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ECUADOR ELIPSOIDAL o G Cálculos de Posicionamiento Geodésico INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA ECUADOR ELIPSOIDAL Cálculos de Posicionamiento Geodésico INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA NorA DEL TRADUCTOR Este trabajo es parte del esfuerzo que DETENAL ...

Description

ECUADOR ELIPSOIDAL

o

G

Cálculos de Posicionamiento Geodésico

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

ECUADOR ELIPSOIDAL

Cálculos de Posicionamiento Geodésico

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA GEOGRAFIA E INFORMATICA

NorA DEL TRADUCTOR

Este trabajo es parte del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el prop6sito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la Instituci6n.

Debe pues, agradecerse la

､ｩｳｰｾ＠

sici6n y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquellas responsables del área de Geodesia, que al facilitarnos medios y personal, hicieron posible que éstas notas

ｶｩｾ＠

ran la luz del día. Debe agradecerse profundamente la gentileza de los autores, Dr. E. J. Krakiwsky y Dr. D. B. Thomsón, de la Universidad de New Brunswick, al dar su autorización para la traducci6n y divulg.! ci6n de su obra en español. El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo Srita. Concepción Vega Ché de la Oficina de Apoyo Básico.

de la El Sr.

Julio Bueyes Oliva, de la Oficina de Apoyo Vertical, tuvo la responsabilidad de trazar los diagramas y escribir las f6rmulas que ｡ｰｲｾ＠ cen en éstas notas.

M. C. Rafael Sosa Torres.

PREFACIO

El propósito de estas notas es dar la teoría y el uso de algunos métodos de cálculo de posición geodésica de puntos sobre un elipsoide de referencia y sobre el terreno. La justificacióJi por las primeras tres secciónes de estas notas de lectura, que tratan el problema clásico del "Cálculo de posición geodésica sobre la superficie de un elipsoide", no es fácil de determinar. Solamente puede ser establecido que la inten ción ha sido producir un paquete independiente que contenga el desarrollo completo de algunos métodos representativos que existen en la literatura. La última sección es una introducción a los métodos de cálculo tridimensionales y es ofrecida como una alternativa al método clásico. Muchosproblemas y su respectiva solución son presentados. El enfoque que se da aquí es realizar derivaciones completas, esto es, alejado de la práctica de dar una lista de fórmulas a usarse en la solución de un problema. Se espera que este enfoque dará el lector una apreciación para el fundamento en que están basadas las fórmulas y al final, las fórmulas mismas. Las notas se desarrollaron de las conferencias preparadas por E.J. Krakiwski y del trabajo de investigación realizado por D. B. -Thomson en afios recientes en U. N. B. Los autores reconocen el uso de ideas contenidas en las conferencias de los profesores Urho A. Uotila y Richard H. Rapp. del Departamento de Ciencia Geodésica de la Univer sidad del Estado de Ohio, Columbus, Ohio. Otras fuentes usadas para :detalles importantes están referidas dentro del texto.

Mr. C. Chamberlain es particularmente reconocido por su crítica constructiva y su asistencia en la preparación de este manuscrito para su publicación.

E. J. Krakiwsky D. B. Thomson

Febrero 14 de 19 7 4.

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

Los autores desean reconocer la contribución hecha por los estudiantes de post grado de Ingeniería Topográfica de 1975, para el mejoramiento de estas notas por el descubrimiento de errores topográficos.

TABLA DE CONTENiDOS

Página

Sección n. - Reducción de Observaciones Geodésicas Terrestres --2. - Reducci6n a la Superficie del Elipsoide de Referencia ------ -2.1. Reducci6n de Direcci6nes Horizontales (o ángulos) -------2.1. 1. - Efectos Geométricos ------------------------------2.1. 2. - Efectos Gravimétricos ----------------------------2.2. - Distancias Zenitales --- ---- -------- ---- Ｍｾ 2.3.:" Distancias Espaciales -------------------------------2.4. - Reducción de Cantidades ｇ･ｯ､ｾｳｩ｣｡＠ calculadas al terreno

i ii

11

12 12 12 14 15

18 20 24 24

26 30 30 31 31

35 36 36 37

Sección 1II. - Cálculos de Posiciones Geodésicas sobre el ElipSOide de Referencia. ----------------------------------3. - Fórmula de Puissant. - Líneas Cortas --------------------3. 1. - Introducci6n -- - ---- -------- ---- ----- ---------- ------3.2. - Problema directo -----------------------------------3. 3. - Problema InverSO - --- --- ----------- - ------- - --- -- ---3.4. - Resumen de Ecuaciones para la soluci6n de Problemas Directos e inversos usando la F6rmula de Puissant. ---- --3.5. - F6rmula de Gauss! - Latitud Media -------------------3.6. - Otras fórmulas de línea eorla-------:-------------------

45 46 46

4. - F6rmula de Bessel. - Líneas Largas ----------------.-----4. '.- Introducci6n ----------------------------------------4.2. - Relaciones Fundamentales ------ ---------------------4. 3. - Soluci6n de la Integral Elíptica -- --- - -- -- -- -- -- - - - - - --4.4. - Probrema Directo ------------------ -----------------4.5. - Problema Inverso --------------------------------- --4.6. - Otras fórmulas para líneas largas - -------------------

47 47 47 52 58 59 61

ii

37 39 39 39 42

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

Prefacio Ｍｾ Lista de ilustraciones - -- - -- - - - - - --- - - - - - - --- -- - - - - -- -- - - - - - --Introduccion ------------------------------------------------Sección 1: Geometría Elipsoidal - - - --- -- - --- - - ---- --- - --- - - -- --1. - El Elipsoide de Révolucion --------------------------------1. 1. - Parámetros Elipsoidales ----------------------------1.2. - Radio de Curvatura -------:- ---- ------------ ---- --- --1. 2.1. - Radio de Curvatura del Meridiano ------------------1. 2. 2. - Radio de Curvatura del Primer Vertical-------------1. 2. 3. - Radio de Curvatura en cualquier Azimut -------------1. 3. - Curvas sobre la superficie de un Elipsoide ------------1. 3. 1. - La Sección Normal -------------------- -----------1.3.2. - La Geodésica -------------------------------------

TABL.A DE CONTENIDO (CONT)

Pigina

Secci6n IV. - Cálculo de Posiciones Geod6sieaaen Tres ｉｩｪｾｯｮ･ｳＭ

61

5. - Problemas Directo e Inverso en Tred DlmeDSianes -----5.1. -Problema Directo ----------------------------5.2. -Problema InV1!lrBO ----------------.-----------

66

6. - Problemas de Intersecci6n en Tres Dimensiones ------6.1. - Inter. .cci6n Asimutal -----------------------6.2. - Intersecci6n en las m-.ncias Espaciales ------

67 67 73

A manera de concluswn ---------------------------Referencias ---------------------------------'-------

75

Ili

77

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

7. -

62 62

FIG.

ｉｌｕｓｔｒａｃＰＱｾｅ＠

No.

PAJINA 13

1

El Elipsoide de Revolución

2

Sección Normal Meridiana Mostrando el radio de curvatura del meridiano (M) •

15

Sección Normal al primer vertical mos trando la curv:atura del primer vertical (N)

16

4

Radio de curvatura del meridiano (M)

17

5

Radio de curvatura del primer vertical (N)

19

6

Sección normal en un Azimut Cualquiera C!

21

7

Indicatríz para la solución de Ra

21

8

Sección a través de PP' (o) para la solu ción de Ra

22

Solución de Z para solucionar Ro

23

10

Secciones con normales recípr,o.cas

24

11

Sección Triangular con normal recíproca

25

12

Separación Angular entre secciónes con Nor mal Recíproca. -

26

13

Geodésica

27

14

Ecuación Diferencial de una Geodésica sobre la superficie de un Elipsoide de Revolución.

29

15

Separación entre Sección Normal y Geodésica

3D

16

Corrección por Normal Oblicua

32

17

Corrección por Desviación de la Vertical

34

18

Reducción de Distancia Espacial

36

19

Fórmula de Puissant para Problema Directo.

39

3

9

iv

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LISTA DE

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

FIG.

No.

PAGINA

20

Fórmula de Puissant para Problema Inverso

44

21

Relaciones fundamentales para el desarrollo de la fórmula de Bessel.

49

22

Esfera Reducida y Elipsoide.

49

23

Solución de

52

24

Solución de

25

Soluci6n de Longitud de Arco

26

Problema Directo (Geodésico Local)

63

27

Problema Directo (Astron6mico Local)

65

28

Vectores Unitarios en el Sistema Geodésico Local

68

29

Intersecci6n Azimutal en Tres Dimensiones.

70

30

Intersecci6n de Distancia Espacial en Tres Dimensiones.

74

d1./ dA

57 (J'"

59

INTRODU CCION

Las primeras tres secciones de estas notas tratan del cálculo de posiciones geodesicas sobre un elipsoide. En el primer capítulo, se da una revisi6n a la geometri'a elipsoidal ya que en el desa rroUo de f6rmulas posteriores puede ser muy útil. Común a to :dos los cálculos elipsoidales clúicos es la necesidad de reducir las observaciones geodésicas al elipsoide. por lo tanto un capítUlo completo es empleado en éste t6pico. Dos clásicos problemaa de cálculo de geodesia geométrica son tratados; Ellos son los llamados problemas geodésicos "Di recto'" e "Inverso n • ,"

La última secci6n de las notas trata de los cálculos de posi ciones geodésicas en tres dimensiones. Primero son desarrolla dos los problemas directo e inverso y luego dos problemas. espe-: ciales (ambos de intersecci6n de Azimut y de distancia espacial ) son tratados. Estas soluciones ofrecen una alternativa a los mé todos clúicoe de c6leuloe de posici6n geodéaiea. -

11

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

Hay varios métodos que pueden adoptarse para la solucifut de estos problemas. Generalmente están claslficados en término de f6rmula de línea "Corta" "mediana" o "Larga". Cada uno de ellos involucra apro:ld.maaiones diferentes que restringen la distancia entre estaciones sobre las que algunas f6rmulas son muy útiles para una exactitud dada.

SECCJOK 1:

GEOMETRIA ELIPSOTDAL.

l. - El Elipsoide de Revolución. Ya que un elipsoide de revolucion (Elipsoide de Reierencia) es generalmente considerado como la mejor aproximación al tamafio y a la forma de la tierra, es usado como la superficie sobre la cual se hacen los cálculos. Inmediatamente des pués ｾｳｴｵ､ｩ｡ｭｯ＠ muchas propiedades geométricas de un elipsoide de revolucion que son de especial interés para los geodestas. En particular, el radio de curvatura de puntos sobre la superficie del elipsoide y algunas curvas sobre su superficie, son descritos. 1. 1. -

Parámetros Elipsoidales.

La figura 1 muestra un elipsoide de revoluciono Los pa rámetros de un elipsoide de referencia que describen su tamat'l.o y su forma son: i)

El semieje mayor (a)

ii) El semieje menor (b)

La ecuación de cualquier curva meridiana (Intersección de un plano meridiano con la superficie del elipsoide) es: (Ver Fig. 1).

-

X2 0

Z2.

+--=1------- 1

2

b2

La superficie de un elipsoide de revolucion está dada -

Z2

+--=1-------10 b2

12

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por:

z p

ｅｾｖ＠ ｅｾＭ［Ｋ＠

p'

FIGURA 1

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11

EL ELIPSOIDE DE REVOL ueION

11

Los puntos F y F r en la figura 1 son los focos de la elipse meridiana que pasa por los puntos p. E' • p'. E. Los focos son equidistantes del centro geométrico (ó) de la elipse. Las distancias PF y PF' sonigual al Semi eje mayor (a). Es ta información es usada ahora para ayudar a describir propie ::dades posteriores de un elipsoide. El achatamiento elipsoidal (Polar) está dado por: a-b

f=-a- ------2

otras dos importantes propiedades que son descritas para una sección meridiana· de un elipsoide son: La primera excentricidad.

13

y la segunda excentricidad:

Como un ejemplo de las magnitudes de éstos parámetros para un elipsoide de referencia geodésico, presentamos -aqui los valores del Elipsoide de Clarke de 1866 que es usado en el presente para la mayoría de los cálculos de posición geodésica en Norte América. (Bomford 1971, p 450): a= 6378206.4m b= 6356583.8m

Usando 2 f= 0.00339006

El cual es dado a menudo en la forma de 1-, que en este caso es ';. = 294.97869 f f

Usando 3 y 4 respectivamente, tenemos:

e2 = 0.00676865---e,2

= 0.00681478----

Los cuatro parámetros a, b, e, ( o e' ) y f; Y las relaciones entre ellos son los principales usados en el desarrollo de más fórmulas geodésicas.

Sobre la superficie de un elipsoide un número infinito de planos pueden dibujarse a través de un puntos sobre la superficieque contiene la normal en ese punto. Estos planos son conocidos como "Planos Normales". Las curvas de intersecci6n de los planos normales y las superficies del elipsoide son llamadas "Seccio nes Normales " • En cada punto hay dos secciones normales mutua mente perpendiculares cuyas curvaturas son máximas y mínimasy son llamadas las "secciones normales ｰｲｩｮ｣｡ｬ･ｳｾＧ＠ Estas seccio nes principales son las "Secci6nes Normales del Meridiano" y deC "primer vertical" y sus radios de curvatura son denotados por (M) y (N) respectivamente (figuras 2 y 3). En la figura 2 puede verse que el radio de curvatura del meridiano aumenta del ecuador al polo y el radio de curvatura, del primer vertical se comporta similar mente (Fig. 3). La razón de esto será visto pronto, una vez ｱｵｾ＠ :hayan sido desarrolladas las fórmulas para (M) y (N).

14

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

1. 2. - Radio de Curvatura.

1.2.1. - Radio de Curvatura del Meridiano. Consideramos una secci6n meridiana de un elipsoide de revoluci6n (Figura 4) dado por:

El radio de curvatura de ésta curva en cualquier punto

"p" está dado por:

ｾＭ

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FIGURA 2 SECCION NORMAL MERIDIANA MOSTRANDO EL RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO (M).

15

PLANO TANG&ITE

FIGURA 3 SECCION NORMAL DEL PRIMER VERTICAL MOSTRANDO EL RADIO DE CURVATURA DEL PRIMER VERTICAL (N). (Ph1Ups. 1957. pp. 194-197)

M: [1+

IF)Z]"I_______ 5 ./z

En el caso de una elipse meridiana! 2

dz X b :---------6 dx Z al' dz

17: --¿-( Z-X""""" Z:X .2 Z

dlz

...2

) --------7

bl

x2

b2

a 2 z2

Z

02

- - : - - - (Z+-o--)----7a dx 2

,

16 ,

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

dT

De la figura 4, podemos ver también que la pendiente de la tangente en "P" está dada por: ,1.. dz tan (90 0 +.,.) = -:¡x:: - cot q, --- ------ 8

Jraalando

tenemos:

6 y 8

X

-cotq,:-T o

tanq,::

! ｾ＠

. ----------------9

7 ｾ＠

-------------90

Sustituyendo J Itz

bao (I-e')----------- 9b

en 9a; tenemos: Zo: x( 1-.') ton q, ------- - - - 10

Entonces. después de sustituir ｾＩ＠ y (z) en 1 con9b Y 10 respectivamente, y de algunas simples manipulaci6nes nos resulta que:

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

z

90"+

FIGURA 4 RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO (M)

x

Sustituyendo la expresi6n anterior para X en la ecuaci6n 10, da la f6rmula:

z= o(t-l} sen! {t - r sen'cp} ｾＲ＠ Finalmente, ｳｵｴ￭ｹ･ｮｾ＠ do estos valores en (5) para ｾｺ＠ curvatura del meridiano 8e ｣ｯｮｾ･ｲｴＺ＠

------- 12 (X) y (Z) en (6) y (7a) y colocan y --}- la expresi6n para el radio de :: d

.

o(t-r)

M =-':;":":'-=-'''----

geodésica

4>

- - - - - - 13

En la ecuaci6n (13) el único parámetro variable es la latitud por lo que en el ecuador ( cp= c:1" ); M=a(t-.z }------ 130

yen el polo (cp=90 0 ) M= ＨｈｦＩｾｴ＠

---

o

13b

El radio de curvaturadél meridiano aumenta en longitud a mettida que el punto sobre el meridiano se mueve del ecuador al polo.

1.2.2. - Radio de Curvatura del Primer Vertical.

coscp=+

-------14

6; ｎ］ｾＭ

X

140

18

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

De la figura 5. -

z

PARALELO DE LATI

___ x ｾＭｲｦＷｌ

FIGURA

5

RADIO DE CURVATURA DEL PRIMER VERTICAL (N)

Sustituyendo la expresi6n para X (11) en (14a), nos da la expresi6n para el radio de curvatura del primer vertical:

INEGI. Cálculos de Posicionamiento Geodésico

ｎｾ＠

Como solamente el parámetro variable en (15) es el> ,N -variará entonces con el> • Cuando el> '" O" (ecuador) ｾ＠ N 11 8.; Y cuando el> =90· (polos) N"'al

(1-."'1.

11

M ------- 15a

Una cantidad importante que es usada muy a menudo en cál culos de geodéáiá geométrica es el "Radio Medio Gaussiano de Curvatura" -que está dado por: R =

fo ---

----16

19

En muchas instancias el radio medio es suficientemente pre ciso para cálculos de posición. Otro radio de curvatura que puede ser necesitado de vez en cuando, es el de un paralelo de latitud. Cualquier paralelo de latitud visto _ desde el polo norte del elipsoide (eje Z) describe un círculo. Este radio, _ comp puede verse en la Fig. 5. es igual a la coordenada X (en el sistema ,_ del plano meridiano X - Z). Entonces, de la ecuación (14a) el radio de curvatura de un paralelo de latitud está dado por:

I

R cp

= N cos

ｃｰｾＭ

- -----

17

Se ve fácilmente que cuando cp=OO (ecuador); RCP=N ; Por N = a para cp=O") y en cualquier polo ( cp = 90°):

10 tanto Rcp=a ya que

cos cp =O; Y el radio desaparece

1. 2. 3. - Radio de Curvatura en un Azimut Cualquiera. Como se mc:lEtr6 en las secciónes 1. 2. 1 • Y 1. 2. 2. El radio de curvatura máximo y mínimo de un punto cualquiera P, sobre la superficie de un elipSoide de revoluci6n está en los planos meridianos y primer vertical respectivamente.

En la fig. 6, el punto P en el cual es requerido el radio Ra , está mostrado sobre la sección normal PP: s...