Prova de trigonometria PDF

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Questões da ´prova de trigonometria....

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Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 1. (Ufsc 2018) É correto afirmar que: 01) A função f: R → R definida por f(x) = 2senx  cos x é ímpar e de período fundamental 2 π.  3π  − x  = − sen x é satisfeita para todo x ϵ R. 02) A equação cos  2    π π 04) Seja f :  − ,  →  2 2

 π  R definida por f(x) = cos x(2x). A função é crescente no intervalo  − , 0 , decrescente em  2 

 π  0, 2 e não possui raízes reais.   08) Numa progressão aritmética a12 + a21 = 302 e a23 + a46 = 446, então o terceiro termo dessa sequência é 97. π , então tgx é um número irracional. 2 32) Se f: R → A é sobrejetora e definida por f(x) = a + bsenx com a e b reais tais que a  b  0, então A = [0, a + b]. 16) Se cossec x = 2 e 0  x 

2. (Ufrgs 2018) Se a e b são ângulos agudos e complementares, o valor da expressão sen 2 (a + b) − cos 2 (a + b) é: a) 0.

b) 1.

c) 2.

3. (Mackenzie 2018) Se cos x = a) −

5

b) −

3

5 2

d)

2.

e)

3.

2 3π  x  2 π, então o valor de tgx é igual a: , 3 2 5 5 c) d) e) 2 5 2 3

4. (Uem 2018) Assinale o que for correto. 01) sen (120) = cos (60). 5

8  215 02)   = . 9  310 04) Se 0  a  1, então a função g: R → R dada por g(x) = ax , para todo x real, é uma função crescente. 08) Sempre que 1  a  b, temos logb a  0. 16) A equação ex + e−x = 0 não possui solução real. 5. (Acafe 2018) Analise as alternativas a seguir e assinale a correta. π 41 a) Sabendo que x  R;  x  π e que sen (x) = 0,8, o valor de y = sec 2 (x) + tg 2 (x) é y = . 2 9 b) Se sen (x)  cos (x) = k, então, o valor de y para que y = sen4 (2x) − cos 4 (2x) é y = 8k 2 + 1. c) O maior valor possível para y, sabendo que y = 2 sen (2x) cos (2x) − 3 é y = 2.

π d) sen    sen (2) 2 6. (Fuvest 2018)

Página 1

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = sen (x) e que a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = αsen (βx), segue que: a) 0  α  1 e 0  β  1. d) 0  α  1 e β  1.

b) α  1 e 0  β  1. e) 0  α  1 e β = 1.

7. (Uece 2018) Seja f: R → R definida por f(x) = a função f assume, o valor do produto M  m é: a) 2,0. b) 3,5. c) 3,0.

c) α = 1 e β  1.

3 . Se M e m são respectivamente os valores máximo e mínimo que 2 + sen x

d) 1,5.

8. (Ebmsp 2018) A forma de onda senoidal ocorre, naturalmente, na natureza, como se pode observar nas ondas do mar, na propagação do som e da luz, no movimento de um pêndulo, na variação da pressão sanguínea do coração etc.

 π Um determinado fenômeno periódico é modelado através da função f(x) = 1 + 2 sen  2x + , parcialmente representada no 6  gráfico. Sendo P e Q pontos desse gráfico, é correto afirmar que o par ordenado que representa Q é:  25 π   13 π   7π  a)  b)  c)  , 3 + 2  ,1+ 2  , 1+ 3   24   12   6   5π   17 π  d)  , 1 + 3  e)  ,1+ 2   4   12  9. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da função f(x) = cot g2 (x) −

5 2

+ 2 pertencentes ao intervalo

4 sen (x)

π   2 , 3π  é igual a:   a) 4π

b)

53π 6

c) 9π

d)

35 π 6

e)

73π 6

10. (Unicamp 2018) Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,2. Logo, | sen x − cos x | é igual a: a) 0,5. b) 0,8. c) 1,1. d) 1,4.

 1 11. (Espcex (Aman) 2018) Sendo M = arctg(X), N = arctg   e P = tg(M − N), o valor de 30P para X = 15 é: X  224 45 a) b) c) 45. d) 224. e) 225. . . 30 6 12. (Espcex (Aman) 2018) O conjunto solução da inequação 2sen2x − cosx − 1  0, no intervalo  0, 2π é:

 2π 4 π  a)  , .  3 3 

π 5π  b)  , . 3 6 

 π 5π  c)  , . 3 3 

 π 2π   4π 5π  d)  , ,   . 3 3   3 3 

 π 5π   7π 10π  e)  ,    , 6 . 6 6   6  Página 2

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 13. (Ufpr 2018) Faça o que se pede.  cos α 4  π a) Seja α  0, . Sabendo que sen α = 0,6, calcule cosα e o determinante da matriz A =  . 3   2  1

b) Encontre todos os valores de θ 

 cos θ senθ 0    cos θ sen θ tem determinante det(B) = 1. R para os quais a matriz B =  1   2 1   1

cos17  0 sen17    14. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada M =  1 1 1  o valor do determinante de M10 é: sen28  0 cos28   a)

1 16

b)

1 32

c)

1 64

d)

1 128

e)

1 256

15. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: V(t) = log2 (5 + 2 sen( πt)), 0  t  2, em que t é medido em horas e V(t) é medido em

m3 . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante: b) t = 0,5 c) t = 1 d) t = 1,5 e) t = 2 a) t = 0, 4 16. (Ufsc 2017) Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que: 01) O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 3 h 25 min é 47,5 .

 2 πx  02) Dado qualquer número real t  0, a função real de variável real definida por f(x) = cos   satisfaz à identidade  t  f(x+ t) = f(x).

kπ , sendo k um número inteiro, então sec2 x + cossec2 x = sec2 x  cossec 2 x. 2 08) A equação sec x = 2 apresenta duas soluções no intervalo 0  x  4 π.

04) Se x 

17. (Upe-ssa 3 2017) Se a função trigonométrica y = a +bsen(px) tem imagem I = [1, 5] e período

a + b + p? Adote π = 3. b) 6 a) 5

c) 8

18. (Ucpel 2017) Se tg α = 2 com 0  α  a)

4 5

b)

5 4

c)

5 3

d) 10

3 , qual é o valor da soma π

e) 11

π , então sen 2α é igual: 2 2 4 d) e) 5 3

19. (Udesc 2017) Considere a função f(x) = cos (x) + 3 sen (x), e analise as proposições.

 π I. f(x) = 2 sen (x + a) para algum a  0,   2  π II. f possui uma raiz no intervalo 0,   2 III. f tem período π Assinale a alternativa correta. a) Somente a proposição II é verdadeira. b) Somente as proposições I e II são verdadeiras. c) Somente as proposições II e III são verdadeiras. d) Somente a proposição III é verdadeira. e) Somente a proposição I é verdadeira. Página 3

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 20. (Ita 2017) O maior valor de tgx, com x = a)

1 . 4

b)

1 . 3

c)

1 . 2

 3  π 1 arcsen   e x  0,  , é: 2 5  2 d) 2.

e) 3.

21. (Uepg 2017) Considere as expressões A = sen( π + x) cos( π + x) e B = sec(2π − x) cotgx, sendo x um número real em que as expressões são definidas. Nesse contexto, assinale o que for correto. 5π 01) Se x = , então A  B  0 3 π 02) Se x = , então B2 = 4 6 04) A  B = cos x 08) B = sec x 16) A = sen2x 22. (Pucrj 2017) Considere a equação sen (2θ) = cos θ. Assinale a soma de todas as soluções da equação com θ  [0, 2π]. a)

2π 3

b)

π 3

c)

3π 2

d)

π

e) 3π

6

23. (Uece 2017) O número de soluções da equação | sen(x) | =| cos(x) |,no intervalo fechado [−2π, 2π] é igual a: a) 4. b) 10. c) 8. d) 6.

π  24. (Upf 2016) Seja a um número real pertencente ao intervalo  , π  . A expressão que representa um número real positivo 2  é: b) sen a  tg a c) cos a  sen a d) sen a − tg a e) cos a + tg a a) cos a − sen a 25. (Pucsp 2016) Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015 + x, com x  {0, 1, 2, , o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em milhões de dólares,

π  poderia ser obtido pela função f(x) = 250 + 12cos  x . Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total 3  arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que: a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. c) poderá superar 300 milhões de dólares. d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares. 26. (Fgv 2016) O número de quartos ocupados em um hotel varia de acordo com a época do ano. Estima-se que o número de π  quartos ocupados em cada mês de determinado ano seja dado por Q(x) = 150 + 30cos  x  em que x é estabelecido da 6  seguinte forma: x = 1 representa o mês de janeiro, x = 2 representa o mês de fevereiro, x = 3 representa o mês de março, e assim por diante. Em junho, em relação a março, há uma variação porcentual dos quartos ocupados em: b) −15% c) − 30% d) − 25% e) − 50% a) − 20% 27. (Uem 2016) Assinale o que for correto . π temos senx  cos x  0. 01) Para 0  x  2 π   02) O conjunto solução da equação sen 2x −  = 1 é x  3  

=

5π + π 12



 

cos2

x = 1, então senx = 0. 08) A função f : (0, π) → [ −1,1], definida por f(x) = sen x, é bijetora. 16) A equação sen x = 0,9 tem uma solução para π  x  2 π. 04) Se

Página 4

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 28. (Uepg 2016) Sobre trigonometria, assinale o que for correto. 01) Se sec 2 x + 2 tgx = 4 e sendo x um arco do 2º quadrante, então sen x + cos x =

10 . 5

 3π  + a  + sen( π + a) = sena. 02) cos  2  2 04) 1 − 2cos 105  =

3 . 2

2 tg 2 θ = cossec 2 θ. 1 + cos 2θ 16) 2sen280   cos50  + 2cos280   sen50 = −1.

08)

29. (Fac. Pequeno Príncipe - Medici 2016) A =

2 sen 20  sen 70 

3 cos 50  + sen 40  b) −0,6. a) 1.

Assinale a alternativa que contém valor exato de log A, sabendo-se que:

e log2 = 0,3. c) −0,8.

d) 0,6.

e) 0,3.

30. (Pucrj 2016) Sabendo que cos(3x) = −1, quais são os possíveis valores para cos(x)?

1 e −1 2 3 1 e b) 2 2 1 e1 c) 2 d) −1 e 5 a)

e) 0 e

3 2

Página 5

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria Gabarito: 1: 02 + 08 + 16 = 26. [01] De f ( x ) = 2senx cos x,

f ( x ) = sen2x Sendo P o período de f, 2π =π P= 2 Portanto, a afirmação [01] é falsa.

 3π  [02] De cos  − x  = − senx, 2    π 3 π  − x   = − senx sen −    2  2 π π 3   + x = − senx sen −  2 2  sen( x − π) = − senx sen( − (π − x )) = −senx −sen ( π − x ) = −senx −senx = −senx Portanto, a afirmação [02] é verdadeira.

 π π [04] De f : − ,  → ( ) = cos x  (2x ),  2 2 f (x ) = 0  cos x ( 2x ) = 0 De cos x  (2x ) = 0, cosx = 0 ou 2x = 0 De 2x = 0, x=0  π π Como 0   − ,  , a função f apresenta raiz real. Portanto, a afirmação [04] é falsa.  2 2

[08] De a12 + a21 = 302, a3 + 9r + a3 + 18r = 302

2a3 + 27r = 302

(i )

De a23 + a46 = 446, a3 + 21r + a3 + 43r = 446

2a3 + 63r = 446

(ii )

Das equações (i ) e (ii ),

(2a 3 + 63r ) − (2a 3 + 27r ) = 446 −302 2a3 + 63r − 2a 3 − 27r = 144 36r = 144 r =4 Substituindo r = 4 na equação (i ), Página 6

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 2a3 + 27  4 = 302 2a3 + 108 = 302 2a3 = 194 a3 = 97 Portanto, a afirmação [08] é verdadeira. [16] De 1 + cotg2x = cossec 2x, cossecx = 2 e 0  x 

π , 2

1 + cotg 2x = 2 2 cotg 2x = 3 1 tg2 x = 3 3 tgx = , ou seja, tgx é um número irracional. 3 Portanto, a afirmação [16] é verdadeira. [32] De f :

→

= +



fmáx = a + b  1 = a + b fmín = a + b ( −1) = a − b Como a  b  0, a − b  0 e Imf =  a − b, a + b . Como f é sobrejetora, A =  a − b, a + b e não A = 0, a + b . Portanto, a afirmação [32] é falsa. 2: [B] Como a e b são ângulos agudos e complementares, a + b = 90 . Daí,

sen2 ( a + b) − cos2 ( a + b ) = sen 2 90 − cos 2 90 sen2 ( a + b) − cos2 ( a + b ) = 12 − 0 2 sen2 ( a + b) − cos2 ( a + b ) = 1 3: [B] 3π  x  2 π, então x é um ângulo entre 270 e 360 graus, com tangente negativa. Calculando: Se 2 4 5 sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1−  senx = 9 3  5 3 5 tgx = −   = −  3 2 2   4: 02 + 16 = 18. [01] INCORRETA. sen (120) = sen (60). [02] CORRETA. Calculando: 5

5  23  215 215 8  =  =      32  9  310 310  

[04] INCORRETA. Se a é fracionário, então g(x) não será crescente. [08] INCORRETA. Supondo: Página 7

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria a=2 b=4 x 2x log4 2  4 = 2  2 = 2  2x = 1  x = 0,5  0 [16] CORRETA. Calculando: 1 =0 ex + e−x = 0  ex + ex

ex = y y+

1 y2 + 1 =0 = 0  y 2 + 1 = 0  y 2 = −1  y = − 1  e x = − 1  x  y y

5: [A] Se x 

com

π 4  x  π , e sen x = , então 2 5

2

9  5 cotg2 x =   − 1  cotg 2 x = .  4 16 16 e, portanto, temos Daí, vem tg2 x = 9 y = sec 2 x + tg 2 x = 1 + 2 tg 2 x = 1+ 2  =

16 9

41 . 9

Lembrando que sen2 φ + cos2 φ = 1 e sen2φ = 2sen φcos φ, vem

y = sen 4 2x − cos 4 2x = (sen 2 2x + cos 2 2x)(sen 2 2x − cos 22x) = sen 2 2x − cos 2 2x = 2sen 2 2x −1 = 2(2 sen x cos x) 2 −1 = 8k 2 − 1. Sabendo que o valor máximo de sen γ é 1, qualquer que seja γ  y =2 sen2x cos2x − 3 = −3 + sen4x, podemos concluir que o maior valor possível para y é −3 + 1 = −2.

e que

π  π π Desde que a função seno é decrescente no intervalo  , π  e que  2  π , temos sen  sen2. 2 2 2   6: [A] Vamos supor que α e β sejam reais positivos. Sabendo que Imf = [−1,1] e Pf = 2π, dos gráficos, temos Img = [−α, α ], com 0  α  1 e Pg = 4π. Assim, vem 0  β =

1  1. 2

7: [C] Calculando: 3 f(x) = + 2 sen x M = fmáx (x)  sen x = −1  f(x) = 3

1

=3

m = fmín (x)  sen x = 1  f(x) = 3 = 1 3

 M  m = 3 1 = 3

Página 8

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 8: [D] Tem-se que π π π +  f   = 1+ 2  sen 2   12   12 6  π = 1+ 2  sen 3

= 1+ 3. Logo, a ordenada de Q é yQ = 1 + 3 e, portanto, vem π π 3   1 + 3 = 1 + 2sen 2x +   sen 2x +  = 6 6 2   π π  sen 2x +  = sen  6 3 π π = + 2kπ 6 3  ou π 2π + 2kπ 2x + = 6 3 π + kπ x= 12  ou . π x = + kπ 4 2x +

2π 13 π 5π , uma vez que x = = π, para k = 1, só pode ser xQ = 2 12 4 corresponde à abscissa de P deslocada de um período no sentido positivo do eixo das abscissas.  5π  A resposta é Q =  , 1+ 3 .  4 

Em consequência, sendo o período de f igual a

9: [B] A função f está definida para todos os valores reais de x, tais que sen x  0, ou seja, x  k , com k  2

cotg x −

5 4 sen2 x

2

Logo, temos

2

+ 2 = 0  4 cos x − 5 + 8 sen x = 0  4(1− sen2 x)− 5 + 8 sen2 x = 0 1 2  sen x = 4 1 sen x = 2 ou  sen x = − x= 

5π π + 2kπ ou x = + 2kπ 6 6 ou

x =− x



x





A resposta é

1 2

7π π + 2k π ou x = + 2kπ 6 6



5 π 13 π 17 π , , 6 6 6 ou .



7 π 11 π , 6 6

5 π 13 π 17 π 7 π 11π 53 π . + + + + = 6 6 6 6 6 6 Página 9

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria 10: [D] Tem-se que

(sen x + cos x)2 = 0,22  1 + 2sen xcos x = 0,04  2sen xcos x = −0,96. Logo, sabendo que | y |2 = y2 , para todo y  2

vem

2

| senx − cos x | = (senx − cos x) = 1 − 2senx cos x. Em consequência, encontramos

| sen x − cos x |2 = 1 + 0,96  | sen x − cos x | = 1,96  | sen x − cos x | =1,4. 11: [D] De M = arctg( X ),

tgM = X  1 De N = arctg  ,  X 1 tgN = X Para X = 15,

tgM = 15 e tgN =

1 15

P = tg ( M − N) tgM− tgN 1+ tgM tgN 1 15 − 15 P= 1 1 + 15  15 112 P= 15 112 30P = 30  = 224 15 P=

12: [C] 2sen 2 x − cos x − 1  0

(

)

2 1− cos2 x − cos x − 1 0 2

2 − 2cos x − cos x − 1  0 −2cos2 x − cos x + 1 0 2 Resolvendo a equação − 2cos x − cosx + 1 = 0, Daí, 1  −2cos 2 x − cos x + 1 = −2  (cos x + 1)  cos x −  2  Dessa forma,

−2cos 2 x − cos x +1  0 1 −2  (cos x + 1)  cos x −   0 2  +  − + cos x 1 2cos x 1 ( )( ) 0 Note que cos x + 1  0, x  −2cos x + 1  0

cos x 

logo,

1 2

Como 0  x  2π e cos x 

1 π 5π , x  2 3 3 Página 10

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria Assim, sendo S o conjunto solução da inequação 2sen2 x − cos x − 1  0, 0  x  2π,

 π 5 π S=  ,  3 3 13: a) Calculando:

sen2α + cos2 α = 1  0,6 2 + cos 2 α = 1  cos 2 α = 1 − 0,36  cos 2 α = 0,64  cos α = 0,8 det(A) = 3  cos α − 4  1 det(A) = 3  0,8 − 4  det(A) = −1,6 b) Calculando:

det(B) = cos2 θ + sen2 θ − sen θ − 2  sen θ cos θ = 1  1 − sen θ − 2  sen θcos θ = 1

(

)

−sen θ − 2 sen θ cos θ =0 sen θ  1 + 2 cos θ =0 Assim:  sen θ = 0  θ = k π (k   ou  cos θ = − 2  θ = k2 π  3 π  2 4

(k 

14: [B]

cos17  0 sen17    De M =  1 1 1 , sen28  0 cos28   cos17  0 sen17  detM =

1

1

1

.

sen28  0 cos 28  Pela regra de Sarrus,

detM = ( cos17  1 cos28 + 0 1 sen28 + sen17  1 0) − ( sen17  1 sen28 + cos17 1 0 + 0  1 cos28) detM = cos17 cos28 − sen17 sen28 detM = cos( 17 + 28 )

Então,

detM = cos 45 detM =

2 2 10

 2 detM10 =   2    detM10 = detM10

25

2 10 1 = 32

15: [D] Pela equação de Clapeyron (da Química): PV = nRT P = pressão

V = volume n = quantidade de matéria (nº mols) R = cons tan te universal dos gases T = temperatura Página 11

Lista Complementar de Exercícios – Revisão de Trigonometria Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou logaritmando → (5 + 2 sen( πt)) seja: fmín(t) = 5 + 2 sen( πt) → sen( πt) deve ser mínimo

πt =

3π 3 3 + 2k π → t = + 2k → t = = 1,5 2 2 2

16: 01 + 02 + 04 = 07.

25 = 1230'. Ademais, como o 2 ângulo entre as posições 3 e 5 é 2  30 = 60, segue que o menor ângulo é 60 − 12 30' = 4730'.

[01] Verdadeira. De fato, o deslocamento do ponteiro das horas em 25 minutos é igual a

[02] Verdadeira. Com efeito, sendo t  0 e lembrando que cos(2π + α) = cos α, para todo α real, temos:  2 π(x +t)  f(x + t) = cos   t   2π x   = cos 2 π +  t    2 πx  = cos    t  = f(x).

[04] Verdadeira. De fato, pois se x  sec2 x+ cossec2 x =

1 2

+

cos x = =

kπ , com k  2

então

1 sen2 x

2

sen x + cos2 x cos 2 x  sen 2 x 1 cos 2 x  sen2 x

= sec 2 x  cossec2 x.

[08] Falsa. Em cada volta no círculo trigonométrico a equação possui duas soluções. Logo, como o intervalo 0  x  4π corresponde a duas voltas, segue que a equação possui exatamente quatro soluções. 17: [E] C...