Prova 12 Junho 2016, questões PDF

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Departamento de Matematica, Universidade de Aveiro ́Calculo II (Agrupamento 1) ́16 de Junho de 2016 Durac ̧ ̃ao:2h30mExame FinalJustifique todas as respostas e indique os calculos efetuados. ́ O formulario encontra-se no verso desta p ́ agina. ́[30 pt.] 1. Determine, usando a transformada de Laplace...

Description

Departamento de Matem´atica, Universidade de Aveiro C´alculo II (Agrupamento 1) 16 de Junho de 2016 Durac¸ao: ˜ 2h30m alculos efetuados. Justifique todas as respostas e indique os c´ O formul´ario encontra-se no verso desta p´agina. 

Exame Final

−y′ + y = sinh(2t), y(0) = 0, t ≥ 0.

[30 pt.]

1. Determine, usando a transformada de Laplace, a soluc¸ao ˜ do P.V.I.:

[35 pt.]

2. Identifique e resolva as seguintes equac¸oes ˜ diferenciais de primeira ordem: (a) (1 + ex ) y y ′ = ex . (b) y′ + 6x y + x y 2 = 0.

[35 pt.]

3. Considere a equac¸a˜ o diferencial y′′′ − 5y′′ + y′ − 5y = f (x),

(1)

onde f e´ uma func¸a˜ o cont´ınua em R. (a) Escreva a equac¸ao ˜ linear homog´enea associada a` equac¸a˜ o (1) e mostre que a equac¸ao ˜ caracter´ıstica correspondente se pode escrever na forma (r − 5)(r 2 + 1) = 0. (b) Resolva a equac¸ao ˜ diferencial linear homog´enea referida na al´ınea anterior. (c) Sabendo que ϕ(x) = x e5x e´ soluc¸a˜ o da equac¸a˜ o (1), determine a express˜ao anal´ıtica da func¸a˜ o f . (d) Determine o integral geral da equac¸ao ˜ diferencial (1). [20 pt.]

4. Considere a func¸a˜ o f definida por f (x) =

+∞ X

sin(n2 x) √ . 5 n7 + 3 n=1

(a) Determine o dom´ınio de f . (b) Justifique que f e´ cont´ınua no seu dom´ınio. 2

[50 pt.]

[30 pt.]

5. Considere as func¸oes ˜ f (x) = ex e g(x) = ex . (a) Obtenha a formula ´ de Taylor de ordem n para f (x) em torno de c = 0 (com resto de Lagrange). (b) Determine um valor aproximado para f (−1) = 1/e usando o polin´ omio de Taylor de ordem n = 4 em torno de c = 0. Mostre que o erro cometido ao usar essa aproximac¸a˜ o n˜ao excede 1/100. Z 1 +∞ X 1 x2 e dx = (c) Encontre a s´erie de Taylor para g(x) em torno de c = 0 e mostre que . (2k + 1)k! 0 k=0  cos x se x ∈ [0, π [ 6. Considere a func¸a˜ o f definida em [−π, π[ por f (x) = . − cos x se x ∈ [−π, 0[ (a) Esboce o gr´afico de f para x ∈ [−π, π[. (b) Mostre que a s´ erie de Fourier associada a f e´ uma s´erie de senos, ou seja e´ da forma: +∞ X

bn sin(nx)

n=1

(bn ∈ R, n ∈ N)

e calcule o valor do coeficiente b1 que figura nesta s´ erie. (c) Sabendo agora que a s´erie de Fourier associada a f pode ser escrita na forma   +∞ 6 sin(6x) 8 sin(8x) 4 2 sin(2x) 4 sin(4x) 4 X 2n sin(2nx) + + + = +··· S(x) = 1·3 3·5 5·7 (2n − 1)(2n + 1) 7·9 π π n=1

esboce o gr´afico de S(x) no intervalo [−π, π[. Justifique. P´agina 1/2

Formul´ario: Transformadas de Laplace f (t), t ≥ 0 F (s) = L{f (t)}(s), s > sf

t n , n ∈ N0 n! , sn+1 s>0

eat , a ∈ R 1 , s−a s>a

sen(at), a ∈ R a , s2 + a2 s>0

αf (t)+ βg (t), α, β ∈ R eλt f (t), λ ∈ R tn f (t), n ∈ N αF (s) + βG(s),

F (s − λ),

(−1)n F (n) (s),

s > max{sf , sg }

s > sf + λ

s > sf

cos(at), a ∈ R s , s2 + a2 s>0

senh(at), a ∈ R cosh(at), a ∈ R s a , , s2 − a2 s2 − a2 s > |a| s > |a|

f (at), a>0 f (n) (t), n ∈ N n   X s 1 sn−k f (k−1)(0), , sn F (s) − F a a k=1 s > asf s > max{sf , sf ′ , . . . , sf (n−1)}

f (t − a), a> 0 (f nula em R− ) e−asF (s), s > sf

(Para al´em das condic¸oes ˜ indicadas, pode haver restric¸oes ˜ adicionais a considerar, para que as f´ ormulas da tabela sejam v´alidas.)

Primitivas func¸a˜ o

ur u′ , r 6= −1

u′ u

primitiva

ur+1 r+1

ln |u|

u′ eu

u′ au

u′ cos u

u′ sen u

eu

au ln a

u′ √ 1 − u2

sen u

− cos u

arcsin u ou − arccos u

u′ u′ u′ cosec u = cos u sen u primitiva ln | sec u+tan u| − ln | cosec u+cot u| func¸a˜ o

u′ sec u =

u′ sec2 u

u′ cosec2 u

u′ tg u

tan u

− cot u

ln | sec u|

P´agina 2/2

u′ 1 + u2 − ln | cosec u| arctg u ou − arccotg u u′ cot u...