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Esto te puede ayudar mucho con tus practicas del curso de física...

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Producto vectorial operación matemática con dos vectores

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

El área de un paralelogramo como la magnitud de un producto cruzado

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores

y

en el espacio vectorial

resultado un nuevo vector,

. El producto vectorial

. El producto vectorial entre y

se denota mediante

y

da como , por ello se

lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:[1]

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Producto vectorial según el ángulo entre vectores

donde

es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la

regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Precisiones Se denomina producto vectorial del vector a por el vector b [2] al vector denotado por

y

definido por las tres exigencias siguientes: el módulo de

es igual al módulo de a por módulo de b por

, en donde

es el

ángulo orientado formado por los vectores a y b el vector

es perpendicular a cada uno de los vectores a y b

la dirección del vector

respecto a los vectores a y b es igual que la del eje coordenado

Oz respecto a los ejes coordenados Ox y Oy, como si girase de Ox a Oy y avanzase en la dirección positiva de Oz.

Producto vectorial de dos vectores Sean los vectores concurrentes de

, el espacio afín

tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de

es el de un

sacacorchos que gire en la misma dirección.

Ejemplo El producto vectorial de los vectores

y

se calcula del siguiente

modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente que

es ortogonal a los vectores

y

efectuando el

producto escalar y verificando que este es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

Propiedades

Identidades Cualquiera que sean los vectores , 1.

y : ; el producto vectorial no es asociativo

; anticonmutatividad

2. 3.

; cancelación por ortogonalidad.

4. Si

con

y

,

; la anulación del producto vectorial

proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones. 5.

; distributividad por derecha e izquierda ; conocida como regla de la expulsión.

. 7.

; conocida como identidad de Jacobi.

.

, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores

y

, siendo , el ángulo menor entre los vectores

y

; esta expresión

relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores. 9. El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el producto vectorial: 10. El vector unitario [3]

11.

es normal al plano que contiene a los vectores

y

.

; el producto vectorial es nilpotente

12.

; el producto vectorial es bihomogéneo

Bases ortonormales y producto vectorial Sea un sistema de referencia

en el espacio vectorial

. Se dice que

es

una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones: 1.

; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.

2.

; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).

3.

,

Vectores axiales

,

; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de Hodge En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

Donde

denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores, y

denota el

operador estrella de Hodge.

Generalización a más dimensiones Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, este puede generalizarse a n dimensiones, con n ≠ 0, 1, y solo tendrá sentido si se usan n-1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado solo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal. Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

Otros productos vectoriales Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos: Producto escalar (el resultado de la operación es un escalar) Producto vectorial (el resultado es un vector)

Producto tensorial El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de tres vectores. En el espacio afín bidimensional,

, el producto vectorial es una operación externa, ya que da

como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional,

, el producto vectorial es una operación interna.

Véase también Base (álgebra) Base ortogonal Base ortonormal Combinación lineal Doble producto vectorial Espacio vectorial Independencia lineal Producto escalar Producto mixto Producto tensorial Sistema generador

Notas y referencias 1. Spiegel, 1992, p. 96 2. Únicamente, se define el producto vectorial para vectores del espacio R3 3. un vector es paralelo a sí mismo

Bibliografía

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-4044290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). NuevaYork: John Wiley & Sons. ISBN0-471-32057-9. Spiegel, M. & Abellanas, L. (1988). Fórmulas y tablas de matemática aplicada. McGraw-Hill. ISBN84-7615-197-7.

Enlaces externos Bogomolny, Alexander. «Real and Complex Products of Complex Numbers» (http://www.cut-th e-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml) . Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http://www.cut-the-knot.org/index.shtml)

(en inglés).

Weisstein, Eric W. «Cross Product» (http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html) . En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q178192 Multimedia: Cross product (https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Cross_produc t)

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Última edición hace 1 mes por Kirchhoff

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