Propiedades elásticas de los sólidos (Unidad 1) PDF

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Este apunte se nos fue otorgado por los profesores de la cátedra, el Lic. Victor Aramburu y la Ing. Marta Saracho, en el cual se analizan las propiedades elásticas de los sólidos (Ley de Hooke, Tensión o Esfuerzo, Deformación unitaria, Módulos de elasticidad, Relaciones entre las constantes elástica...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES. DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FÍSICA I I APUNTE DE CÁTEDRA Carreras: Licenciatura en Física. (Plan 2005). Profesorado en Física. (Plan 2005).

UNIDAD 1:

PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS SÓLIDOS Propiedades elásticas de los sólidos: Ley de Hooke, Tensión o Esfuerzo, Deformación unitaria, Módulos de elasticidad. Relaciones entre las constantes elásticas. Torsión. Unidades.

Docentes: Ing. Marta Saracho Lic. Víctor Aramburu - 2017 -

Física II: Elasticidad.

Introducción. Hemos considerado a los cuerpos sólidos como rígidos. Pero esta afirmación no es estrictamente válida pues toda sustancia real se deforma más o menos bajo la acción de una fuerza. Ahora estudiaremos los cambios que esas fuerzas ocasionan al cuerpo que las soporta. Los cuerpos que sufren una deformación al aplicarles una fuerza y recuperan su forma primitiva al suprimir la misma, se llaman elásticos. Ejemplos: la flexión de un trampolín cuando se los somete a cierta carga, al desaparecer la carga, el trampolín recupera su forma original. Lo mismo ocurre con un resorte. La relación entre fuerza y deformación fue formulada por ROBERT HOOKE (1635-1703) y establece lo siguiente: " La deformación de un cuerpo elástico es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada, con tal que no se sobrepase el límite elástico". Los resortes obedecen muy bien la Ley de HOOKE, incluso para grandes elongaciones. Al aplicar una fuerza F, el extremo del resorte se desplaza una distancia X, y según esta ley, fuerza y distancia son directamente proporcionales: 𝐹 = 𝐾 ∆𝑋 donde K es la constante de elasticidad del resorte, es la fuerza por unidad de alargamiento. Sus unidades son:[𝐾] =

[𝑁] [𝑚]

Deformación y Esfuerzo Deformación: es el cambio relativo de las dimensiones o formas de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo. Un cuerpo puede deformarse de varias maneras, así por ejemplo una pelota puede comprimirse adquiriendo cualquier forma. Pero, aún para la deformación más complicada, cada pequeña porción de volumen infinitesimal del cuerpo entraña dos clases básicas de variación: a) De volumen; b) De forma o ambas. a) Consideremos un cubo. Si todas sus caras están sometidas a fuerzas iguales que actúan perpendicularmente a ellas, como un cuerpo sumergido totalmente en un líquido, tendremos, únicamente, una variación de volumen. Si el volumen inicial es V0 y el final V, la variación de volumen será: ∆𝑉 = 𝑉 − 𝑉0 . Como medida de la deformación utilizaremos la relación

∆𝑉 𝑉

, que llamaremos:

deformación unitaria (disminución de volumen por unidad de volumen). (Figura 1) Figura 1 b) También podemos deformar el cubo, de manera que no varíe su volumen pero sí su forma. Esta deformación no se consigue aplicando fuerzas iguales, perpendiculares a sus caras, se precisa la acción de un par. El caso más sencillo es el representado en la figura 2 donde dos caras opuestas están sometidas a fuerzas tangenciales iguales y opuestas (Figura 2)

𝜙

𝜙 𝜃

La deformación unitaria de este tipo, recibe de nombre de

Figura 2

deformación unitaria por corte o cizalladura y se mide por la 𝑡𝑎𝑔 𝜙 , donde 𝜙 es el ángulo de cizalladura. Si 𝜙 es pequeño, podemos decir que 𝑡𝑎𝑔 𝜙 ≅ 𝜙, y entonces la cizalladura es 𝜙 medido en radianes.

1

Física II: Elasticidad.

c) Ambas deformaciones, de volumen y de corte o cizalladura pueden combinarse de manera más complicada. Una de ellas es el alargamiento o acortamiento que se produce a consecuencia de una tensión (tracción o compresión). Si se aplica una fuerza F a los extremos de una varilla, Figura 3, ésta

l0

experimenta un alargamiento l. Se define la deformación unitaria longitudinal de un

lf

alambre o varilla  como la variación de longitud por unidad de longitud: 𝜺 =

Figura 3

∆𝑳

l

𝑳𝟎

Unidades: Realizando el análisis de las unidades correspondientes se comprueba que la deformación es adimensional, pues es un cociente entre cantidades homogéneas. Esfuerzo: Se define el esfuerzo como una fuerza por unidad de superficie. El esfuerzo se refiere a la fuerza (no es simplemente una fuerza) causante de la deformación, mientras que la deformación unitaria se refiere a la cantidad de esa deformación. Esfuerzo de compresibilidad: Se define como: F /A, donde A es el área de una de las caras del cubo y F es la fuerza normal de compresión a esa cara. Este esfuerzo provoca la deformación unitaria de volumen y se llama también presión, es el que ejercen los fluidos sobre los cuerpos en ellos inmerso. Esfuerzo unitario de corte o cizalladura: Se define como:  

F// donde A es el área de una de las caras del cubo y F฀ es la fuerza tangente A

a la cara de área A. La deformación provocada por este esfuerzo es la de corte o cizalladura Esfuerzo unitario longitudinal: Se define como:  

F , donde A es la sección recta del alambre y F es el peso total aplicado al A

alambre. La aplicación de este esfuerzo origina la deformación unitaria longitudinal. Unidades. SI: [Esfuerzo]=[N]/[m2 ]

CGS: [Esfuerzo]=[dinas]/ [cm2]

TÉCNICO:[Esfuerzo]= [Kg] / [m2 ]

Módulos: Un enunciado más general de la ley de Hooke es el siguiente: "Los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones" . Por lo tanto la razón del esfuerzo a la deformación unitaria es una constante, dentro de amplios límites, independiente de la forma y tamaño del cuerpo y depende solamente de las características de la sustancia que lo constituye y del tipo de deformación. Dicha constante es el Módulo de Elasticidad del Material. (Figuras 4-a y 4b) 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 =

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2

Física II: Elasticidad.

De acuerdo al tipo de deformación tenemos diferentes módulos:





  Figura 4-b: Gráfica de esfuerzo de corte o cizalladura en función de la deformación unitaria.

Figura 4-a: Gráfica de esfuerzo de tracción (o compresión) en función de la deformación unitaria.

Módulo de Compresibilidad

B

F /A p   V / V V/V 0

En esta relación el signo negativo se utiliza porque el módulo es una cantidad positiva, y un aumento de presión ocasiona disminución de volumen. Su recíproco recibe el nombre de coeficiente de compresibilidad "k" y representa el

1 1 V k  p V0 B

cambio fraccional de volumen por unidad de incremento de presión.

Módulo de Rigidez o de Corte G 

F// / A





 

E

Módulo de Young

F/A   l/l 0 

Unidades: Todos los módulos se miden en unidades de fuerza/área, ya que como vimos la deformación es un número adimensional. Tanto el módulo de rigidez como el de Young, son nulos para todos los líquidos y gases. Esto es así porqué un fluido no tiene rigidez y no se precisa fuerza alguna para deformar un cubo del mismo. Además los líquidos tienen menores módulos de elasticidad cúbica y por consiguiente mayores compresibilidades que los sólidos, el módulo de elasticidad cúbica de los gases es alrededor de la millonésima parte del de los sólidos.

 r

Límite de Elasticidad. Límite de Ruptura La

relación

entre

esfuerzo

R

y

deformación unitaria puede representarse mediante un diagrama esfuerzo-deformación.

f e

A

B

A

Este diagrama constituye la base para la evaluación de diversas propiedades mecánicas: resistencia, deformación y energía de los materiales. La Ley de Hooke, que asegura la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación, es

válida

sólo

hasta

cierto

límite.

Si

representamos esta ley para el acero, hasta cierto valor de  obtenemos una recta. Es decir

O Zona Elástica

B' Zona de Fluencia

 Zona Plástica

Figura 5: Límite de Elasticidad y Límite de Ruptura. 3

Física II: Elasticidad.

 . El valor máximo de la tensión para la cual la deformación desaparece totalmente cuando la causa que la originó deja de actuar, se llama Límite de Elasticidad (punto A). Es decir, si no se sobrepasa este límite, al disminuir el esfuerzo la curva es recorrida en sentido inverso y al suprimir el esfuerzo, la deformación se anula. Si se sobrepasa ese límite, se producen grandes deformaciones para pequeños aumentos de tensión. La tensión que corresponde al punto A', donde se inicia este fenómeno se llama Tensión de Fluencia. En este punto el material parece que fluye como un líquido viscoso y se alteran sus propiedades elásticas. Adquiere una deformación permanente es decir no recupera su longitud inicial, aunque se eliminen los esfuerzos aplicados. Con posterior aumento de la carga llegamos a la tensión R que es la Tensión de Rotura, pues en este punto ha sido vencida la cohesión interna y el cuerpo se rompe. Si aumentamos la carga hasta llegar al punto B y descargamos, el material no volverá a su estado inicial, pues no estamos dentro de la zona elástica, la deformación disminuye según la línea BB'. El hecho que las curvas no coincidan al aumentar y disminuir el esfuerzo se llama histéresis elástica. Cuando el esfuerzo se anula, la deformación no desaparece por completo y la muestra adquiere una deformación residual o permanente OB'. Si aumentamos de nuevo el esfuerzo, la curva -  , tiene una pendiente distinta. Interpretaremos el mecanismo físico que origina el comportamiento expuesto. Todo sólido está constituido por moléculas, las cuales están distribuidas en forma regular, ocupando cada una de ellas, una posición bien definida respecto a las otras. Las distancias entre moléculas, para pequeñas deformaciones varía ligeramente, y las fuerzas entre ellas tienden a llevarlas a sus posiciones iniciales. Mas allá del punto A, las moléculas se han desplazado mucho, e incluso alguna de ellas han intercambiado sus lugares. Al quitar el esfuerzo no son capaces de restablecer la distribución inicial, quedando deformadas varias regiones del cuerpo en forma permanente. En el punto R, muchas moléculas han sido separadas de sus vecinas, por lo cual las fuerzas de cohesión entre las restantes no son suficientes para mantener unida la sustancia. (Figura 5). Si efectuamos cargas y descargas en la zona plática veremos como dijimos que la curva de carga no coincide

𝐻

𝜎

𝐸

con la de descarga. Al descargar según ABC queda una

𝐴

deformación permanente OC y al volver a cargar la muestra ensayada, el ascenso CDE es según una curva no

𝐷

concordante con la descarga. Queda entre ambos una zona formando un bucle que se denomina, como dijimos, histéresis elástica. (Figura 6). Estos bucles significan una pérdida de energía elástica de carácter irreversible que se transforma

𝐹 𝐵

𝑂

𝐶

𝐺

𝜀

Figura 6: Cargas y descargas en la zona plástica

parcialmente en calor. De acuerdo al comportamiento ante este tipo de ensayo, podemos distinguir tres tipos de materiales: Frágiles: pequeñas deformaciones para grandes esfuerzos, sin límite de fluencia. Ruptura brusca: Ejm. Vidrio, hormigón Dúctiles: elásticos, fluencia pronunciada, ruptura con contracción de sección transversal. Ejm. Acero dulce. Plásticos: pequeña elasticidad, grandes deformaciones permanentes: arcilla, asfalto. (Figura 7-a y 7-b).

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Física II: Elasticidad.

Material frágil





Material frágil

Material plástico Material plástico

 Figura 7-a: Curvas reales típicas de materiales frágiles y plásticos.

 Figura 7-b: Curvas ideales típicas de materiales frágiles y plásticos.

Coeficiente de Poisson Cuando una varilla se somete a tracción, no solo se alarga en dirección de la fuerza aplicada, sino que sus dimensiones transversales disminuyen. Por el contrario, se produce un aumento de dichas dimensiones si la varilla se comprime. La razón de la deformación transversal a la longitudinal recibe de nombre de coeficiente de Poisson, en honor al físico y matemático S. Poisson (1781-1840), que fue el primero en utilizarlo:   

 r/r l / l

Este coeficiente está relacionado con los restantes módulos de elasticidad a través de las siguientes ecuaciones: B 

E 3(1  2 )

G

E 2(1   )

Torsión Cuando los extremos de una varilla de sección circular están sometidos a un par, como por ejemplo, el eje del volante de una máquina, sufre una deformación llamada torsión. (Figura 8) Consideremos un cilindro hueco de paredes delgadas, uno de cuyos extremos están sujetos en una posición fija y al extremo libre se le aplica un momento. Este cilindro está sometido a torsión. (Figura 9-a y 9-b) Figura 8: Barra sometida a torsión.

En el caso de la figura b, el rectángulo entre las generatrices del cilindro pasa a ser un paralelogramo,

en

consecuencia

el

F

material

experimenta deformación por corte o cizalladura.

 Encontraremos ahora la expresión matemática que relacione el esfuerzo aplicado con

F

la deformación.

F Figura 9-a: cilindro antes de sufrir deformación

Figura 9-b: cuando se aplica un par 5

Física II: Elasticidad.

Como vimos la deformación puede expresarse por el ángulo de corte  , (Figura 10). Sin embargo este ángulo no es tan fácil de medir como el  , ángulo de

F

rotación del extremo girado. Para varillas macizas las

B'

ecuaciones pueden encontrarse dividiéndola en láminas

B

cilíndricas de radio r y espesos dr. (Figura 11-A y 11-B). La deformación unitaria por capa es:

 

a r.  l l

F A

A' F Si representamos por dF la suma de las fuerzas tangentes que actúan sobre el borde superior de la capa

Figura 10: Par de fuerzas aplicado en los

tenemos: Área de la capa: A=2r dr

Esfuerzo aplicado:  

dF 2 rdr

Módulo de torsión:

G

l.dF    2  . r.dr. .r

Figura 11: Corte de una barra sometida a torsión. En (a) se halla libre de esfuerzos, mientras que en (b) su una deformación

2G r 3 dr El Momento debido a esas fuerzas : dM  rdF  l El Momento del par necesario para torcer toda la barra puede calcularse integrando la ecuación anterior entre r= 0 y r= R :

.G .R 4 2. .G. 3 r dr .   l 2l 0 R

M 

4 .G.R es la constante de Por lo tanto podemos escribir que: 𝑀 ∝ 𝜃 o bien M= C.  donde C  2l

torsión de la varilla. Tensión (o esfuerzo) de Trabajo: Coeficiente de seguridad. Una información completa de las propiedades mecánicas está dado por su diagrama de tracción. De esta manera conociendo el límite de proporcionalidad, la tensión de fluencia y la tensión de rotura, sería posible determinar en cada caso particular la magnitud de la tensión que consideraremos como tensión(o esfuerzo) de seguridad, que corrientemente se denomina tensión de trabajo t. 6

Física II: Elasticidad.

Para que el material considerado esté siempre bajo condiciones elásticas, lo que significa la ausencia de deformaciones permanentes, se escoge la tensión de trabajo por debajo del límite de proporcionalidad. También se suele tomar la tensión de fluencia o de rotura para determinar la tensión de trabajo. De esta manera la magnitud de la tensión de trabajo se determina a partir de las relaciones:

t 

E

t 

n1

f n1

t 

r n1

donde E , f y r son, respectivamente, las tensiones límite de proporcionalidad, de fluencia y de rotura, y n1 , n2 y n3 son los denominados coeficientes de seguridad que determinan el valor de la tensión de trabajo. En general el coeficiente de seguridad se puede definir como la relación entre la tensión límite y la tensión máxima admisible a partir de la relación:

n

TensiónLímite TensiónMáximaAdmisible

donde la tensión límite sería, en cada caso particular, la tensión del límite elástico o la tensión de fluencia, para materiales dúctiles, o la tensión de rotura en el caso de materiales frágiles. Como puede observarse a partir de la relación anterior dicho coeficiente nunca podrá ser menor que uno: n  1 . Bibliografía. 1. Sears, Francis. Mecánica, Movimiento Ondulatorio y Calor. Edit. Aguilar. España. 1972. 2. Blatt, Frank J. Fundamentos de Física, Prentice - Hall Hispanoamericana S.A. 1999. 3. Gómez del Campo, J. C. Mecánica. Edit. Paraninfo. 1995. 4. Fliess, Enrique D. Estabilidad. Edit. Kapelusz. 1971. 5. Margenau, Watson, Montgomery. Principios y Aplicaciones de la Física: Edit. Reverté, S.A. 1960. 6. Guzman, A. Resistencia de Materiales. C.E.I.L.P. 7ma. Edición.1976. 7. Wilson, J. Física. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1996.

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