Praktisch - Gruppen Ringe Körper - Aufgaben und Lösungen PDF

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Gruppen Ringe Körper - Aufgaben und Lösungen...

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Kurzfragen zu Gruppen, Ringe, Körper Die folgenden Aufgaben sind kein Selbsttest. Vielmehr sollen sie euch einen Anlass bzw. Anknüpfungspunkt geben, um euch mit Themen, die ihr noch nicht so gut verstanden habt, auseinanderzusetzen.

Aufgabe 1. Gruppen Handelt es sich bei den folgenden Mengen mit der jeweils angegebenen Verknüpfung um eine Gruppe? Wenn ja, ist die Gruppe abelsch? (a) ({−1, 1}, ·) (b) (Z, −) (c) (R, ·) (d) (GLn (K) := {A ∈ Matn×n (K) | A ist invertierbar} , ·) , n ∈ N, K Körper (e) ({x ∈ R, x > 0}, +) (f) ({x ∈ R, x > 0}, ·) (g) (Z/7Z, +)  n o  (h) N ∪ n1 ∈ Q | n ∈ N , ·

Aufgabe 2. Aussagen zu Gruppen Sei (G, ·) eine Gruppe. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch? (a) (∀a, b ∈ G : (a · b)−1 = a−1 · b−1 ) ⇒ G ist abelsch (b) ∃a, b ∈ G : a · b = b · a ⇔ G ist abelsch (c) Es gibt (bis auf Isomorphie) nur 3 abelsche Gruppen mit 4 Elementen (d) g, h, k ∈ G : g · h = g · k ⇒ h = k

Aufgabe 3. Ringe Handelt es sich bei den folgenden Mengen mit den jeweils angegebenen Verknüpfungen um einen Ring? Wenn ja, ist der Ring kommutativ bzw. nullteilerfrei? (a) (N0 , +, ·) (b) (Z/6Z, +, ·) (c) (Matn×n (K), +, ·), n ∈ N,K Körper (d) ({0}, +, ·) (e) (Z, +, ·) (f) ({A ∈ Matn×n (K) | A ist eine Diagonalmatrix} , +, ·) ,n ∈ N, K Körper ( ) ! 5 P (g) Z/6Z5 [X] := ai X i | ai ∈ Z/6Z , +, · i=0

(h)

(

) ! a b ∈ Mat2×2 (K) | a, b, d ∈ K, a · d , 0 , +, · , K Körper 0 d !

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Aufgabe 4. Aussagen zu Ringen Sei (R, +, ·) ein Ring. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch? (a) R ist nullteilerfrei. (b) ∀a, b ∈ R : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (c) R ist ein Integritätsring ⇒ R ist ein Körper

Aufgabe 5. Körper Handelt es sich bei den folgenden Mengen mit den jeweils angegebenen bzw. passenden Verknüpfungen um einen Körper? Wenn ja, welche Charakteristik hat der Körper? (a) Z/mZ, mit m ∈ N o √  n √ (b) Q 5 := a + b 5 | a, b ∈ Q (c) Q3 [X] :=

(

3 P

i=0



(d) Z ∪

n

1 z

(e) Z/23Z

ai X i | ai ∈ Q

)

o  ∈ Q | z ∈ Z , +, ·

(f) R (g) C (h) N

Aufgabe 6. Aussagen zu Körpern Sei (K, +, ·) ein Körper. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsc?h (a) ∀a, b ∈ K : a + b = b + a ∧ a · b = b · a (b) K ist nullteilerfrei (c) ∃n ∈ N : n · 1K := 1K + · · · + 1K = 0K | {z } n mal

(d) ∄n ∈ N : n · 1K := 1K + · · · + 1K = 0K | {z } n mal

(e) C besitzt einen Teilkörper T ⊂ C mit char(T ) = p, p prim (f) ∀x ∈ K ∃y ∈ K : x · y = 1K

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Lösungen der Kurzfragen zu Gruppen, Ringe, Körper Aufgabe 1. Gruppen (a) Antwort: ja, abelsch

(e) Antwort: nein

(b) Antwort: nein

(f) Antwort: ja, abelsch

(c) Antwort: nein

(g) Antwort: ja, abelsch

(d) Antwort: ja, nicht abelsch

(h) Antwort: nein

Aufgabe 2. Aussagen zu Gruppen (a) Antwort: wahr

(c) Antwort: falsch

(b) Antwort: falsch

(d) Antwort: wahr

Aufgabe 3. Ringe (a) Antwort: nein, kein Ring.

(e) Antwort: ja, kommutativ, nullteilerfrei

(b) Antwort: ja, kommutativ, nicht nullteilerfrei

(f) Antwort: ja, kommutativ, nullteilerfrei

(c) Antwort: ja, nicht kommutativ, nicht nullteilerfrei

(g) Antwort: ja, kommutativ, nicht nullteilerfrei

(d) Antwort: nein, kein Ring.

(h) Antwort: nein, kein Ring.

Aufgabe 4. Aussagen zu Ringen (a) Antwort: falsch

(c) Antwort: falsch

(b) Antwort: falsch

Aufgabe 5. Körper (a) Antwort: nein

(e) Antwort: ja, char(Z/23Z) = 23

√  (b) Antwort: ja, char Q( 5) = 0 (c) Antwort: nein



(f) Antwort: ja, char(R) = 0 (g) Antwort: ja, char(C) = 0

(d) Antwort: nein

(h) Antwort: nein

Aufgabe 6. Aussagen zu Körpern (a) Antwort: wahr

(d) Antwort: falsch

(b) Antwort: wahr

(e) Antwort: falsch

(c) Antwort: falsch

(f) Antwort: falsch 1...