimo comando es p(2) = 2(2)2 − 1

Las operaciones con polinomios (suma, resta y multiplicaci´on) se realizan definiendo los vectores cuyas componentes sean los coeficientes del polinomio, realice la siguiente pr´actica de operaciones con polinomios ´Algebra Lineal

´ DE POLINOMIOS EN MATLAB 1.4. RAICES

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Pr´ actica 9. Considere los polinomios p(x) = x2 + 3x − 1 y q(x) = 4x + 5. Para la suma de polinomios, primero definimos los polinomios como >>p=[1 3 -1], q=[0 4 5] al ser vectores en MATLAB, debemos tener cuidado en que sean vectores del mismo orden, as´ı la suma es >>p+q el resultado, 1 7 4, es un vector con los coeficientes de la suma de los polinomios, es decir, se interpreta como el polinomio x + 7x2 + 4. La multiplicaci´on se hace con la funci´on conv, por ejemplo para multiplicar los polinomios p y q anteriores, escribimos en MATLAB >>conv(p,q) El resultado, 0 4 17 11 -5, es un vector con los coeficientes del polinomio obtenido por multiplicaci´on, es decir, x3 + 17x2 + 11x − 5.

Ejercicio 8. Encuentre la suma, diferencia o producto de los siguientes polinomios en MATLAB, escriba su respuesta interpretando la respuesta arrojada por MATLAB a) 3(x − 1) + 4(x + 2) b) 4(x2 − 3x + 5) − 3(x2 − 2x + 1) c) 2(2 − 5t) + t2 (t − 1) − (t4 − 1) d) 5(3t − 4) − (t2 + 2) − 2t(t − 3) e) (1 − 2r)3 f) (1 + 2x)(x2 − 3x + 1) g) (x4 + x2 + 2)(x3 + x − 1)

Para calcular las ra´ıces de la ecuaci´on an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a2 x + a0 = 0 se emplea la funci´on roots y se le pasa el vector p formado por los coeficientes del polinomio. La funci´on roots devuelve un vector columna que contiene las ra´ıces. Realice la siguiente pr´ actica para el c´ alculo de ra´ıces en MATLAB IA - IB - IIL - IQI

´ EN MATLAB 1. MANUAL DE PRACTICAS

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Pr´ actica 10. Para encontrar las ra´ıces del polinomio p(x) = x4 + x3 − 2x2 + 4x − 24 se escribe en MATLAB >>p=[1 1 -2 4 -24] Para las encontrar las ra´ıces en MATLAB escribimos >>roots(p) el resultado arrojado por MATLAB es: ans = -3.0000 2.0000 -0.0000 -0.0000

+ + + -

0.0000i 0.0000i 2.0000i 2.0000i

lo que indica que las ra´ıces del polinomio son: x1 = −3,

x2 = 2 ,

x3 = 2i,

x4 = −2i

La expresi´on 0.0000 representa el 0. Importante: Si alg´ un t´ermino del polinomio no aparece en la representaci´ on algebraica, no olvide representar el componente 0 en el vector. Podemos verificar el resultado evaluando en la ra´ız con la funci´on polyval, por ejemplo, al escribir en MATLAB >> polyval(p,2) el resultado es 0 indicando que x = 2 es una ra´ız.

Ejercicio 9. Encuentre las ra´ıces de los siguientes polinomios a) p(x) = x3 + x2 + x + 1 b) p(x) = x5 + x3 + x c) p(x) = x4 + x2 + 2 d) p(x) = x5 − 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 − 3.785x + 1.25

´Algebra Lineal

´ DE POLINOMIOS EN MATLAB 1.4. RAICES

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Ejercicio 10. Use MATLAB para encontrar las ra´ıces del polinomio p(x) = (x2 + 1)2 (x7 − (1 + i)x4 + ix)

Ejercicio 11. Al tratar de encontrar la acidez de una soluci´ on de hidr´ oxido de magnesio en ´acido clorh´ıdrico, se obtiene la ecuaci´on siguiente: A(x) = x3 + 3.5x2 − 40 donde x es la concentraci´ on del ion hidr´ogeno. Calcule la concentraci´on del ion de hidr´ogeno para una soluci´on saturada (cuando la acidez es igual a cero).

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