Colimación, Taquimetría y Curvatura PDF

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takimetria ...

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Universidad Tecnológica de Panamá Centro Regional de Panamá Oeste Facultad de Ingeniería Civil Licenciatura en Topografía

Geodesia II

Tema: Determinación del Error de Colimación y De la Constante Taquimétrica Curvatura de la Tierra

Pertenece a: José Ávila Katherin Marín

8-945-2395 2-737-485

Rodrigo Miranda

8-935-329

Profesor: Italo Biancheri

Grupo: 9TO-231

Fecha de entrega: 19 de septiembre de 2019

II SEMESTRE

ÍNDICE Pág. Introducción

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Objetivos

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Cálculos especiales en la Nivelación Geodésica

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1. Error de Colimación

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1.1 Corrección

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1.2 Error de Colimación Horizontal

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1.3 Error de Muñones

8

1.4 Efecto Total Acimutal

9

1.5 Error de Colimación Vertical

9

2. Constante Taquimétrica

9

2.1 Principio de la estadía

9

2.2 Deducción de las fórmulas para el cálculo de las distancias horizontal y vertical

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3. Curvatura de la Tierra

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Conclusión

15

Referencias bibliográficas e infográficas

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INTRODUCCIÓN

La Geodesia es una ciencia que trata del levantamiento y de la representación de la forma y de la superficie de la Tierra con sus formas naturales y artificiales; para lo cual utiliza métodos planimétricos como altimétricos que permiten realizar las mediciones y cálculos necesarios. La nivelación hace referencia a los métodos que utilizamos para determinar el desnivel existente entre dos puntos en base a un plano de referencia; para llevar a cabo una nivelación exitosa se deben considerar varios elementos siendo el principal de ellos el nivel medio del mar y los puntos de cotas fijas o BM que nos permitirán llevar el control de las elevaciones. Como en todo tipo de operación, una nivelación Geodésica puede verse afectada por constantes, errores y el comportamiento propio de la superficie terrestre lo cual desarrollaremos a continuación…

3

OBJETIVOS



General:

Desarrollar los conceptos y aplicaciones sobre los posibles errores que podemos encontrar al momento de realizar una nivelación, y que por lo tanto pueden afectar directamente nuestros resultados.



Específicos:

a) Comprender la definición y repercusión que puede tener un Error de Colimación, de nuestro aparato, en las mediciones y desarrollar el método para hacer las compensaciones y ajustes del mismo. b) Determinar los procedimientos que nos permiten llevar a cabo el cálculo de la constante Taquimétrica de nuestro instrumento de medición. c) Estudiar y analizar el efecto de curvatura de la Tierra y cómo este podría hacer que nuestras nivelaciones se vean alteradas. De igual manera, establecer el método necesario para hacer su corrección.

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CÁLCULOS ESPECIALES EN LA NIVELACIÓN GEODÉSICA

La nivelación es una operación fundamental para el Ingeniero, tanto para llevar a cabo la construcción de un proyecto, como para replantearlo. Es un término aplicable a los diversos procedimientos que buscan determinar la diferencia de elevación entre puntos; sus resultados pueden ser utilizados en: a) En proyectos de carreteras, vías férreas, puentes, canales, obras de drenajes, etc., cuyas pendientes se adaptan a la topografía del lugar. b) En el trazo de construcciones de acuerdo con elevaciones planeadas. c) En el cálculo de volumen de terracerías y otros materiales. d) En la investigación de las características de escurrimiento o drenaje de una región. e) En la elaboración de mapas o planos que muestren la configuración general del terreno. f) En el estudio del movimiento de las placas de la corteza terrestre y el asentamiento de las mismas. Los instrumentos utilizados para llevar a cabo estos procedimientos son el nivel y la estadia, aunque también se pueden utilizar Teodolitos que realizan la misma función. Existen errores tanto sistemáticos como instrumentales que generan resultados incorrectos en nuestras mediciones. Entre los sistemáticos podemos mencionar: -

Mal nivelación del aparato. Hacer lecturas y anotaciones incorrectas. 5

Los errores instrumentales son aquellos que se ven afectados por los ejes del aparato, la colimación y la longitud de la mira. También se consideran errores naturales como la curvatura y refracción terrestre.

1. Error de Colimación: El eje de colimación es aquel que pasa por el centro óptico del objetivo de un teodolito u otro instrumento de medición, y por la intersección de hilos del retículo de las gafas.

Por lo tanto, el error de colimación es la falta de paralelismo entre el eje de colimación del anteojo y el eje del nivel tubular (en su proyección vertical). En su componente horizontal se trata del error de cruce. Puede constatarse su existencia de la siguiente manera: 1) Se coloca el instrumento equidistante de ambas miras (no es necesario que esté alineado con ellas) y se efectúan lecturas L E y LF de hilo medio, centrando previamente la burbuja. Se calcula ∆H. Aunque haya error de colimación el desnivel hallado es verdadero, puesto que la equidistancia entre instrumento y miras hace que el error sistemático de colimación incida con igual signo y magnitud en ambas lecturas. 2) Se traslada el instrumento a un extremo colocándolo a 2 o 3 m de F, y se vuelve a leer en ambas miras (siempre teniendo la precaución de verificar la centración de la burbuja inmediatamente antes de cada lectura). Se calcula ∆Hv. Si ∆H ≠ ∆Hv; significa que hay un error de colimación. 1.1 Corrección: 6

Admitiendo que LF está exenta de error (dada la pequeñez de la distancia entre instrumento-mira) se adiciona a ella el valor de ∆Hv para deducir el de la lectura correcta en E. Se produce la lectura en E accionando el tornillo de elevación. En ese instante se ha horizontalizado el eje de colimación. Como la burbuja del nivel tubular (que es solidario al anteojo), se ha desplazado, se restablece su centración mediante sus tornillos propios. De aquí en más, la centración de la burbuja nos asegurará la horizontalidad del eje de colimación. La incidencia del error de colimación es particularmente importante en el caso de Nivelación desde un extremo (figura 1.2), siendo nula cuando el instrumento equidista de ambas miras (figura 1.3). De allí que en lo posible debe tenderse a esta última disposición del instrumental en el terreno para anular la influencia del error residual de colimación.

Figura 1.2

Figura 1.3 1.2 Error de Colimación Horizontal: 7

Este error aparece cuando existe una falta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje secundario o de muñones. Su cuantía se obtiene mediante la siguiente expresión: Ec =

∆l senC

Donde: Ec = Error de colimación en segundos ∆l = Incremento de lectura horizontal C = Cenital leído Para detectarlo se observa un punto en posición del anteojo CD y CI. El punto debe tener una visual que sea prácticamente horizontal. El promedio de las lecturas observadas en posición CD y CI (± 180°) está exento de la influencia de este error. En este error, la lectura cenital realizada, para visuales topográficas se puede considerar exenta de error.

1.3 Error de Muñones: Este error se debe a una falta de perpendicularidad entre el eje principal y el eje secundario o de muñones del instrumento. Su cuantía puede calcularse con la siguiente expresión: Em =

∆l cosC

Donde Em = Error de muñones ∆l = Incremento de lectura horizontal C = Cenital leído Para detectarlo se utiliza la observación por CD y CI. En este caso, al anularse en visuales horizontales, la visual ha de ser lo mas inclinada posible. De igual modo al caso anterior, el promedio de las lecturas CD y CI está exento de la influencia de este error. En este error, al igual que en de colimación horizontal, el cenital erróneo en visuales topográficas se puede considerar exento de error. 1.4 Efecto Total Acimutal:

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La combinación de los dos errores nos da el posible efecto en la lectura horizontal. El promedio entre CD y CI está exento de error. La observación se realizaría de la siguiente manera: -

Primero el error de colimación horizontal, calculándose su valor, A continuación se observa el error de muñones, que descontando o añadiendo el valor que presenta el error de colimación horizontal, nos mostraría la desviación de lectura para este error, calculándose la inclinación del eje de muñones.

1.5 Error de Colimación Vertical: Para que un instrumento este correcto, la suma de la lectura cenital en CD y CI ha de resultar de 360°. De no ser así se puede deber a dos causas, el error de eclímetro o falta de coincidencia de 0° con la vertical al lugar, o lo que es lo mismo, falta de horizontalidad de la línea 90°-270°. En un segundo lugar puede venir generado por el desplazamiento vertical de retículo. En ambos casos la suma de CD+CI no será de 360°. La diferencia de lectura observado será el doble del error.

2. Constante Taquimétrica: El método de estadía, al que también se le conoce como taquimetría, es un procedimiento rápido y eficiente para medir distancias y diferencias de elevación indirectamente. La precisión alcanzable con la estadía es adecuada para nivelaciones trigonométricas de bajo orden, la localización de detalles topográficos para la elaboración de mapas, la medición de longitudes de lecturas hacia atrás y hacia adelante en la nivelación diferencial y para efectuar comprobaciones rápidas de mediciones hechas con métodos de orden superior. Las lecturas de estadía pueden tomarse con teodolitos, tránsitos, alidadas de plancheta y niveles. 2.1 Principio de la estadía: Además del hilo central horizontal, la retícula de un transito o teodolito para la medición con estadía tiene otros dos hilos horizontales equidistantes del hilo central. Con la línea visual horizontal y dirigida hacia un estadal graduado sostenido en posición vertical a ciertas distancias, el intervalo que aparece entre los dos hilos de estadía de la mayor parte de los instrumentos topográficos es precisamente 1/100 de la distancia al estadal. Así, el segmento interceptado (lectura de estadía) en un estadal colocado a 100 pie seria de 1.00 pie. Si las lecturas de estadía en el estadal se toman al más cercano ±0.01 pie, lo que puede 9

lograrse teniendo un cuidado razonable en visuales de longitud media, las distancias podrán determinarse directamente al pie mas próximo. Esto es suficientemente preciso para identificar detalles topográficos como ríos, caminos y edificios que se trazaran en un plano a una escala menor que 1 plg = 100 pie y a veces aun mayores que 1 plg = 50 pie. El método de estadía se basa en el principio de que en triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales. Así, en la figura 2.1 que muestra un anteojo taquimétrico de enfoque externo, los rayos de luz procedentes de los puntos A y B que pasan por el centro de la lente forman un par de triángulos semejantes AB y ab. Aquí AB=I es la distancia que se interseca sobre el estadal (lectura de estadía) y ab=i separación de los hilos estadimétricos.

Figura 2.1 f = distancia focal de la lente (una constante para cualquier objeto compuesto). Esta distancia puede determinarse enfocando el anteojo sobre un objeto distante y midiendo la distancia entre el centro (en realidad, el punto nodal) del objetivo, y la retícula. i= separación de los hilos de estadía (ab, en la fig. 2.1). f/i= constante mayor (o grande) conocida como estadimétrica; por lo general es igual a 100. Se llama también factor de lectura. I= segmento interceptado (AB en la fig. 2.1) llamado también lectura de estadía. c= distancia entre el centro del instrumento (en el eje acimutal) y el centro del objetivo. Varia ligeramente al mover este último hacia adentro o hacia afuera, según las diferentes longitudes de visual, pero generalmente se considera constante. T= c + f = constante menor (o chica) conocida como constante Taquimétrica. Se le considera constante, aunque varia ligeramente con c. 10

D1= distancia entre el punto focal situado frente al anteojo, y la cara del estadal. DH= T + D1 = distancia del centro del instrumento a la cara del estadal. 2.2 Deducción de las fórmulas para el cálculo de las distancias horizontal (D H ) y vertical (D V ) : D1 I f = , o bien D1= I =KI i i f y D H =KI + T

Ecuación

2.1 Las relaciones geométricas ilustradas en la figura 2.1 corresponden a un tipo simplificado de anteojos con enfoque externo. Se han usado, porque mediante un dibujo sencillo puede mostrarse correctamente las relaciones necesarias para obtener la ecuación de estadía. Estos anteojos se han vuelto obsoletos en los instrumentos topográficos. El lente objetivo de un anteojo de enfoque interno (del tipo usado ahora en los instrumentos topográficos) permanece fija en su posición, en tanto que una lente móvil de enfoque negativo, situada entre el lente objetivo y el plano de los hilos reticulares, cambia la dirección de los rayos de luz. En consecuencia, la constante taquimétrica T resulta tan pequeña que puede suponerse igual a cero y se cancela en la ecuación 2.1. Así, la ecuación para la distancia en una visual horizontal de estadía se reduce a: D H =KI

-

Ecuación 2.2

Cuando el anteojo este inclinado (caso general):

Figura 2.2 Para la distancia horizontal D H =D∙ cos α

D H (Fig. 2.2): pero: D=T + K ( A ´ B ´ ) , 11

A ´ B ´ =AB ∙ cos α=(s−i)cos α 2

D H =K ∙(s−i)∙ cos α+T cos α

Ecuación 2.3

Para la distancia vertical, DV Dv=D ∙ sen α

y reemplazando el valor de D se obtiene: Dv=K ∙

( s−i ) cos α sen α+T sen α 2

1 Pero: cos α ∙ senα = sen 2 α ;luego : 2 Dv=K ∙

(s−i) sen 2 α+T sen α 2

Ecuación 2.4

Generalmente las constantes T y S han sido determinadas por el fabricante y vienen indicadas en el estuche del aparato (en los aparatos modernos T=0 y K=100). Dado el caso que se desconozcan están constantes o que se dude de sus valores, se procede, para su determinación, así: 1) Determinación de T: En los teodolitos de enfoque interno T=0. En los teodolitos de enfoque externo, hay que conocer f y c puesto que T= c + f; para conocer a f: se enfoca un objeto lejano, se mide la distancia entre el objetivo y los hilos de retículo y se obtiene así f, pues teóricamente la imagen de un objeto en el infinito se forma en el plano focal, que coincide con el del ridículo. Para conocer a c: se mide la distancia del eje vertical al objetivo, cuando se ha enfocado un objeto durante unos 80 metros, aproximadamente, esto da un valor promedio de c. 2) Determinación de K: Los fabricantes de instrumentos espacian cuidadosamente los hilos de estadías fijos de los tránsitos y teodolitos, niveles y las alidadas de plancheta, para hacer que el factor de lectura o constante K=f/i sea igual a 100. El factor de lectura de estadía debe determinarse la primera vez que se usa un instrumento, aun cuando no varié el valor exacto que señala el fabricante en el interior del estuche, a no ser que se cambien los hilos reticulares o las lentes. Para determinar el factor K de estadía se lee el intervalo I en el estadal correspondiente a una distancia horizontal conocida D H. Así, en una forma alternativa de la ecuación 2.2, el factor de lectura de estadía es K= D H/I. Por ejemplo, a una distancia conocida de 300 metros se leyó un intervalo en el estadal de 3.01. Entonces, K= 300/3.01 = 99,7. 12

Como K es de todas maneras un numero redondo se toma el que más se aproxime al valor así determinado. 3. Curvatura de la Tierra: Desde el año 235 a. c. el geógrafo, físico y matemático Eratóstenes efectuó una medida con gran aproximación acerca de la circunferencia de la tierra, con tal forma de mirar su curvatura, esto lo determino en dos ciudades diferentes a la misma hora y determinando la sombra que un palo de las mismas dimensiones proyectaba, aunque la medida que registro difiere de la real en un 5% basta con resaltar el gran trabajo que realizo al aproximarse a esto. En los trabajos de topografía es determinante conocer la curvatura de la tierra en el espacio que se está trabajando, aunque este trabajo o este levantamiento se presente en un plano horizontal, hay que determinar el error de la curvatura terrestre y corregir el error para presentar un buen estudio. De acuerdo a los trabajos de topografía y de altimetría específicamente podemos hablar de que al visualizar una distancia real desde un punto AB (arco) y compararlo con una proyección sobre un plano horizontal tangente del punto AB (horizontal) hay un error que llamaremos C lo cual difiere en que la tierra no es plana si no redonda en términos generales. En la siguiente imagen podemos mirar lo anteriormente explicado:

De tal forma tomando el ejemplo anterior podemos determinar que la curvatura terrestre afecta de manera específica las medidas y hay un error que hay que establecer y corregir, obviamente más protuberante en medidas de miles de metros que en un levantamiento topográfico más corto. Dentro de los errores de curvatura más comunes están: -

Errores de Distancia: 13

Tiene que ver con la medición por medio de un triángulo que se realiza conociendo por lo menos un lado y dos ángulos, en este se determina el ángulo como planos y se calcula los lados del triángulo como planos y no como esféricos, sin embargo se puede dejar la apreciación en campos cortos pero en campos largos la distancia es mayor y afecta la medición. -

Errores Angulares:

Al no determinar la curvatura de la tierra se acepta que los nortes en cualquier punto son paralelos entre sí, lo cual no es exacto. -

Errores de altura:

Si desde un punto A se dirige la observación a un punto B, la distancia que nos indica va a ser errónea en un error de altura es decir que para una distancia de 50 m el error de curvatura es 0,2 mm pero ya para una medida de 200m el error de curvatura oscila en 3.2 mm, en el siguiente grafico podemos observar esta relación que tiene la curvatura de la tierra y su medición.

De manera general, la corrección por curvatura, para un radio de 6370 Km se puede calcular por la siguiente ecuación: C = 0.0785 K2 (cm) Donde K es la distancia vertical existente entre una línea horizontal y la línea de nivel expresada en Km. Es decir que para una distancia vertical de 1 Km, la corrección será de 7.85 cm. La curvatura terrestre afecta un poco la medición cuando esta es relativamente grande o extensa, en muchos casos con las nuevas tecnologías las precisiones que nos pueden dar estos aparatos es hasta 5mm/ km, siendo una máxima precisión obtenida, ya que en una distancia de 30 km el margen de error es tan solo 15 cm, garantizando que nuestro trabajo sea muy especifico y confiable.

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En las mediciones con cinta métrica, la máxima precisión que se puede obtener esta en un promedio de 1/10000, de tal forma el límite del campo angular en un campo topográfico es de 30Km.

CONCLUSIÓN

Es importante que al momento de adquirir un instrumento para realizar nuestros trabajos hagamos un análisis y comprobemos la calibración, las constantes y los errores de cada uno de ellos, con los que podriamos trabajar e identificar para luego corregirlos y obtener nuestros resultados óptimos. En el desarrollo de nuestra profesión podemos considerar la tierra como una superficie plana, sin conllevar a resultados negativos ya que son despreciables al conocer y establecer los parámetros de curvatura, tanto iniciales en nuestro trabajo, como finales en nuestras mediciones tomadas. Con la realización de este trabajo pudimos determina...