Problemas Resueltos Estatica PDF

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Problema s de Estática . J. Martín

Problemas Resueltos de Estática Fuerzas y Momentos Equilibrio del punto Equilibrio del sólido sin rozamiento Equilibrio del sólido con rozamiento Equilibrio del sistema de sólidos Entramados y armaduras Mecanismos : poleas, cuñas, tornillos Método de los trabajos virtuales Fuerzas distribuidas : cables y vigas Centros de gravedad

3

Determina r la resultante de la s dos fuerzas indicada s en la figura , dando el módulo y el ángulo que forma la horizontal. 300 N

60º 400 N

La resultante es la suma de la s dos fuerzas.

300 N 60º 400 N

300 2

De la ley del coseno se tiene De la ley del seno se tiene sen 300

cos 30º 608

400 2

sen

2 300 400 cos 60

608,2 N

0 ,4273

25,3º

Solución en componentes. 300 N

60º

400 N

La resultante es la suma de la s componentes de cada una de la s fuerzas . 400

300 ( cos 60º

tan

150 3 550

sen60º ) 0,4723

550

150 3

25,3º

Problemas de Estática. J. Martín

Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 que hay que aplicar al bloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza ver tical de 900 N si el módulo de la fuerza F1 es de 500 N.

1

32º 2

2

= 544,8 N

;

= 29,1º

Determinar la resultante del sistema de fuerza s concurrentes que se indica en la figura adjunta sabiendo que 1 = 150 N , 2 = 200 N , 3 = 80 N y 4 = 180 N.

2 1

30º

30º 45º

60º

3 4

. Se dibuj a a escala la suma de las fuerzas. Midiendo el módulo de la resultante se obtiene 49 N ; midiendo el ángulo que forma con la horizonta l es obtiene 26º

3 2

4 1

=

5

Se determinan las componentes según y según de cada una de las fuerzas. A partir de estos valores se obtiene la resultante y el ángulo que forma con el eje . Las componentes de la s fuerza s son: 1

= 129.9 + 75.0 3

La resultante es:

=

40.0

=

i =

; 69.2

44.0

;

2

=

173.2 + 100.0

4

=

127.3

21.5

127.3

= 49.0 N ;

=

26º

Determinar la resultante de la s fuerzas representadas en la figura adjunta . Da r su módulo y el ángulo que forma con el ej e . 150 N 260 N

50º

20º

100 N

40º

70º

120 N 80 N

513

51.5

515,5 N

;

5,7º

Descomponer una fuerza de módulo 2800 N en dos componentes 1 y 2 tales que form e c on un ángulo de 20º y que su diferencia de módulos 1 1 – 2 sea igua l a 1000 N. Determinar sus módulos y el ángulo que forman.

Representación gráfica de las fuerzas

2

20º 1

De la ley del seno aplicada al triángulo definido por las tres fuerzas se tiene

Problemas de Estática. J. Martín

sen 20º

sen

2

Proyectando las fuerzas sobre la horizonta l queda

cos 20 º

1

2

cos

La diferencia de módulos de la s dos fuerzas 1

1000

2

Operando con las tres ecuaciones se obtiene

1

2069,7 N

;

2

1069,7 N

;

60,8 º

Descomponer una fuerza en dos componentes 1 y 2 tales que 1 forme con un ángulo que sea la mitad del ángulo que forma 2 con y los módulos de 1 y de 2 cumplan la relación 4 2 = 3 1 . Calcula r el módulo de las componentes y los ángulos que forma n con .

Representación gráfica de las fuerzas

3

1 2

=2

= 48,2º

;

= 96,4º

;

1

= 17

2

= 13

7

Descomponer una fuerza de 20 kN en dos componentes 1 y 2 tales que formen entre sí un ángulo de 50 º y sus módulos estén en la relación 2 : 5. Calcula r la magnitud de la s componentes y los ángulos 1 y 2 que forman con .

Representación gráfica de las fuerzas

50º 1

1

= 6 18 kN

;

2

= 15 45 kN

= 36,2º

;

= 13,8º

;

En la s diagonales de un paralelepípedo rectangular de aristas del mismo módulo 0. Calcular la resultante .

actúa n tres fuerzas

Representación gráfica de las fuerzas

1

2

3

0 2

2

2

(

)

Problemas de Estática. J. Martín

El cubo representado en la figura adjunta tiene de arista 2 m El origen y los extremos de las fuerzas 1 y 2 están en el punto medio de los la dos. Los módulos de la s fuerzas son 1 = 1,41 kN ; 2 = 2,45 kN ; 3 =3,0 kN. Determinar la resultante .

1 2

3

Expresando la s fuerzas en componentes y suma ndo se obtiene la resultante 3

5

Una fuerza de 17,32 k está dirigida a lo largo de la recta que va del punto de coordenada s (4,2,0) hasta el punto de coordenada s (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta . Los valores de la s coordenada s están dados en metros. Determina r el momento de respecto del origen y los momentos de respecto de los ejes , , .

(1, 5, 3)

(4, 2, 0)

3 3

El vector unitario en la dirección y sentido de la fuerza es La fuerza en componentes es

= 10 (

+

+

)

9

El momento de la fuerza respecto del origen está da do por punto cualquiera de la recta soporte de respecto del origen es

Tomando el punto 10 ( 2

El pr oducto escalar del vector la fuerza respecto de los ejes

4

+ 6

, donde el punto es un ( 4 ,2 ,0 ), el momento de la fuerza

)

por los vectores de la base . Sus valores son : = 20

=

40

,

proporciona los momentos de

= 60

En la figura adjunta se representa un pa r de momento 40 k-m que actúa sobre un plano horizonta l y otr o pa r de momento 2 = 120 k-m que actúa sobr e un plano que forma 60º con el horizontal. Determinar gráficamente el momento resultante de ambos pares 1 2

60º

El momento 1 es el de un par de fuerza s de 40 Kg situadas en el pla no horizonta l o en un plano paralelo al horizontal y separadas una distancia de un metro ; el momento 2 es el de un para de fuerza s de 40 Kg situadas en el plano inclinado o en un plano paralelo a l pla no inclina do y separadas una distancia de 3m, tal como se muestra en la figura a). Para facilitar la suma de los momentos de los dos pares, los vectores que los forman se ha n tomado con sus direcciones paralelas a la recta de intersección de los planos.

3m 1m

(a)

Problema s de Estática . J. Martín

El par resultante está formado por las fuerzas vector perpendicula r al pla no definido por figura b)

y y

separadas una distancia . Su momento es un , plano que forma con la horizonta l un ángulo

C

3m

60º 1m

(b) Para calcula r la distancia , brazo del par resultante, aplica ndo la ley del coseno a l triángulo = 7 = 2,645 m luego el momento del pa r resultante es

se tiene

= 105,8 k - m Para calcular el ángulo

aplica ndo la ley del seno a l triángulo

se tiene que

= 79,2 º

Una ba rr a horizonta l de 4 m de largo está sometida a una fuerza ver tica l hacia abajo de 12 kg aplicada en su extremo . Demostra r que es equivalente a una fuerza de 12 kg hacia abajo aplicada en su extremo y a un pa r de sentido horario de 48 kg-m.

4 m

2

2 m

2

11

Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza 2 de la figura adjunta para que el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el módulo de la fuerza 1 es de 460 N . 2

47º

1

Condición de equilibrio

1

47º

2

460 sen

F2 sen 47 º

35 ,8 º

780 sen( 47º

F2

)

575 N

Problema s de Estática . J. Martín

En el esquema de la figura, el bloque de peso se mantiene en equilibrio cuando se aplica una fuerza = 500 N en el punto del sistema de cables. Determina r las tensiones en los cables y el peso .

20º

10º

Equilibrio en el punto B

Equilibrio en el punto C

TBA F

10º

TCD

TBC

P

20º

TCB

500 sen 10

TBC sen 80º

TBA

T

P sen 70

T

TCB sen 20º

TCD

Operando queda

TBA

2879 N

;

TBC

TCB

2835 N

;

P = 7789 N

;

TCD

8289 N

13

Un cuerpo de masa = 250 kg está unido a l sistema de cables indicado en la figura y se mantiene en equilibrio en la posición indicada . Determina r las tensiones en los cables.

30º

40º

60º

Equilibrio en el punto B

Equilibrio en el punto C TCD

TBA 60º P

40º

TCB TBC

TCE

60º

2450 sen 60

TBA sen 30º

30º

T BC

;

TBC = TCB

;

TCD sen 30

TCB sen 70º

TCE sen 80

Operando queda

TBA

1414 N

;

TBC

TCB

2829 N

;

TCD = 1505 N

;

TCE

2965 N

Problema s de Estática . J. Martín

En el esquema de la figura adjunta , un bloque de 60 N de peso está unido a tres cables dos de ellos contenidos en un plano horizontal. Determinar las tensiones en los cables. C

5m 3

8m

3m

B

4m 2 4m A

D 1

Tensión en el cable 1

1

=

132

Tensión en el cable 2

2

=

128,8 N

Tensión en el cable 3

3

=

84,8

N

N

En el esquema de la figura adjunta los tres cuer pos unidos por cables están en equilibrio. Los bloques y pesan 60 N cada uno y el bloque pesa 80 N . Determina r el valor de 3m

= 1,5 tg

;

120 sen

= 80

= 1,34 m

15

En el esquema de la figura adjunta , un bloque de 600 N de peso pende de dos cables. Determinar: a ) el intervalo de valores de la fuerza para que ambos cables estén tensos ; b) el valor de las tensiones en los cables par a = 500 N. Dato : tg = 4 / 3

60º

Cuando la tensión en el cable horizontal sea nula, en el punto en equilibrio su suma ha de ser cer o. + siendo

+

la fuerza que ejerce el cable unido al punto

concurren tres fuerzas y para que esté

= 0 en el punto

y

el valor d

.

Condición gráfica de equilibrio

1

30

( 60

)

60º +

1

= 326,2 N

30º

Cua ndo la tensión en el cable equilibrio su suma ha de ser cer o.

sea nula en el punto

+ siendo

B

+

la fuerza que ejerce el cable unido al punto

concurren tres fuerzas y para que esté en

= 0 en el punto

y

el valor d

.

Problema s de Estática . J. Martín

Condición gráfica de equilibrio

sen 90º

2

= 750 N

Para que los dos cables estén tensos, la magnitud de la fuerza aplicada 326,2 N

sen

ha de sa tisfacer la condición

750 N

Para el valor = 500 N, la s tensiones en los dos cables son distintas de cer o. En el punto concurren cuatro fuerzas, luego para que este en equilibrio su resultante a de ser cer o. Condición gráfica de equilibrio

60º

= 184.5 N

;

A

= 230.9 N

17

Dos cuer pos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N están unidos mediante un cable y se apoya n sobre una superficie cilíndrica lisa ta l como se ve en la figura adjunta. Determina r la tensión del cable, la s normales en los a poyos y el ángulo de equilibrio. B

90

A

P2 P1

Equilibrio en el punto A

Equilibrio en el punto B NB

T

P1

P2 90

NA

T

Aplicando la ley del seno se tiene T cos

NA sen

T sen

P1

NB cos

P2

Operando queda = 33,69º

;

= 1630.8 N

;

A

= 1087,2 N

;

= 2446,2 N

Problema s de Estática . J. Martín

En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posición indicada bajo la acción de la fuerza aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea . Determinar el valor de la fuerza. 3m

18º

1m

18º

500 68

50º

40

F = 346,6 N

82

En el esquema de la figura adjunta , el cable está unido por su extremo a un muelle cuya constante de rigidez es = 50 N/m . Si se aplica en el extremo del cable una fuerza vertical descendente 0 = 80 N el sistema está en equilibrio cuando el ángulo = 60º . Determina r la longitud natural o del muelle 2m

2m

60º

0

0

= 2,66 m

19

Una ba rr a homogénea de 200 N de peso y longitud se a poya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta . Determina r : a ) el valor de la fuerza para mantener la ba rra en equilibrio en la posición indicada ; b) las r eacciones en los a poyos. B

A

60º

30º

Sobre la ba rr a actúan cuatro fuerzas : El peso aplicada en el extremo A.

, la s normales en los apoyos

A,

B

y la fuerza

Diagrama del sólido libre B G A

60º

30º

B

A

Condición de equilibrio B

30º

Tomando momentos respecto de A

B

= 86,6 N ;

+

B

cos 30º =

B

sen 30º =

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

A

Operando queda

A

B

A

= 156,7 N

;

= 75 N

cos 30º = 0

Problemas de Estática. J. Martín

Una ba rr a homogénea de 300 N de peso y longitud se a poya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta . Se mantiene en equilibrio bajo la acción que le ejerce un muelle unido a su extremo B de constante = 500 N/m. Determina r el alargamiento del muelle.

B G A

60º

30º

Sobre la ba rr a actúan cuatro fuerzas : El peso aplicada en el extremo A.

, la s normales en los apoyos

A,

B

y la fuerza

Diagrama del sólido libre B G A

60º

30º

B

Condición de equilibrio

A

B

A

+

sen 60º +

cos 60º = 60º

B

B

sen 30º + =

cos 30º

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

A

Tomando momentos respecto de B

Operando queda

A

=

;

A

;

=

sen 60º ;

cos 30º

=

+

2 6 cm

cos 30º = 0

21

Una ba rr a homogénea de 369 N de peso y longitud esta ar ticulada en su extremo A y se apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar la reacción en la articula ción.

B A 22º

60º

Sobre la ba rr a actúa n tres fuerzas : El peso , la normal en el apoyo

B

y la reacción en A.

Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este en equilibrio es que la s tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sea n paralela s )

B

RA G A

60º

22º

B

Condición de equilibrio

RA

60

(30º

)

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

B

30º

Tomando momentos respecto de A Operando queda

B

= 217 N ;

B

= 54,2º ;

A

= 321,2 N

sen 52º

cos 22º = 0

Problemas de Estática. J. Martín

Una barra homogénea peso y longitud esta en equilibrio en una cavidad semiesférica lisa de radio ta l como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ángulo de equilibrio si = 3 . B C

A

Sobre la ba rr a actúan tres fuerzas : El peso , la normal en el apoyo

A

y la normal en C

C.

Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este en equilibrio es que la s tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sea n paralela s )

C

C

G

NA

C

A

A

Condición de equilibrio

2

C

Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

NA 2

Tomando momentos respecto de A

Operando queda

C

=

3 4

; cos 2

C

= 3 cos 4

; 8

2

2

3

cos

3

2

4

0 ;

= 0

= 23,2º

23

Una ba rr a homogénea de longitud y peso está unida por uno de sus extremos a un pasador que puede deslizar sin rozamiento por una guía vertical. La ba rr a se apoya sobr e una superficie cilíndrica lisa de radio . Si la longitud de la ba rr a es 3 , determina r el ángulo de equilibrio. B

C

O

A

Sobre la ba rr a actúa n tres fuerzas : El peso...