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7. Flujo en tuberías y conductos Objetivos:  Resolver problemas simples de tuberías, con pérdidas de carga distribuidas y localizadas

7.1. Pérdidas de carga Considere el flujo de un fluido estacionario e incompresible en una tubería cilíndrica inclinada de sección transversal constante sin accesorios y sin intercambio de energía con los alrededores (ver figura 7.1).

Figura 7.1. Flujo de fluido en un conducto cilíndrico

La ecuación de la energía cinética entre dos puntos 1 y 2 separados una distancia L es, 𝑝 𝑝 𝑉 𝑉 + 𝑔𝑍 = + 𝛼 + 𝛼 + 𝑔𝑍 + 𝑔ℎ (7.1) 2 𝜌 𝜌 2𝑔 Como la sección transversal es constante, por continuidad (𝑉 = 𝑉 ), con lo que se obtiene: 𝑝 − 𝑝 ℎ = + 𝑍 − 𝑍 𝜌𝑔 ∆𝑝∗ = 𝑝 − 𝑝 + 𝜌𝑔(𝑍 − 𝑍 ) (7.2) 𝑝 − 𝑝 𝑒 = + 𝑔(𝑍 − 𝑍 ) 𝜌 La pérdida de presión en una tubería ∆𝑝∗ no debe confundirse con la caída de presión absoluta o manométrica (𝑝 − 𝑝 ) ni con el cambio o variación de p denominado en termodinámica (∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 ). En este apartado se empleará el símbolo ∆𝑝∗ para indicar una pérdida de energía (en unidades de presión) entre la entrada y la salida de una tubería. La pérdida de presión en una tubería no tiene que ser igual a una diferencia entre dos presiones, sino que es la pérdida de energía expresada en unidades de presión. Para flujo totalmente desarrollado en una tubería horizontal la caída de presión y la pérdida de presión son iguales.

7.1.1. Pérdidas de carga lineales, primarias o regulares Utilizando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento y el análisis dimensional se obtiene la ecuación de Darcy – Weisbach,

𝐿 𝑉 ℎ = 𝑓   2𝑔 𝐷 𝐿  ∆𝑝∗ = 𝑓  𝜌𝑉  2 𝐷𝐿  (7.3) 𝑉 𝑒 = 𝑓   𝐷 Donde se han empleado los siguientes símbolos: ℎ para la pérdida de carga, ∆𝑝∗ para la pérdida de 2 de energía por unidad de masa. El término 𝑓 = 𝐹(𝑅𝑒, 𝜀) se denomina factor de presión y 𝑒 para la pérdida fricción de Darcy. El coeficiente (factor) de fricción para flujo estacionario, incompresible y laminar en una tubería cilíndrica: 64 (7.4) 𝑓= 𝑅𝑒 En este régimen, se puede trabajar con la ecuación de Hagen – Poiseuille, 128𝜈 𝐿 ℎ = 𝑄 (7.5) 𝜋𝑔 𝐷 Para flujo turbulento, Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una única expresión para determinar el factor de fricción, 1  2.51 = −2 log 󰇧 󰇨 (7.6) + 3.7 𝑅𝑒 𝑓 𝑓 Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción se encuentra en forma implícita y debe recurrirse al cálculo numérico para su determinación. Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, a partir de la ecuación de Colebrook, en donde se muestra una familia de curvas de igual rugosidad relativa, que, al interceptarlas con el número de Reynolds correspondiente, permite determinar el factor de fricción. El diagrama de Moody representa en doble escala logarítmica, el factor de fricción (eje y) con respecto al número de Reynolds (eje x), para distintas curvas de rugosidad relativa. El diagrama de Moody se muestra en la figura 7.2. Las variables de entrada de este gráfico son el número de Reynolds y la rugosidad relativa e/D.

Figura 7.2. Diagrama de Moody para determinar el coeficiente de fricción

De manera resumida se puede decir que los límites para el régimen turbulento son:  Tuberías lisas (con  = 0), donde el factor de fricción sólo depende del Re, 𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒)  Tuberías con flujo turbulento completamente rugoso (a la derecha de la línea discontinua en el diagrama de Moody), donde el factor de fricción sólo depende de la rugosidad, 𝑓 = 𝑓()  Tuberías con flujo turbulento y rugosidad en desarrollo (a la izquierda de la línea discontinua en el diagrama de Moody), donde el f depende del Re y la rugosidad, 𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒, ) NOTA: Al aumentar el 𝑅𝑒 (aumentar 𝑉 ), disminuye el factor de fricción 𝑓, pero las pérdidas de carga

aumentan al aumentar la 𝑉, ya que ℎ = 𝑓 󰇡 󰇢   



En la tabla 7.1 se muestran los valores de la rugosidad absoluta para algunos materiales empleados en tuberías y conductos. Tabla 7.1. Rugosidad absoluta de diferentes materiales Material e (mm) Vidrio Liso (0) PVC 0.0015 Latón o cobre estirados 0.0015 Latón industrial 0.025 Acero comercial o hierro forjado 0.046 Acero laminado nuevo (oxidado) 0.05 (0.15 – 0.25) Acero soldado nuevo (oxidado) 0.03 – 0.1 (0.4) Hierro galvanizado 0.15 – 0.2 Fundición corriente (dúctil) nueva 0.25 (0.025) Fundición corriente (dúctil) oxidada 1 – 1.5 (0.1) Hierro fundido revestido de asfalto 0.12

7.1.2. Pérdidas de carga lineales, primarias o regulares Problemas con flujo laminar (Re < 2300). Cuando solamente se consideran las pérdidas de carga lineales (por fricción, principales) se puede   emplear la ecuación Hagen – Poiseuille y los problemas se resuelven despejando en ℎ =   𝑄. Para determinar la pérdida de carga hf, el caudal Q, el diámetro D o la longitud L de la tubería. Siempre se debe determinar el número de Reynolds, al principio cuando los datos lo permiten; o al final, para comprobar que efectivamente el régimen es laminar, cuando el parámetro a calcular sea el Q, el D o la L. Problemas con flujo turbulento (Re > 4000). CASO (1): cálculo de la pérdida de carga. Datos: tubería: fluido: flujo: Cálculo: pérdida de carga: Método: 1. Número de Reynolds 2. f = f(Re, ε) Ec. Colebrook: 3. Ec. Darcy-Weisbach:

D, L, e ρ, μ Q hf 𝑅𝑒 =  

 

=

 

= −2 log . + 

ℎ = 𝑓 󰇡 󰇢 =   



.



    𝑄   

Método aproximado: Por la ecuación de Swamee y Jain (1976), obtenida empíricamente y por análisis dimensional, válida para 3000 < Re < 3108 y 10-6  e/D  10-2, con un error menor del 2% con respecto al diagrama de Moody:

𝜀 𝜈𝐷 . 𝑄 𝐿 󰇩 + 4.62  󰇫ln  󰇪󰇬 ℎ = 1.07 𝑔𝐷 3.7 𝑄 CASO (2): cálculo del caudal. Datos: tubería: D, L, e fluido: ρ, μ flujo: hf 

(7.7)

Cálculo: caudal: Método: 1. Asumir régimen turbulento

Q

2. Ec. Darcy-Weisbach:

𝑓 = 

  

𝑓=

.

𝑅𝑒 = 𝑅𝑒𝑓 =

3. Ref: 4. Ec. Colebrook:

󰇡 󰇢  

 



󰇡 

 󰇢  

 / . 󰇨󰇪 

󰇩󰇧 . 

=

   



/

5. Determinar Re para comprobar que efectivamente es régimen turbulento, 𝑅𝑒 =

 

6. Determinar V o Q a través del Re o de Darcy-Weisbach Método mediante el diagrama de Moody: a) Suponer que Re  ∞, y determinar f0 = f() en Moody b) Calcular Q0 por la ecuación D-W c) Determinar el Re1 con Q0 d) Con Re1 y  determinar 𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒 , ) en Moody e) Repetir desde el paso b) hasta que fi  fi-1 (deben coincidir en dos cifras significativas) Método aproximado: Por la ecuación de Swamee y Jain (1976), obtenida empíricamente y por análisis dimensional, válida para Re > 2000, con un error menor del 2% con respecto al diagrama de Moody: . . 𝑔𝐷  ℎ 3.17𝜈 𝐿 𝜀 𝑄 = −0.965 󰇧  (7.8) 󰇨 󰇨 ln  + 󰇧 3.7 𝐿 𝑔𝐷 ℎ CASO (3): cálculo del diámetro. Datos: tubería: L, e fluido: ρ, μ flujo: Q, hf Cálculo: Diámetro: D Método: 1. Asumir régimen turbulento 𝑓=

2. Ec. Darcy-Weisbach:

 

3. Ec. Colebrook:

   

= 𝐶 𝐷

= −2 log 󰇧. + 

.

  

󰇨

En las dos ecuaciones, se tienen como incógnitas f y D, por lo que es necesario realizar la resolución simultánea por métodos iterativos. Método empleando el diagrama de Moody: a) Se supone que f0 = 0.015 b) Se calcula D0 por la ecuación Darcy – Weisbach c) Se determinan V0 y el número de Reo d) En el diagrama de Moody se determina f1, con Re0 y e/D0 e) Con f1 se determina D1 en la ecuación de Darcy – Weisbach f) Se repite el proceso hasta que fi coincida con fi-1 en dos cifras significativas. Con el f correcto se calcula D con la ec. de D-W Métodos aproximados:  Por la ecuación de Swamee y Jain (1976), obtenida empíricamente y por análisis dimensional, válida para 5000 < Re < 3108 y 10-6  e/D  10-2, con un error menor del 2%:



𝐷 = 0.66 𝑒

.

𝐿𝑄  󰇨 󰇧 𝑔ℎ

.

+ 𝜈𝑄

A través de la aproximación de White:

.

. .

𝐿 󰇧 󰇨 𝑔ℎ



(7.9)

𝑓 ′ = 𝑓𝑅𝑒  =

  

 󰇡  󰇢 󰇡 󰇢 =  .  b) Determinar Re por la ecuación aproximada de White, 𝑅𝑒 ≈ 1.43𝑓 ′   c) Calcular el diámetro de la tubería mediante el Re, 𝐷=  Los problemas de tipo 2 y 3 para flujo turbulento se pueden resolver utilizando el mismo método iterativo que se muestra en la figura 7.3.

a)

Determinar f’ por,



  

 



Asumir fi Calcular Qi ó Di por D-W Determinar Rei Con f i+1 Con Rei y e/D i determinar fi+1

NO

Si f i = f i+1

SI

FIN Figura 7.3. Diagrama de iteración para determinar el diámetro de tubería

7.1.3. Pérdidas de carga locales, localizadas (en accesorios) En cualquier sistema de tuberías, además de la pérdida de carga por fricción existen pérdidas localizadas (locales, singulares o secundarias) debidas a los cambios locales que provocan diferentes tipos de accesorios en el flujo. Los accesorios pueden ser: contracción (reducción), ensanchamiento, codo, codo con brida, curva soldada en inglete, te normal, bifurcación, entrada, salida, válvulas abiertas por completo o parcialmente cerradas (de globo convencional, en ángulo convencional, de compuerta, de retención, de bola). En la figura 7.4 se muestra el esquema de diferentes accesorios de tuberías.

Figura 7.4. Diferentes accesorios de tuberías

Estas pérdidas pueden tener valores considerablemente mayores que los de fricción, una válvula parcialmente cerrada o un codo abrupto en una tubería de longitud media provocan una pérdida de carga de consideración. Las pérdidas de carga locales se calculan empleando un coeficiente de pérdida denominado K

𝑉 (7.10) ℎ = 𝐾 2𝑔 K es un número adimensional característico para cada tipo de accesorio y, por lo general, sus valores son casi independientes del Re. Como ya se ha comentado, las pérdidas de carga totales están determinadas por la suma de las pérdidas por fricción y las localizadas, ℎ = ℎ + ℎ Los coeficientes de pérdidas locales se determinan según el accesorio. A continuación se presentan algunos valores de este coeficiente. Un ensanchamiento brusco se muestra esquemáticamente en la figura 7.5.

Figura 7.5. Esquema de una expansión brusca

𝐴  (7.11) 𝐾 = 1 −  𝐴 Un caso particular de ensanchamiento brusco es la tubería que abastece a un depósito. En este caso el área del depósito es mucho mayor que el área de la tubería, por lo que el coeficiente de pérdida local es igual a 1 (𝐾 = 1). La salida de un tubo a la atmósfera (chorro libre) no tiene variación de velocidad y, por lo tanto, no es un ensanchamiento brusco, ni posee pérdida local alguna. Otro tipo de ensanchamiento es el gradual (ver figura 7.6). El coeficiente de pérdida local en este tipo de accesorio se puede determinar por

El coeficiente de pérdida local 𝐾 para ensanchamiento gradual se reduce con respecto al del ensanchamiento brusco, 𝐾, =  𝐾 (7.12) Figura 7.6. Esquema de una expansión gradual

𝜃 2

𝜃 2

Donde el coeficiente de reducción es

 = 3.2 tan tan 

(7.13)

Para ángulos de inclinación 0° <  < 40°. Cuando el ángulo de inclinación del ensanchamiento gradual es  = 40° el valor del coeficiente de reducción es  = 0.91, para  = 50° se puede considerar que   1, para  = 60°   1.1 y para  > 60° se considera que   1. Las contracciones tienen coeficientes de pérdidas locales menores que los ensanchamientos, por lo que, para una contracción brusca, como la que se muestra en la figura,

El coeficiente de pérdida local en función de 𝐴𝑅 =   se determina como: Figura 7.7. Esquema de una contracción brusca 

𝐴 𝐾 ≈ 0.42 1 −   (7.14) 𝐴 Cuando d/D  0,76. Cuando d/D > 0,76 el coeficiente de pérdidas Kc se comporta como una expansión 



brusca, 𝐾 = 󰇡1 −  󰇢 . 



A través de la figura 7.8 se puede determinar el coeficiente de pérdida local para contracciones y expansiones bruscas.

Figura 7.8. Coeficiente de pérdida para expansión y contracción bruscas. Note que la pérdida se basa en la mayor velocidad

En una tobera (estrechamiento o contracción gradual) la velocidad del fluido aumenta y su presión disminuye, condiciones que no favorecen la formación de torbellinos, por lo que las pérdidas de carga se deben casi por completo al rozamiento. Los valores de K para toberas suelen oscilar entre 0.02 y 0.04, para ángulos del cono de contracción entre 30 y 60°, por lo que, en la práctica, las pérdidas de carga localizadas de las contracciones graduales se desprecian. Las contracciones, por lo general, se cargan en la tubería posterior a la contracción (donde existe la velocidad mayor); mientras que las expansiones o ensanchamientos se cargan en la tubería anterior al accesorio (donde se encuentra la mayor velocidad). El coeficiente de pérdida local para una entrada brusca desde un recipiente se puede determinar mediante la siguiente figura, Re-entrante

0.78

Figura 7.9. Coeficiente de pérdida local para entradas bruscas. Basado en 𝑉 en el tubo

Recta

En la figura 7.10 se puede determinar 𝐾 para una entrada redondeada.

Los valores de 𝐾 para diferentes accesorios se muestran en la tabla 7.2.

0.5

Figura 7.10. Coeficiente de pérdida local para entrada redondeada

Tabla 7.2. Coeficiente de pérdida local para diferentes accesorios Uniones roscadas o soldadas con Uniones con bridas con diámetro diámetro nominal entre ½ y 4 nominal entre 1 y 20 pulgadas pulgadas Rango de Rango de Accesorio coeficiente de K promedio coeficiente de K promedio pérdida pérdida Válvulas totalmente abiertas Válvula de ángulo 9.0 – 1.0 5.0 4.5 – 2.0 3.0 Válvula de globo 14 – 5.7 10.0 13 – 5.5 10.0 Válvula de cheque (de retención) 5.1 – 2.0 2.5 2.0 2.0 Válvula de compuerta 0.30 – 0.11 0.19 0.80 – 0.03 0.30 Codos 45° estándar 0.39 – 0.29 0.35 0.21 – 0.14 0.18 90° estándar 2.0 – 0.64 0.90 0.50 – 0.21 0.35 90° radio medio 0.75 0.40 – 0.10 0.25 90° radio largo 1.0 – 0.23 0.60 0.41 – 0.20 0.30 180° estándar 2.0 – 0.64 0.90 0.40 – 0.10 0.20 Tes Flujo directo 0.90 0.90 0.24 – 0.07 0.10 Flujo lateral 2.4 – 1.1 1.5 1.0 – 0.41 0.70

7.2. Inclusión de bombas en circuitos simples En este tipo de problemas, por lo general, se emplea la ecuación de la energía para flujo estacionario e incompresible para una entrada y una salida: 𝑝 𝑉 𝑉 𝑝 + 𝑔𝑍 + 𝑒 = + 𝛼 + 𝛼 + 𝑔𝑍 + 𝑔ℎ (7.15) 2 𝜌 𝜌 2𝑔 Donde 𝑒 es la energía específica de la bomba que requiere el sistema, es decir, la carga que debe vencer la bomba para cumplir con las especificaciones técnicas requeridas para el sistema en estudio. La pérdida de energía total 𝑔ℎ se determina mediante las ecuaciones estudiadas. Para determinar la potencia útil requerida por el fluido se emplea la ecuación 𝑊󰇗 = 𝑒 𝑚󰇗 = 𝑒 𝜌𝑄 = 𝐻 𝑔𝜌𝑄 (7.16) Siendo 𝑒 y 𝐻 la energía y la carga que la bomba debe proporcionar al fluido en J/kg y m, respectivamente, 𝑄 y 𝑚󰇗 son los flujos volumétrico (m3/s) y másico (kg/s), respectivamente, 𝜌 es la densidad en kg/m3 y 𝑔 la aceleración de la gravedad en m/s2.

7.3. Problemas resueltos PR.7.1. En el flujo laminar en conductos, las ecuaciones de Navier – Stokes, se pueden resolver, y la   pérdida de carga viene determinada por la ecuación de Hagen – Poiseuille: ℎ =   𝑄. Una aplicación

característica de este resultado es el viscosímetro capilar, donde se determina la viscosidad cinemática de un fluido midiendo la pérdida de carga que ocurre cuando el flujo circula por un conducto capilar. Determine: a) Viscosidad absoluta en cP b) Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar c) Caudal máximo que puede circular por el conducto en flujo laminar. Datos: Viscosímetro: longitud: L= 2400 mm, diámetro: D = 10 mm Fluido: caudal = 6 l/min; la disminución de presión: Δp = p1 – p2 = 16 kPa; ρ = 830 kg/m3 Flujo laminar: Re < 2300 Considere tubería horizontal.

a) La viscosidad absoluta de la ecuación de Hagen – Poiseuille es: 𝜌𝑔ℎ 𝜋𝐷  𝜇= 128𝐿𝑄 La pérdida de carga es, (𝑝 − 𝑝 ) 𝑉 𝑉 ∆𝑝 ∆𝑉  ℎ = ℎ = + (𝑧 − 𝑧 ) + 󰇧  −  󰇨 = − − ∆𝑧 − 𝜌𝑔 2𝑔 2𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 Donde −

, Δz y −

∆



∆  

son la variación de la carga de presión, de la carga de altura (cota) y de la carga

cinética, respectivamente, en la dirección del flujo, es decir, parámetros a la entrada menos parámetros a la salida. Si la tubería es horizontal (Δz = 0) y de igual diámetro (ΔV = 0), de donde, 𝜌𝑔ℎ = 𝑝 − 𝑝 Por lo que la viscosidad es (𝑝 − 𝑝 )𝜋𝐷 16000 𝜋 (0.01) 𝜇= = = 16.364 × 10 Pa. s = 16.36 cP 6 × 10 128𝐿𝑄 (128)2.4  60  Se debe comprobar el número de Reynolds, 610 4 𝜌𝑉𝐷 4 𝑄 𝜌 60  830 = = = 645.9 < 2300 𝑅𝑒 = 𝜋 𝐷 𝜇 𝜋 (0.01) (16.362 × 10 ) 𝜇 Lo que indica que efectivamente el flujo es laminar, como se había asumido al aplicar la ecuación de Hagen – Poiseuille. b) La potencia disipada en forma de calor es 6 × 10 𝑊󰇗 = 𝑄∆𝑝 = 𝑄𝜌𝑔ℎ = 𝑚󰇗 𝑔ℎ = 󰇧 󰇨 (−16000) = −1.6 W 60 El signo menos significa que el calor sale del VC, es decir, calor rechazado por el VC. c) El caudal máximo para flujo laminar se obtiene con la condición Re < 2300, 4𝑄𝜌 ≤ 2300 𝑅𝑒 = 𝜋𝐷𝜇   Con lo que se determina que, 𝑄≤  𝑄≤

m 2300 𝜋 (0.01) (16.362 × 10 ) = 0.3561 × 10 = 21.366 l/min 4(830) s

PR.7.2. Un tubo liso de latón de 75 mm de diámetro y 30 m de largo, conduce 380 l/min de agua. Calcule la pérdida de carga. Datos: 𝑄 = 380  = 6.33 × 10 

 

4𝑄

4(6.33 × 10 )

D = 0.075 m

= 𝜋(0.075)10 = 1.07515 × 10 𝜋𝐷𝜈 Como es una tubería lisa, se determina f en la zona lisa del diagrama de Moody con el número de Reynolds calculado anteriormente: f = 0.018 8𝑓 𝐿  8(0.018)30 𝐿 𝑉 = 𝑄 = (6.33 × 10 ) = 0.754 m ℎ = 𝑓     𝐷 2𝑔 𝑔𝜋 𝐷 9.8𝜋  (0.075) 𝑅𝑒 =



PR.7.3. La magnitud del caudal que circula por un oleoducto hace que las pérdidas de carga sean considerables. El flujo es turbulento. Se deben localizar las subestaciones de bombeo necesarias entre el pozo de petróleo y el puerto de carga. Determine: a) La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo b) La potencia disipada por viscosidad. Datos: Conducto horizontal: diámetro: D = 1200 mm, rugosidad: e = 0.12 mm Crudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por día) (1 barril = 50 galones USA = 189.27 litros) μ = 5.36·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 860 kg/m3 Pérdida de presión: 40 bar Solución: a) Longitud del oleoducto: la pérdida de carga viene determinada por la ecuación de Darcy-Weisbach: 𝐿 𝑉 𝐿 8 ℎ = 𝑓   = 𝑓   𝑄 𝐷 2𝑔 𝐷 𝜋 𝑔 El caudal es, 𝑄 = 2 × 10 í 󰇡 󰇢 󰇡  󰇢 󰇡0.18927  󰇢 = 4.381  El factor de fricción o factor de Darcy, viene determinado por la ecuación de Colebrook: 

1

í







2.51 󰇮 4𝑄 𝑓 𝜋𝐷𝜈 𝑓  .  La rugosidad relativa es 𝜀 =  =  = 0.0001 y el 𝑅𝑒 =  = 745865.6 De donde se obtiene que f = 0.014 El factor de fricción también se puede obtener por el diagrama de Moody: = −2 log 󰇭

3.7



+

En el problema, la pérdida de carga viene impuesta por la pérdida de presión admisible en el conducto, que al considerarse horizontal y con diámetro constante, según la ecuación de la energía, viene dada por: (𝑝 − 𝑝 ) 40 × 10 = 474.608 m ℎ = = 86...