¿Qué son los mapas de Karnaugh? PDF

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Investigación sobre los mapas de Karnaugh, que son, para que se usan y el como se resuelven...

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Mapa de Karnaugh Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o MapaKV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell. Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas. El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden fácilmente realizar a mano con funciones de hasta 6 variables, para funciones de mayor cantidad de variables es más eficiente el uso de software especializado. OBJETIVO Aprender a utilizar Mapas de Karnaugh para la simplificación de circuitos y ampliar el conocimiento acerca de las funciones lógicas.

Aplicación de los mapas de Karnaugh La aplicación de los mapas de Karnaugh tiene lugar en el diseño de circuitos automatizados. Esta herramienta permite simplificar ecuaciones sin utilizar el análisis de simplificación de ecuaciones del álgebra de Boole. · A partir de la tabla de verdad se coloca en las casillas de estados el valor lógico de salida (unos o ceros). · Luego se agrupan los estados verdaderos (unos) para obtener la ecuación simplificada.

El mapa de Karnaugh es a menudo usado para simplificar los problemas lógicos con 2, 3 o 4 variables. Un mapa de Karnaugh de 2 variables es trivial pero puede ser usado para introducir el método que necesitas aprender. El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas diferentes, por lo que el mapa de Karnaugh tendrá 16 celdas, distribuidas en una cuadricula de 4 × 4. La combinación de dígitos binarios en el mapa representa el resultado de la función por cada combinación de entradas. Por ejemplo, la celda en la esquina superior izquierda del mapa es 0, porque el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. De igual manera, la esquina inferior derecha es 10 porque el resultado de la función es ƒ = 10 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0. Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar conjunto de términos denominados subcubos de manera que se obtenga el menor número de subcubos posible. Estos subcubos se seleccionan formando grupos de rectángulos que encierren a los unos del mapa, las áreas deben ser potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, …) y se debe tratar de agrupar el mayor número de unos posible. En resumen hay que tomar en cuenta al hacer estos grupos de unos (subcubos) lo siguiente: Debemos utilizar todos los unos del mapa. Es mejor crear el menor número de grupos. Los unos pueden estar en varios grupos. El número de unos dentro de un grupo debe de ser cualquier potencia de 2. Mientras más grande sea un grupo la simplificación de la función será mejor. No es necesario que todos los grupos tengan el mismo tamaño.

Software Software disponible para asistir el mapeo de Karnaugh: · GKMap · Karnaugh Map Minimizer · WinLogiLab · Boolean Calculator: VK, Truth Tables Karma, un conjunto de herramientas de síntesis lógica, incluyendo mapas de Karnaugh, la minimización de Quine-McCluskey, la enseñanza del módulo y más. Logic Circuit.

Ejemplo 1: Simplificar la siguiente función descrita por su tabla de verdad, utilizando el Método de Karnaugh: Tabla de Verdad AB C 000 001 010 011 100 101 110 111

F 1 0 1 0 1 0 1 0

Lo primero que hacemos es dibujar su diagrama de Karnaugh, y colocamos los valores de la tabla de verdad al diagrama de Karnaugh. Tomamos el grupo siguiente, (siempre grupos de "1" adyacentes, en este caso las colu mnas 00 y 10 son adyacentes también.)

Obteniendo la función F simplificada: F =C' Ejemplo 2: Simplificar la siguiente función, utilizando el Método de Karnaugh:

Tabla de verdad ABCD F 0000 1 0001 0 0010 1 0011 0 0100 1 0101 1 0110 1 0111 1 1000 1 1001 0

1010 1011 1100 1101 1110 1111

1 0 1 0 1 0

Dibujamos su diagrama de Karnaugh:

Vemos que ahora en la izquierda de la tabla están los valores de las variables A y B y en la parte superior los valores de C y D. Lo siguiente es agrupar los "1". Vamos a hacer primero los siguientes grupos:

Obteniendo la siguiente expresión: F = C'D' + CD' + A'B Sin embargo, ¿es esta la función más simplificada? O lo que es lo mismo, podemos hacer menos grupos de "1". La respuesta es sí, porque no olvidemos que las casillas de la derecha son adyacentes a las de la izquierda de la tabla, por lo que podemos hacer sólo dos grupos:

Obteniendo la siguiente función: F = A'B + D' Siendo la expresión más simplificada.

Importancia de los mapas de Karnaugh Los Mapas de Karnaugh son muy importantes ya que sirven para obtener una función mínima de dos niveles Suma de Productos. Una expresión de dos niveles es considerada, expresión mínima si: 1. No hay otra expresión equivalente que contenga menos productos. 2. No hay otra expresión equivalente que conste con el mismo número de productos, con un menor número de literales. Para simplificar funciones utilizando mapas de Karnaugh, tengamos en cuenta lo siguiente: • Cada casilla (mintérmino) en un mapa de Karnaugh de n variable posee n casillas adyacentes, por lo cual cada par de casillas defiere en una variable • Si se combinan las casillas en un mapa de Karnaugh, se agrupa un número de mintérminos, siendo potencia de dos. Agrupando dos casillas eliminamos una

variable, agrupando cuatro casillas eliminamos dos variables, y así sucesivamente. Debemos agrupar tantas casillas como sea posible; cuanto mayor sea el grupo, el termino producto resultante tendrá menos literales. Es importante incluir todos los «unos» adyacentes a un mintérmino que sea igual a uno. • Para que hayan menos términos en la función simplificada, tenemos que formar el menor número de grupos posibles que cubran todas las casillas (mintérminos) que sean iguales a uno. Un «uno» puede ser utilizado por varios grupos. Si un grupo se incluye completamente en otro grupo, o sus «unos» están cubiertos por otros grupos, no hará falta incluirlo como termino.

La aplicación de los conceptos aquí aprendidos a un circuito multi-salidas para lograr su simplificación óptima se puede convertir en un asunto algo elaborado. Sin embargo, no se entrará más a fondo en un estudio sobre una extensión de la técnica del mapa de Karnaugh (y mucho menos del método de QuineMcCluskey) bajo hoy anticuadas filosofías de economización porque en la práctica con el bajo costo del "hardware" puede salir más caro tener a un ingeniero consumiendo varios días o inclusive varias semanas de su tiempo para lograr la simplificación de un circuito pese a que con el bajo costo actual de la microelectrónica no se logre un ahorro que justifique la inversión del tiempo de ingeniería en estos ejercicios intelectuales....