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programma del corso di algebra lineare e geometria...

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ALGEBRA LINEARE LEZIONE 2 Esempi di spazi vettoriali, combinazioni lineari di vettori, vettori linearmente indipendenti, vettori linearmente dipendenti.

LEZIONE 3

LEZIONE 4 Unione e intersezione di sottospazi vettoriali, somma di sottospazi vettoriali, sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori.

LEZIONE 5 Insiemi di generatori, basi di uno spazio vettoriale, spazi vettoriali finitamente generati, esempi di spazi vettoriali non finitamente generati. Il lemma dello scambio.

LEZIONE 6 La dimensione di uno spazio vettoriale. Ogni insieme di generatori contiene una base, ogni insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato a una base.

LEZIONE 7 In uno spazio vettoriale di dimensione n, n vettori linearmente indipendenti sono anche generatori, quindi formano una base. In uno spazio vettoriale di dimensione n, n generatori sono anche linearmente indipendenti, quindi formano una base. La formula di Grassmann. Somma diretta di due sottospazi vettoriali.

LEZIONE 8 Esercizi su sottospazi vettoriali, sistemi di generatori, basi, intersezione e somma di sottospazi vettoriali.

LEZIONE 9 Funzioni lineari tra spazi vettoriali, isomorfismi di spazi vettoriali. Componenti di un vettore rispetto ad una base fissata. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo K sono isomorfi a K^n. LEZIONE 10 Nucleo e immagine di una funzione lineare. Teorema della nullità + rango

LEZIONE 11 Matrice associata ad una funzione lineare. Somma di funzioni lineari e somma di matrici. Prodotto di una matrice per uno scalare. Lo spazio vettoriale delle matrici. Composizione di funzioni lineari e prodotto di matrici LEZIONE 12 Operazioni tra matrici e loro proprietà. La trasposta di una matrice.

LEZIONE 13 Esempi ed esercizi sulle matrici associate alle funzioni lineari.

LEZIONE 14 Cambiamenti di base in uno spazio vettoriale. Matrici relative alla stessa funzione lineare tra due spazi vettoriali, rispetto a basi diverse. Formule di cambiamento di base.

LEZIONE 15 Esercizi sui cambiamenti di base. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei e non omogenei. LEZIONE 16 Il teorema di Rouché-Capelli. Operazioni elementari sulle righe o colonne di una matrice. Eliminazione di Gauss (riduzione di una matrice in forma a scala)

LEZIONE 17 Risoluzione di un sistema lineare mediante il metodo di eliminazione di Gauss. Esempio di applicazione dei sistemi lineari: la TAC. Operazioni elementari e moltiplicazione per le rispettive matrici. LEZIONE 18 Esercizi sulla riduzione di una matrice in forma a scala. Calcolo della matrice B tale che BA = A' è la forma a scala di A. Determinazione delle relazioni di dipendenza lineare tra vettori. Determinazione di una base dell'intersezione di due sottospazi vettoriali.

LEZIONE 19 Calcolo dell'inversa di una matrice mediante l'eliminazione di Gauss. Il concetto di determinante di una matrice.

LEZIONE 20 Permutazioni, segno di una permutazione. Definizione del determinante di una matrice. Calcolo esplicito del determinante (usando le permutazioni) per matrici di ordine 2 o 3. Alcune proprietà dei determinanti. LEZIONE 21 Alcune proprietà dei determinanti. Calcolo del determinante mediante l'eliminazione di Gauss. Il teorema di Binet. I complementi algebrici e la matrice aggiunta. La formula di Laplace. LEZIONE 22 La formula per calcolare l'inversa di una matrice. Il teorema di Cramer. Matrici simili. Autovalori e autovettori.

LEZIONE 23 Polinomio caratteristico, equazione caratteristica. Esempi di calcolo di autovalori. Autovettori e autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Esempi di calcolo di autovettori.

LEZIONE 24 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Matrici diagonalizzabili. Esercizi su autovalori e autovettori. LEZIONE 25 Criterio di diagonalizzabilità di una matrice. Autovalori di una matrice simmetrica. Applicazione della diagonalizzazione delle matrici alla risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali lineari. LEZIONE 26 L'esponenziale di una matrice. Esercizi.

LEZIONE 27 Esercizi (sottospazi vettoriali, funzioni lineari, matrici). Controllare domande di teoria.

LEZIONE 28 Esercizi (funzioni lineari, matrici). LEZIONE 29 Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori, diagonalizzazione). Controllare domande di teoria.

LEZIONE 30 Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori). LEZIONE 31 Esercizi (funzioni lineari, matrici, autovalori, autovettori).

LEZIONE 32 Il prodotto scalare di due vettori. Norma di un vettore, angolo tra due vettori, aree, volumi. Il sottospazio ortogonale di un sottospazio vettoriale.

LEZIONE 33 La dimensione dell'ortogonale di un sottospazio vettoriale. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale.

LEZIONE 34 Il metodo dei minimi quadrati. Basi ortogonali e basi ortonormali. Il procedimento di Gram-Schmidt. LEZIONE 36 Cambiamenti di base, matrici congruenti. Il procedimento di Gram-Schmidt per le forme bilineari simmetriche definite positive (costruzione di basi ortogonali o ortonormali).

LEZIONE 37 Metodo per determinare se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa o indefinita. Esercizi sulla costruzione di basi ortogonali.

GEOMETRIA...