Que es gradiente de una función vectorial PDF

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Laboratorio interactivo para el aprendizaje de química general de estudiantes de la Universidad Nacional y la Universidad de Caldas, realizada por un equipo interdisciplinar de investigadores de las dos instituciones contempladas en el proyecto. En este artículo se analizan las estrategias metodológ...

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¿Qué es gradiente de una función vectorial?, sus aplicaciones en física y ejemplos. El gradiente es una función de valor vectorial, a diferencia de una derivada, que es una función de valor escalar. Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección. Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico. Esta propiedad de caracterización del degradado permite que se defina independientemente de la elección del sistema de coordenadas, como un campo vectorial cuyos componentes en un sistema de coordenadas se transformarán cuando se pase de un sistema de coordenadas a otro. Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud una escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas «equiescalares») del mapa. De forma geométrica, el gradiente es un vector normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etc. Algunos ejemplos son: 

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto (x,y,z), la temperatura es Φ(x,y,z) . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido aumenta la temperatura en esa dirección.



Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x,y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Aplicaciones en física La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro. El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. 

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:



Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como



Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas siendo k la conductividad térmica.

Ejemplo El gradiente de la función f (x,y,z ) = 3x2yz+ 5xz+ 6 es la función vectorial. Se llama función vectorial de dimensión n a cada función cuyo conjunto de llegada es Rn . R designa el cuerpo de los números reales. ∇f =( 6xyz + 5z, 3x2z, 3x2y+ 5x) Los gradientes en los puntos ( 0,2,-1) y ( 1,-1,-1) son, respectivamente, los vectores ∇f(0,2,-1) = -5i ∇f( 1,-1,-1) = i - 3 j + 2k La función diferencial de f en cada punto (x, y,z) es la función de (dx,dy,dz) df = ∇f ⋅dr = (6xyz + 5z) dx +(3x2z) dy+(3x2y+ 5x) dz Las funciones diferenciales en los puntos (0,2,-1) y (1,-1,-1) son respectivamente df( 0,2,-1) = ∇f( 0,2,-1) ⋅dr = -5dx df(1,-1,-1) = ∇f(1,-1,-1) ⋅dr = dx - 3dy+ 2dz Para dr = (dx,dy,dz) = ( -1,3,-2) , esas diferenciales valen 5 y -14.

¿Qué es divergencia de una función vectorial?, sus aplicaciones en física y ejemplos. La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un fluido. Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros su divergencia es siempre distinta de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. Para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación. La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto sería nulo. Se define la divergencia de un campo vectorial

en un punto

como el límite

donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto

La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar. Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme. Ejemplo Vamos a calcular la divergencia de

en

.

En el artículo sobre flujo de un campo vectorial se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2a en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es

El volumen de este cubo es

Por tanto, la divergencia en

es

Calculemos ahora esta misma divergencia, pero considerando esferas de radio R en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es

y el flujo a través de la superficie esférica

por lo que la divergencia en

es

Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas. Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto. 3 Fuentes escalares de un campo vectorial La divergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico: 

Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee un manantial.



Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee un sumidero.

Ambos, manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo vectorial; por ello 

Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de fuentes escalares en dicho punto.

El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar a partir de uno vectorial, cuyo valor es igual a la divergencia del campo vectorial en dicho punto

Este campo ρ, que rescribe la distribución de manantiales y sumideros del campo vectorial, se conoce como fuentes escalares de . El uso de la palabra fuentes para algo que parece derivarse de otra cosa, se debe a que en la práctica el camino es el contrario: lo que se conoce habitualmente son las fuentes del campo y la cantidad que hay que calcular es el propio campo vectorial. En este sentido las fuentes “producen” el campo. El ejemplo físico más sencillo es el del campo electrostático. Las cargas eléctricas (que son las fuentes escalares) producen el campo eléctrico. El campo eléctrico radia hacia el exterior de las cargas positivas, que son sus manantiales, y converge hacia las cargas negativas, que son sus sumideros. Expresión de la divergencia La definición de la divergencia a partir de un límite, aunque rigurosa, es poco práctica. En particular, si lo que deseamos es calcular las fuentes escalares de un campo vectorial, necesitamos una expresión del límite válido para todos y cada uno de los puntos del espacio, lo cual puede ser extremadamente complicado. Afortunadamente, la divergencia puede calcularse como una combinación de derivadas parciales. En coordenadas cartesianas En coordenadas cartesianas la expresión de la divergencia es la más sencilla posible:

Ejemplos Consideremos el campo vectorial

Su divergencia, calculada en cartesianas, es

Este parece el mismo resultado que obtuvimos antes, pero es mucho más que eso. En el cálculo anterior hallamos la divergencia exclusivamente en el origen de coordenadas. Ahora la hemos calculado para todos los puntos del espacio, resultando un valor positivo y constante para todo el espacio.

Esto quiere decir que, aunque las líneas de campo radian solo desde el origen, si consideramos un elemento de volumen en torno a un punto arbitrario del espacio, la cantidad de campo que sale del elemento es mayor que la que entra en él. Podemos comprobar también cómo

es un campo solenoidal. Hallando su divergencia en cartesianas

Aplicaciones de Divergencia La divergencia de un campo vectorial es proporcional a la densidad de las fuentes puntuales del campo. En la ley de Gauss para el campo eléctrico

la divergencia da la densidad de cargas puntuales. En ley de Gauss para el campo magnético

el valor cero de la divergencia implica que no hay fuentes puntuales de campo magnético....