Que es una Antiderivada o Primitiva y como se puede hallar PDF

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Bases de la antiderivada o primitiva, como se puede hallar y las propiedades de esta...

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Universidad del Magdalena Facultad de Ingeniería Cálculo Integral

Antiderivadas o primit primitivas ivas e integración in indefinida definida

Definición de una anti antiderivada derivada o primitiva Se dice que una función 𝑭 es una antiderivada o primit primitiva iva de 𝑓, en un intervalo 𝐼 si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en 𝐼. Ejemplo

1

Por ejemplo, la función 𝐹(𝑥) = 𝑥 8 es una antiderivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥7 en el intervalo (−∞, +∞) porque para 8 cada 𝑥 en ese intervalo, 1 𝑑 1 8 [ 𝑥 ] = 8 ( 𝑥 8−1 ) = 𝑥 7 = 𝑓(𝑥) 𝐹 ′ (𝑥) = 8 𝑑𝑥 8 𝑭 es una antiderivada de 𝑓, en vez de la antiderivada de ƒ. Para entender por qué, observar que: 𝐹1 (𝑥) =

1 8 𝑥 + 50 ; 8

𝐹2 (𝑥) =

1 8 1 𝑥 − 32 ; 𝐹3 (𝑥) = 𝑥 8 + 100 8 8

Son todas antiderivadas de ƒ(𝑥) = 𝑥 7 . De hecho, para cualquier constante C, la función dada por 1 𝐹(𝑥) = 8 𝑥 8 + 𝐶 es una antiderivada de ƒ. En general, una vez se conoce cualquier antiderivada particular se puede obtener otras antiderivadas sumando constantes a la antiderivada conocida. Por ejemplo 1

Son todas antiderivadas de 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3

𝑥3 ,

1 3 1 1 3 𝑥 + √7 𝑥 + 9 ; 𝑥 3 + 39 ; 3 3 3

Teorema: Si 𝐹(𝑥) es cualquier antiderivada de 𝑓(𝑥) en un intervalo I, entonces para cualquier constante C, la función 𝐹(𝑥) + 𝐶 también es una antiderivada en ese intervalo. Además, cada antiderivada de 𝑓(𝑥) en el intervalo I puede expresarse en la forma 𝐹(𝑥) + 𝐶 eligiendo la constante C apropiada. Ejemplos 1. La antiderivada general de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2

es 𝐻(𝑥) = 𝑥3 + 𝐶 1 2. La antiderivada general de 𝑔(𝑥) = cos 2𝑥 es 𝑀(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 𝑥

3. La antiderivada general de 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 −2 4. La antiderivada general de 𝑓(𝑥) = 5

1

es 𝐻(𝑥) = 2 ln(𝑥 2 − 2) + 𝐶 es 𝐺(𝑥) = 5𝑥 + 𝐶

La integral inde indefinida finida Se llama antiderivación o integración al proceso de encontrar antiderivadas. Es decir 𝑑 [𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Yon Cárdenas Moscote

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Entones al integrar o antiderivar la función 𝑓(𝑥) se produce una antiderivada de la forma 𝐹(𝑥) + 𝐶. Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función 𝑓(𝑥) , a la antiderivada general de la función. Notación para antid antiderivadas erivadas o primitivas. 𝑑𝑦 Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente 𝑑𝑦 = 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥. La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integ integración ración indefinida) y se denota mediante un signo integral mediante:

. La solución general se denota

La expresión ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 , se lee como la antiderivada o primitiva de ƒ con respecto a 𝑥. De tal manera, la diferencial de 𝑑𝑥 sirve para identificar a 𝑥 como la variable de integración, la 𝑠 alargada se llama signo de integración. El término integral in indefinida definida es sinónimo de antiderivada. Es importante señalar que hecho. Por ejemplo

𝑑 [𝐹(𝑥)] 𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥) y ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 son notaciones diferentes para expresar el mismo

∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 =

1 4 𝑑 1 4 𝑥 + 𝐶 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 [ 𝑥 ] = 𝑥3 4 𝑑𝑥 4

Se observa que si deriva una antiderivada de f(x) se obtiene nuevamente f(x). Reglas básicas de int integración. egración. La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo 𝐹’(𝑥) por ƒ(𝑥) en la definición de integración indefinida para obtener.

Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra a continuación.

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Para recordar la segunda fórmula de integración será as fácil si se expresas en palabras: Para integrar una potencia de 𝑥 (distinta de -1), se suma 1 al exponente y se divide entre el nuevo exponente. Ejemplos 1. ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 =

𝑥 4+1

4+1

1

+ 𝐶 = 𝑥5 + 𝐶 5

1 2. ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 −4 𝑑𝑥 =

3. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3

1⁄ 3

𝑥 −4+1

−4+1

𝑑𝑥 =

1

+ 𝐶 = − 3 𝑥 −3 + 𝐶 = −

1 𝑥3 + 1 1 +1 3

+𝐶 =

1

4 3

𝑥

4⁄ 3

+𝐶 =

3

4

1 3𝑥 3

𝑥

+𝐶

4⁄ 3

3 3

+ 𝐶 = 4 (√𝑥 4 ) + 𝐶

Propiedades de la integral indefinida De las reglas de derivación de un factor constante, una suma y una diferencia se tienen las siguientes propiedades de las antiderivadas. Teorema: 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐹(𝑥) 𝑦 𝐺 (𝑥) 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥), 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: a. un factor constante puede moverse a través del signo de integral, así. ∫ 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐𝐹(𝑥) + 𝐶 b. la antiderivada de una suma o la diferencia es la suma o la diferencia de las antiderivadas; así ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) ± 𝐺 (𝑥) + 𝐶

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Note en el siguiente ejemplo que no hay razón para usar más de una constante de integración. 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝒙 + 𝑪𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪𝟑 − 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 𝒙 𝒙

∫(𝒙𝟐 +

𝟏

= 𝟑 𝒙𝟑 + 𝒍𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑲 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑲 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 + 𝑪𝟑 Integración de una función racional Suponga que 𝑓(𝑥) =

𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

es una función racional. Si el grado de la función polinomial 𝑝(𝑥) es mayor que o igual al grado 𝑝(𝑥)

de la función polinomial 𝑞(𝑥), use división larga antes de integrar; es decir, escriba𝑞(𝑥) = 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 + grado del polinomio 𝑟(𝑥) es menor que el grado de 𝑞(𝑥).

𝑟(𝑥) 𝑞(𝑥)

donde el

Ejemplos Evalúe

𝒙𝟐

1. ∫ 𝒅𝒙 𝟏+𝒙𝟐

22.. ∫ 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

3. ∫ [5𝑥 +

2 ] 𝑑𝑥 3𝑥 5

4. ∫(𝑥 + 𝑥 2 )𝑑𝑥

Solución 𝒙𝟐

1. ∫ 𝒅𝒙 𝟏+𝒙𝟐 Como el grado del polinomi polinomio o del numerador es igual al del denominador reali realizamos zamos la división entr entre e polinomios (división larga) 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏− 𝟐 𝟏+𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 ∫

𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫ [𝟏 − ] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐

2. ∫ 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −4𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 𝟐

3. ∫ [𝟓𝒙 + 𝟑𝒙𝟓 ] 𝒅𝒙 ∫ [5𝑥 + 4. ∫(𝒙 + 𝒙𝟐 )𝒅𝒙

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2 2 2 5 1 𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 −5 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 4 + 𝐶 ] 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 5 5 6𝑥 3𝑥 3𝑥 3 2

∫(𝑥 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

2

1 𝑥2 + 𝑥3 + 𝐶 3

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