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EJERCICIOS DE LINEAL HOJA 1: MATRICES Y DETERMINANTES A) Cuestiones test 1. Sean B dos matrices cuadradas de orden n. Se entonces que: (a) tr A B T tr (A) (b) tr A B T tr (B) : tr (A) tr (B). (c) det A B T det (A) det (B). T (d) det A B det (A) det (B). 0 1 1 0 b 2. Sea A 0 b 2 A con b 2 R: Entonces...

Description

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL HOJA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

A) Cuestiones test 1.

Sean A; B dos matrices cuadradas de orden n. Se veri…ca entonces que:

 + T = ( )  ( )  + T = ( ) + ( ) (b)  + T  = det ( )  det ( (c) det  + T  = det ( ) + det ( (d) det 01 0 1 2 A 2R =@ 0 (a)

tr

A

B

tr

A

tr

B

:

tr

A

B

tr

A

tr

B .

A

B

A

B ).

A

B

A

B ).

b

2.

Sea

b

A

0

3.

4.

con b

1

: Entonces se veri…ca que:

2

6= 1:

(a)

A es invertible únicamente si b

(b)

rg (A) <

(c)

A es invertible únicamente si b

(d)

A tiene inversa para cualquier b



Sea A

=

3

únicamente si b

a

b

c

d

= 1: = 1:



2 R:

una matriz tal que

(a)

B tiene rango 2.

(b)

jB j = 2bc  2ad = 2jAj = 6 0.

(c)

B tiene rango 3.

Sean las matrices A

0 =@

1

1

1 0 A

0

b

2

0

3

jAj = 6 0yB=

a

y B

0 =@

2

d 2a  c b

1+a

1

a

0

1

0

3

b

3 + b



d

. Entonces se veri…ca que:

c

1 A

con a; b

2 R.

Se veri…ca que:

jAj = jB j para todo a; b 2 R. (b) Si a = 1 y b = 3 entonces jB j = 0 y sin embargo jAj = 6 0. (c) jAj = 4 jB j para todo a; b 2 R. (a)

5.

Sea A

 (a)   (b)   (c)   (d) 



2 Mn n tal que jAj = 6 0 entonces AA 

AA



AA

AA

AA

1A



n   n 

 AA

1A



1A

 AA





t = t = t = t =



1A



1 At



para cualquier 

2 R veri…ca que:

  1 j tj = j j 1 j j = j j 1 t = j j    1 j tj = n jA j 1 1 t = n j j  n A j j= j j      1 t = j j +  1  + j t j = (j j  j j + j j) = j j    1 + j tj = n (j j  j j + j j) = n j 1 t = n j j + 



AA 



AA

A



A

A



 A

A





A



A

A



A

A



A

A

 A

A



A



A



j

j

A



A

A

j

 A

j

A



A



A

A

A

A

A

 A

A



A

j

B) Problemas 1. Se consideran las matrices

0 1 2 1 = @ 1 0 A

A

0

Calcular: (a) 4A + 2C t ;

;

0 =@

B

2



(b) (BA)t

(c)

C;

B

4

5

6

7

1 8 A

1

1

1

+ AC;

( d)

;

A, B , C

=

A

=

D

,

D

01 @0 0 41 @0

,

E

y

C A;

2 0

1

2 0 1

=

B

=

E

7

1

3

9



C

1

4

1

3

0

0 =@

 =

F

3. Dadas las matrices del ejercicio anterior, calcular la traza (si existe) de

2 2

1

:



( f ) ( C A) 1 : 2I y C 2 .

I) ;

B , AB , A



2

2

1 

5

1

(e) (B

calcular su traza (si existe)

1 5 2 A 1 1 3 1 A

3

4

F,

=

C

Explicar porqué las siguientes operaciones no tienen sentido: 2A

2. Dadas las matrices

6

1



3

2

4

9

1

1

1 0 A

0

0

1

2

7

1

3

0

1

2

+ 2B ,

5



+ 3D y 125E

 14

0 1 2 4 1 , tr( ), tr( ) y establecer la relación entre tr( ) y tr( ) 4. Dada la matriz = @ 1 0 3 A calcular 1 3 5 01 4 1  3 1 7  A @ y = 5. Dadas las matrices = 6 2 2 0 1 calcular tr( ), tr( ) y establecer la relación A

A

A

entre tr(AB ) y tr(BA):

A

A

A

AB

B

2

2

A

A

BA

6

6. Sea I3 la matriz identidad. Calcular I32 = I3 I3 y deducir que, en general: tr(AB) = tr(A) tr(B ): 7. Calcular el rango de las siguientes matrices:

A

8. Hallar

a

y

b

0 =@

0

5

1

0 0

para que

3=2 1

32

A

7

1 A

;

B

=

4

5

6

1

6

7

8

3

sea la matriz inversa de

B,

0 1 2 1  1 1 A =@ 1

siendo

=

A

a

b

3

0

;

B

 ;

C

0 1 1  1 1 1 =@ 4 2

0 1 =@ 5 2

1 7=2

=

1 1 A

0

1 3 A

2

1 0

:

1

0

3 3

1

2

0

:

1

9. Calcular la inversa (si existe) de las siguientes matrices utilizando el método de Gauss–Jordan:

A

0 =@

1 3 5

1 4 A

1

2

1

1

;B

8

0 B =B @

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1 C C A

;C

03 =@ 4

1

1 5 A

4

2

2

1

4

;D

0 3 1 B 1 1 =B @ 2 4 6

10. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es triangular, simétrica o antisimétrica:

0 1 10 1 1 1 =@ 1 1 1 A 1 1 31 0 1 52 0 1 =@ 5 2 2 1 A =

A

;

B

=

D

=

0

1

;

1

E

0 =@

1

0

5=2

7=2

1 0 A

0

3 3 1 0 0 5 8 1 0 1 A =@ 5 8 1 0

;

;

C

F

0 =@

6 0 0

1 1

2

4

0

1 5 A 1 1 1 1 A

1  4 7 0

0 4 10 2 = @ 10 1

4

1 3 C C 5 A

2

1

;

1

:

F:

A :

11. Dar un ejemplo de una matriz

A

2 M22 tal que A2 = A3 = 0 pero A 6= 0.

12. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es ortogonal, idempotente, unipotente o nilpotente:

A

0 2 2  4 1 = @ 1 3 4 A 1 2  3

0



1

= 1 0

; B

; C

1 0  = 2 1

; D

01 =@ 1

1 0 1 0 2 2 0

13. Calcular el determinante de las siguientes matrices de orden 2: A

1 3 = 2 7

;

B

0 1 = 1 2

C

4 0 = 0 3

D

1 A

:

2 3 = 2 3

14. Calcular el determinante de las siguientes matrices orden 3 utilizando la regla de Sarrus:

A

15. Dada la matriz

A

01 2 21 =@ 3 0 7 A

B

5 4 1

01 1 0 1 =@ 4 2 2 A

C

1 3 2

01 2 01 = @ 1 4 1 A calcular:

01 2 3 1 =@ 1 0 1 A 1 1 0

3 1 0

 Los menores complementarios de los elementos a13, a22 , a11:  Los adjuntos de los elementos de la segunda …la.  El determinante jAj; desarrollando por los elementos: (a) de la primera …la

(b) de la segunda columna

(d) de la primera columna

(c) de la tercera columna

(e) de la tercera …la

Indíquese cual de estos métodos ha resultado ser más e…ciente (rápido) para calcular el valor de

16. Dadas las matrices

A

2 1  1 3  = 0 1 deducir que j + j =6 j j + j = 2 1 ;B

A

B

A

j

B :

17. Probar, sin efectuar su cálculo, que los determinantes de las siguientes matrices son nulos:

A

01 =@ 1 1

a

b

b

c

c

a

+ 1 + A c

+

a

18. Calcular el rango de la matriz A

B

b

0 B B =B B @

1 6 11 16 21

2 7 12 17 22

01 1 1 1 2 1 B2 4 1 5 3C =B @1 0 1 0 2C A 1 0 1 0 2

19. Determinar los valores del parámetro

a

para los que la matriz

0 2 1 1 1 1 B 0 0 1 C =B @2 1 1 0 C A a

A

a

1 1 0

tiene rango completo. Para

a

0

= 2 calcular la matriz inversa 1 A

:

3 8 13 18 23

4 9 14 19 24

5 1 10 C C 15 C C 20 A 25

jAj:

20.

Calcular el determinante de las siguientes matrices

01 B0 A =B @0 0

0 1 0 0

2

1 3 0

1 0 2 7

1 C C A

0 B B B =B B @

1 2 5 3 2

0 2 0 0 3

3

1 1 0 1

1

2 0 4 0

4 3 2 1 4

1 C C C C A

03 C =@ 2 1

0 2 3

0 0 3

1 A

HOJA 2: SISTEMAS LINEALES A) Cuestiones test 1. Sea

A

=

tal que



a4

a1;

a2 ;

a3 ;

 una matriz cuadrada de orden 4, donde

a4

a1 , a2 , a3

y

a4

son sus columnas y

= 2a1 + a2 . Entonces se veri…ca que:

(a) el sistema

= 0 es compatible indeterminado.

Ax

(b) el sistema

Ax

= 0 es compatible determinado.

(c) el sistema

Ax

= 0 es incompatible.

2. Dada una matriz

A

2

! ! 2 R ! ! ! 6 ! ! 6 !

y dos vectores

Mm  n

entonces se veri…ca que el sistema

A x

=

, con

c

m

b ; c

c

! !

, si el sistema

= 0;

c

=

Ax

=

b

es compatible determinado

es:

b

(a) siempre compatible determinado. (b) compatible determinado si

m

=

n:

(c) podría ser incompatible.

8 < 3 + + =2 : 2 + ==01

3. Dado el sistema lineal:

x

y

z

con

az

y

a

z

2R

Entonces se veri…ca que:

(a) Es incompatible cuando

a

= 0.

(b) Es compatible determinado para cualquier valor de (c) Tiene solución única cuando

a

6

4. Dada la matriz ~ b

2R

A

0

3:

0

1

1



0 1

2R

.

= 0.

(d) Es compatible indeterminado para

01 =@ 1

a

a

= 0.

1 A y los sistemas

A~ x

~ y =0

A~ x

=~ b se veri…ca que para cualquier vector

2

(a) Ambos son siempre compatibles determinados para cualquier vector b~

 ~

(b) El sistema (c) rg

A

A~ x

A~ x

3.

=0~ es compatible indeterminado.

= 3 = rg (A), para cualquier vector b~

(d) El sistema

2R

2R

3.

=b~ podría ser incompatible para algún ~b

2R

3.

B) Problemas 1. Un agente de bolsa debe comprar 60 acciones entre la empresa Potato y la empresa Pepito; cada acción de Potato cuesta 6 euros y la de la empresa Pepito 1 euro. El agente de bolsa dispone de 130 euros. ¿Cuantas acciones ha comprado de cada empresa?

2. Hallar la solución general (en el caso de que exista) de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:



i)





3y 4x + 2y

x

= =



4 6

ii)

2x + y

=

6x + 2y

=

 



3

iii)

6

4x + 2y

=

12x + 6y

=

3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos de ecuaciones lineales:

8 +  < 2 4 +3 ) : 5 + 13  10 x

i

x

x

y

z

y

y

z

z

=

0

=

0

=

0



ii)

x



y

+ 7z

2x + 3y





t

8z + t

=

0

=

0

1



1

4.

¿Qué valor de 5.

43xx + : x  2yy + 34zz + 76tt > 34xy+2zz  t2t : x + 6 y  2 z

7.

8.

10.

0

=

0

=

0

=

0

= = = =

2

8 1

7

8> 3x + 4y  5z + 7t = < 3z  2t = ii) > 4x2x+113yy +13 z + 16t = : 7x  2y + z + 3t = 8 x  2y + z + t = 2 > < = 8 iv) > 3x4y+2zz  t2t = : 5x + 3z  t = 10

0 0 0 0

Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer

8 < x  2y + z i ) : 2x  y + 4z 3x  2y + 2z

Determinar los valores de c) ninguna solución.

9.

=

=

7

=

17

=

14

8 < 2x + 3y  z ii) : 3x + 5y + 2z x  2y  3z

=

1

=

8

=

1

k para que los siguientes sistemas tengan: a) solución única; b) in…nitas soluciones;

2x + y  z < ii) > xx + 2yy++kz3z : 3x + 2y + 2z

=

3

=

2

=

1

=

2

a, b y c para que los siguientes sistemas sean compatibles: = a...