Procesos soluciones - ejercicios de examen resueltos PDF

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

Procesos estocásticos Problema 1 (C3 mayo 2015) Sea X(t) = N(t)/t un proceso estocástico definido en términos del proceso de Poisson N(t) que mide el número de sucesos que ocurren en el intervalo de tiempo (0; t); con parámetro λ y función de autocorrelación dada por RN(t, t + τ)= λ t + λ 2 t(t + τ ); si τ > 0: a) Clasifique el proceso X(t) según su espacio de estados y su espacio de tiempos. b) Calcule E[X(t)] y RX(t; t + τ ) si τ > 0: c) Estudie la estacionariedad en sentido débil de X(t). SOLUCIÓN a)

X(t) es un proceso estocástico continuo en ambos espacios (de tiempos y de estados).

Problema 2 (P2 junio 2015) Sean A y B variables aleatorias independientes, donde A se distribuye exponencialmente con media 4 y B se distribuye uniformemente en el intervalo (0; π/2). Considera el proceso estocástico X(t) definido como: 

󰇛󰇜    cos 󰇛  4󰇜 a) Calcula la media y la autocorrelación estadísticas del proceso X(t). b) ¿Es el proceso estacionario en sentido débil? c) Comprueba si el proceso X(t) es ergódico en media y en autocorrelación. Nota: Las siguientes identidades trigonométricas pueden ser útiles: 1 cos󰇛󰇜 cos󰇛󰇜  󰇟cos󰇛  󰇜  cos󰇛   󰇜󰇠 2 1 cos󰇛󰇜 sen󰇛󰇜  󰇟sen󰇛  󰇜  sen󰇛   󰇜󰇠 2 sen󰇛α  β󰇜  sen󰇛󰇜 cos󰇛󰇜  cos 󰇛󰇜󰇛󰇜 SOLUCIÓN

1 GITT-GISA

Dpto. de Estadística

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

2 GITT-GISA

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

Problema 3 (C2a) mayo 2016) Indique la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación. En caso de que sea verdadero demostrarlo y en caso de que sea falsas dar un contraejemplo o su valor correcto: Sea X(t) un proceso Gaussiano que verifica: E[X(t)] = 6 y RX(τ) = 36 + 25e-|τ|. Entonces, el proceso es estacionario en sentido débil, en sentido fuerte (o estricto) y su potencia (E[X2(t)]) es 61 SOLUCIÓN

Es verdadera. El proceso es estacionario en sentido débil ya que la media es constante y la autocorrelación sólo depende de τ . Es estacionario en sentido fuerte, ya que al ser un proceso Gaussiano, estacionariedad en sentido débil y fuerte son equivalentes, y la potencia es 61 ya que la potencia est_a de_nida como: E[X(t)2] = RX(τ = 0) = 36 + 25e0 = 61:

Problema 4 (P2 mayo 2016) Sea el proceso estocástico:

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística SOLUCIÓN

donde hemos empleado el hecho de que las funciones seno y coseno están acotadas entre -1 y 1. Como la media temporal de Z(t) es igual a su media estadística, el proceso Z(t) es ergódico en media. El proceso no puede ser ergódico en autocorrelación, porque su función de autocorrelación depende del tiempo. Problema 5 (C3 junio 2016) Sea X(t) = At+Y (t) un proceso estocástico donde A e Y (t) son independientes, con A~N(µA, σA2) e Y(t)~N(0, 1). a) ¿Qué distribución sigue X(t1)? b) Calcula E[X(t)], Var[X(t)] y RX(t; t + τ). ¿Es X(t) débilmente estacionario? 4 GITT-GISA

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística SOLUCIÓN

Problema 6 (P1 mayo 2017) 

Sea X(t) un proceso estocástico normal con media µX = 0, autocorrelación R 󰇛t, t  τ󰇜  e y ergódico en media. Sea Y una variable aleatoria continua, independiente de X(t), con función de densidad,

Se define el proceso Z(t) = Y + X(t). a) Calcula la media estadística de Z(t). b) Calcula la autocorrelación estadística de Z(t). ¿Es Z(t) débilmente estacionario? c) ¿Es Z(t) ergódico en media?

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística SOLUCIÓN

Problema 7 (C3 junio 2017) Sea X(t) un proceso estocástico con media nula y R(τ) = e-|τ|. La señal es filtrada por una realización en serie de dos filtros, de modo que: 1  󰇛󰇜  󰇟󰇛󰇜  󰇛  1󰇜󰇠 2 1 󰇛󰇜  󰇟 󰇛󰇜   󰇛  1󰇜󰇠 2 Calcula E[Z(t)], RZ(τ ) y Var[Z(t)]. ¿Es el proceso débilmente estacionario? SOLUCIÓN

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

Problema 8 (P2 junio 2017) Un ratón “zhen" describe, en su noria, el ritmo de movimiento dado por el proceso estocástico:  󰇛󰇜  󰇛  10 󰇛  󰇜󰇜  1 donde  ~  󰇛, 󰇜 y   0. Por otro lado, cualquier ratón “libre" describe un ritmo de movimiento L(t) Gaussiano con media 0.85 y función de autocorrelación:

a) Calcula E[Z(t)]. A cualquier ratón “libre" se le inyectará un medicamento si su ritmo de movimiento L(t), en cualquier instante del tiempo, es mayor al valor esperado para el del ratón zhen, E[Z(t)] : ¿Con qué probabilidad será inyectado un ratón \libre"? b) Calcula la media temporal del proceso Z(t), MZ ¿Es el proceso Z(t) ergódico en media? c) Se medicará con otra dosis más a los ratones “libres" previamente inyectados con el fámaco, siempre que L(t) + L(t + 1) > 1. Calcula la probabilidad de que a un ratón “libre" previamente inyectado se le inyecte otra dosis. d) Finalmente, sabemos que si un ratón toma dos medicaciones está triste con probabilidad 0:27. Si se eligen al azar 5 ratones que han tomado dos medicaciones, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho uno esté triste? SOLUCIÓN

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

Problema 9 (P1 mayo 2018) Considere el siguiente proceso estocástico: 󰇛󰇜   sin 󰇛  Φ󰇜   donde Φ, A, y B son tres variables aleatorias independientes entre sí y  es una constante conocida. Además, Φ ~ U(0, 2π), y A y B son dos variables aleatorias discretas tales que:

a) b) c) d)

Calcula la media del proceso X(t). Calcula la función de autocorrelación del proceso X(t). ¿Es el proceso X(t) débilmente estacionario? Comprueba si el proceso X(t) es ergódico en media y en autocorrelación.

Nota: Las siguientes identidades trigonométricas pueden ser útiles: cos󰇛α  β󰇜  cos󰇛󰇜 cos󰇛󰇜 ∓  󰇛󰇜󰇛󰇜 sen󰇛α  β󰇜  sen󰇛󰇜 cos󰇛󰇜  cos 󰇛󰇜󰇛󰇜 SOLUCIÓN

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Problema 10 (C3 junio 2018) Sean X(t) e Y (t) dos procesos Gaussianos, estadísticamente independientes y con media 0. La función de autocorrelación de cada uno de ellos viene dada por: RX(τ) = e-|τ| RY(τ) = cos(2πτ ) 9 GITT-GISA

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística a) ¿Es el proceso Z(t) = X(t) + Y (t) débilmente estacionario?, ¿Lo es en sentido estricto? b) Calcula P(Z(t) > 0). SOLUCIÓN

Problema 11 (P1 mayo 2019) Sea X(t) un proceso estocástico estacionario en sentido débil y definimos 󰇛󰇜  󰇛󰇜 󰇛  Φ󰇜 con  constante y Φ~U(-π,π) independiente de X(t). a) Calcula la media y autocorrelación del proceso Y (t). Discute si es débilmente estacionario. b) Supongamos ahora que el proceso X(t) viene dado por X(t) = cos(Φ). Discute si el proceso Y (t) es ergódico respecto a la media. c) Supongamos ahora que el proceso X(t) es Gaussiano de media 0 y varianza 4. Y que, en un experimento aleatorio, hemos obtenido el resultado Φ = 0. Calcula la probabilidad de que {Y (1) >0} si  = π. Igualdad trigonométrica: 2 cos(α)cos(β) = cos(α - β) + cos(α + β) SOLUCIÓN

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

Problema 12 (C3 junio 2019) Sea X(t) un proceso estocástico que empieza en t = 0 definido por X(t) = Acos(t) + e-Bt; t≥0 Con A y B dos variables aleatorias uniformes e independientes, A en el intervalo [-1; 1] y B en el intervalo [0; 1]. a) Calcula la media estadística del proceso. b) Calcula la función de autocorrelación RX(t; t + τ ) del proceso. c) ¿Es el proceso estacionario en sentido débil? d) ¿Es el proceso ergódico en media? SOLUCIÓN

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Problemas tema 5: Procesos estocásticos Estadística

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