Prova 26 Junho 2015, questões PDF

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Prova substitutiva ...

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UFPR. Prova Substitutiva da P1 ( ) ou da P2 ( ). CM041 2015/1 Turma A Aluno:

. 26/06/2015

Orienta¸ co ˜es: N˜ a o escreva apenas a resposta final, pois respostas n˜ a o justificadas ser˜ a o desconsideradas. As quest˜ oes podem ser resolvidas a l´ a pis ou caneta. Ningu´em poder´ a sair da sala durante a prova.

Quest˜ oes da P1: 1) (valor: 20) Seja f : R → R tal que x2 cos2 (x) ≤ f (x) ≤ xsen(x) ∀x ∈ (−π/2, π/2). f ´e cont´ınua em x = 0? Justifique. 2) Considere as fun¸co˜es  1   x−2 , x ≤ 3 f(x) = x − 1, 3 < x ≤ 4   1 + 1, x > 4. (x−4)2

g(x) =

ex − e−x ex + e−x

(a) (valor: 10) Mostre quais das trˆes condi¸co˜es de continuidade falham em cada ponto de descontinuidade de f. Justifique. (b) (valor: 10) H´ a ass´ıntotas verticais no gr´afico de f? Se existirem explique porque existem e dˆe sua equa¸ca˜o. (c) (valor: 10) H´a ass´ıntotas horizontais no gr´ afico de g? Se existirem explique porque existem e dˆe sua equa¸ca˜o. 3) Calcule e justifique: (a) (valor: 20) lim

x→∞

(b) (valor: 20)

x2 sen(x) − 1 . x3 + 1

√ x2 + 4 − 3 √ lim . √ x− 5 x→ 5

(c) (valor: 10) A taxa de varia¸ca˜o instantˆ anea de f(x) =

√ √ x2 + 4 em 5.

Quest˜ oes da P2: 1) Calcule: a) (valor: b) (valor: c) (valor: d) (valor:

dy 10) dx , se ex y = 2x + 2y. −1 ′ 10) (f ) no ponto x = −1 = f(3), se f(x) = x3 − 3x2 − 1, x ≥ 2. 10) f ′ (2), se f(x) = ln(x2 + 4) − x.tg −1 ( x2 ). 10) y′ , se s 2

y=

3

x(x + 1)(x − 2) . (x2 + 1)(2x + 3)

e) (valor: 10) lim (1 + sen(4x))cotg(x) .

x→0+

2) Uma escada de 13 p´es de comprimento est´ a apoiada em uma parede vertical em rela¸c˜ao ao ch˜ao de uma casa, formando um triˆangulo, quando a sua base come¸ca a escorregar e se afastar da parede. No momento em que a base est´a a 12 p´es da parede, a base escorrega a uma taxa de 5 p´es/s. Neste instante, a)(valor: 10) A que velocidade o topo da escada escorrega para baixo na parede? b)(valor: 10) Qual ´e a taxa de varia¸c˜ao da ´area do triˆ angulo formado pela escada, parede e ch˜ao? c)(valor: 10) Qual a taxa de varia¸ca˜o do ˆangulo θ, formado pela escada e pelo ch˜ ao? 3) Encontre todos os valores das constantes m e b para os quais a fun¸c˜ao ( sen(x), x < π f(x) = mx + b, x ≥ π a)(valor: 10) seja cont´ınua em x = π. Justifique. b)(valor: 10) seja diferenci´ avel em x = π. Justifique....