Rayos X en cristalografía y Ley de Bragg PDF

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Un conciso y sólido resumen sobre lo que es la aplicación de los rayos en la cristalografía, sus orígenes y las razones de ser usada en esta materia y sobre la Ley de Bragg derivada de lo anterior. Todo esto con el fin de comprender el estudio de las estructuras cristalinas y su comportamiento de ac...

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APLICACIÓN DE RAYOS X EN CRISTALOGRAFÍA La cristalografía de rayos X es una técnica consistente en hacer pasar un haz de rayos X a través de un cristal de la sustancia sujeta a estudio. El haz se escinde en varias direcciones debido a la simetría de la agrupación de átomos y, por difracción, da lugar a un patrón de intensidades que puede interpretarse según la ubicación de los átomos en el cristal, aplicando la ley de Bragg. Es una de las técnicas que goza de mayor prestigio entre la comunidad científica para dilucidar estructuras cristalinas, debido a su precisión y a la experiencia acumulada durante décadas, elementos que la hacen muy fiable. Sus mayores limitaciones se deben a la necesidad de trabajar con sistemas cristalinos, por lo que no es aplicable a disoluciones, a sistemas biológicos in vivo, a sistemas amorfos o a gases. Es posible trabajar con monocristales o con polvo microcristalino, consiguiéndose diferentes datos en ambos casos. Para la resolución de los parámetros de la celda unidad puede ser suficiente la difracción de rayos X en polvo, mientras que para una dilucidación precisa de las posiciones atómicas es conveniente la difracción de rayos X en monocristal. La cristalografía de rayos X desempeñó un papel esencial en la descripción de la doble hélice de la molécula de ADN. Figura 1. - Proceso de determinación de la estructura de una molécula por cristalografía de rayos X.

Esta técnica se utiliza ampliamente en la determinación de las estructuras de las proteínas.

En algunos casos, los rayos X pueden romper los enlaces químicos que mantienen la integridad estructural, lo que resulta en un modelo distorsionado de la molécula estudiada. Este problema afecta especialmente a los materiales de interés biológico. ¿Por qué utilizamos Rayos X? Para poder visualizar objetos que no podemos detectar a simple vista recurrimos a la utilización de fuentes de radiación electromagnética de una longitud de onda comparable al objeto de estudio que se quiere resolver. Así pues, para visualizar células eucariotas, con un tamaño medio de unos 10 µm, podemos utilizar perfectamente fotones en el espectro visible (0,40-0,75 µm) y microscopios ópticos. Sin embargo, si se trata de visualizar algo menor, como determinados orgánulos celulares como mitocondrias, de tamaño medio 0.5-1.0 µm, o partículas virales (10 a 500 nm), precisaremos de una radiación de menor longitud de onda, como la asociada a los electrones. Este es el fundamento del microscopio electrónico de transmisión, que alcanza resoluciones de hasta 0.05 nm (1 nm es una milmillonésima de metro: 10-9 m). Resolver la estructura tridimensional a nivel atómico supone poder individualizar los átomos que la constituyen. Es decir, que en realidad queremos distinguir distancias interatómicas que están en el rango de 10-10 metros o un Armstrong (Å: 0.1 nm). Los rayos X son difractados por los electrones que rodean los átomos por ser su longitud de onda del mismo orden de magnitud que el radio atómico. El haz de rayos X emergente tras

esta interacción contiene información sobre la posición y tipo de átomos encontrados en su camino. Los cristales, gracias a su estructura periódica, dispersan elásticamente los haces de rayos X en ciertas direcciones y los amplifican por interferencia constructiva, originando un patrón de difracción. Las radiaciones electromagnéticas que se encuentran en esa zona del espectro son precisamente los rayos X (ver figura 2). Es decir, que la utilización de los rayos X viene condicionada por el objeto de estudio, ya que pretendemos visualizar distancias interatómicas en macromoléculas. Los rayos X se generan mediante ánodos rotatorios, con longitud de onda fija, o mediante fuentes de radiación de sincrotrón, como la que se está construyendo en Barcelona (ALBA). Estos rayos son dispersados por las nubes electrónicas de los átomos que forman parte del cristal dando lugar a un determinado patrón de difracción. Aunque las distancias típicas entre los planos de la red cristalina se desconocían, se sabía que debían ser muy pequeñas comparadas con la longitud de onda de la luz visible. Esto le dio al físico alemán Max von Laue la idea de utilizar cristales de sulfato de cobre para determinar si los rayos X se componían de partículas u ondas: dedujo que, si fueran ondas, deberían generar un patrón de difracción al atravesar los cristales. Los experimentos se realizaron en Figura 2. - Espectro electromagnético a la izquierda. A la 1912, con la ayuda de Walter Friedrich derecha del mismo se muestra la analogía entre la y Paul Knipping, ambos antiguos microscopía óptica y la difracción de rayos X. estudiantes de Röntgen. Estos experimentos confirmaron la presencia de difracción cristalina, interpretada por von Laue como la extensión a tres dimensiones de la difracción de Fraunhofer por un enrejado. MÉTODO DE LAUE En sus primeros experimentos, Max von Laue (Premio Nobel de Física en 1914), en 1912, usó radiación contínua (con todas las longitudes de onda posibles) incidiendo sobre un cristal estacionario. Las ecuaciones de Laue pueden deducirse de un modo algo menos formal, pero muy sencilla e intuitivamente. Basta para ello considerar una hilera de átomos, regularmente distanciados, tal como muestra la figura de la izquierda y considerar, como hipótesis, que un frente de ondas (OP) que incide sobre la línea de átomos se dispersa Max von Laue cooperativamente (se difracta) al otro lado de la línea citada y genera otro frente de ondas (QR) cuya dirección de propagación habrá cambiado. Por lo tanto, si en el frente de ondas QR se observa dispersión cooperativa (difracción), es porque los dos haces que lo componen están en fase, o lo que es lo mismo, que la diferencia de caminos recorridos por los haces OQ y PR es un número entero (m) de longitudes de onda (λ), es decir: OQ - PR = m λ

y como: cos ν = OQ / a; cos μ = PR / a resulta: a (cos ν - cos μ) = m λ Así que cada haz difractado corresponderá al primer orden de difracción (n=1) de una cierta longitud de onda, al segundo orden (n=2) de la longitud de onda mitad (λ/2), al tercer orden n=3 de la longitud de onda λ/3, etc. Por lo tanto, el diagrama de Laue es simplemente una proyección estereográfica de los planos del cristal. Consiste en hacer incidir en un cristal un espectro continuo de rayos X, de tal manera que para cada longitud de onda se cumple la ley de Bragg para diferentes puntos de la red recíproca. Esto posibilita medir todas o (a) (b) casi todas las reflexiones sin cambiar Figura 3. - Hay dos geometrías diferentes en los diagramas de Laue, dependiendo de la posición del cristal respecto de la placa fotográfica, transmisión (a) o la orientación del reflexión (b). cristal. Existen dos variantes del método de Laue: transmisión y reflexión (Figura 3). En el método de Laue por transmisión, el cristal se emplaza entre la fuente de rayos X y el detector. En método de reflexión, el detector se encuentra entre la fuente y el cristal, para detectar los haces difractados hacia atrás. Cámaras de transmisión Este método es llamado así debido a que los rayos pasan a través del material y luego son difractados sobre una pantalla donde se recoge la información. La característica más importante de este método es que los rayos difractados son contenidos en un cono que al ser proyectado sobre la pantalla se observa como una elipse cuyo perímetro contiene a los rayos difractados (ver Figura 4), en la Figura 5 se muestra un esquema de la cámara, donde C, es el Figura 4. - Esquema que cristal; D, la distancia entre el cristal y la película; F, marco donde muestra la cámara de se colocan la película y un metal opaco a la radiación, que se transmisión. encarga de reducir el ennegrecimiento debido a radiaciones fugadas. La medición de los ángulos en este método se realiza por medio de la relación: Tan 2θ = r1/D En este caso los puntos corresponden a los rayos que son difractados por el cristal y la distancia desde el centro de la elipse al punto en cuestión se designa como r1. Para los ángulos 2θ que cumplen con la relación se mide la intensidad de los puntos producidos sobre la pantalla y se determina la distancia r1, para de esta forma quedar establecido el plano que produce dicha reflexión. Cámaras de reflexión Para este caso la película es colocada entre el cristal y el rayo incidente, que pasa a través de un orificio en la película, este método es el más utilizado ya que no requiere espesores tan

delgados de material, como en el caso anterior, en este caso los rayos difractados pueden conformar una hipérbola o una línea perpendicular al eje del rayo incidente, según el ángulo 2θ entre el perímetro de la elipse y la dirección del rayo incidente. La cámara utilizada es similar a la de transmisión, la única variante es el tubo que pasa a través de la película y que se denomina colimador, cuya función es dirigir los rayos hacia el cristal. A partir Figura 5. - Esquema que de los rayos reflejados se obtiene una hipérbola que se puede muestra la cámara de reflexión lograr a partir de los diferentes planos de difracción que se pueden tener en el cristal o muestra; el ángulo 2θ se mide por la relación: Tan(180-2θ) = r2/D Mientras que la intensidad de los rayos se mide de la misma forma que en el caso anterior. LEY DE BRAGG Fue derivada por los físicos británicos William Henry Bragg y su hijo William Lawrence Bragg en 1913 Del mismo modo que ocurrió con las ecuaciones de Laue, también la ley de Bragg puede igualmente deducirse de un modo gráfico, muy intuitivo. Cuando los rayos X son dispersados por una red cristalina, se observan picos de intensidad dispersada, que corresponden a las siguientes condiciones: William L. Bragg

1. El ángulo de incidencia = ángulo de dispersión. 2. La diferencia de longitud de trayectorias es igual a un número entero de longitudes de onda.

La condición de máxima intensidad contenida en la ley de Bragg de arriba, nos permite calcular detalles sobre la estructura cristalina, o si se conoce la estructura cristalina, determinar la longitud de onda de los rayos X incidentes sobre el cristal. La hipótesis de Bragg consiste en imaginar la difracción como una reflexión de los rayos X originada por "espejos" imaginarios formados por planos de átomos de la red cristalina (mostrados Figura 6. - Cuando los frentes de onda emergentes (tras la reflexión) están en fase, se observará intensidad reflejada, como líneas horizontales que pasan por es decir, se estará cumpliendo la ley de Bragg. los centros dispersores, es decir, por los átomos que se muestran como círculos azules en la imagen de la izquierda). Debido a la naturaleza repetitiva del cristal, estos planos estarían separados entre sí por distancias constantes d. Los dos haces de rayos X, de longitud de onda λ, inciden en fase sobre sendos planos imaginarios, con un ángulo de incidencia θ, y forman un frente de ondas (primera línea verde de la izquierda).

Para que exista reflexión cooperativa es necesario que tras la reflexión ambos haces sigan estando en fase (última línea verde de la derecha), situación que sólo ocurrirá si la diferencia de caminos recorridos por los frentes de onda OF y OH (frentes de onda antes y después de la reflexión) es un número entero de veces la longitud de onda. Esa condición equivale a decir, que la suma de los segmentos FG y GH corresponde a un número entero (n) de veces la longitud de onda (λ): FG + GH = n. λ pero FG = GH y sen θ = FG / d; es decir: FG = d sen θ con lo que la expresión se convierte en: 2 d sen θ = n. λ Donde: n es un número entero, λ es la longitud de onda de los rayos X, d es la distancia entre los planos de la red cristalina y, θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión. La fórmula de Bragg permite calcular la longitud de onda de los rayos a partir de la constante reticular d, o inversamente, ésta última si se conoce la longitud de onda, y de aquí su doble aplicación al estudio de los rayos X y de la estructura de los cristales. Esta técnica también juega un importante papel en los estudios de la estructura de líquidos y moléculas orgánicas, y ha sido decisiva en la determinación de la estructura de la doble hélice del ADN y subsiguiente investigación en genética molecular. APLICACIONES DE LA LEY DE BRAGG A continuación, se mencionan algunas de las aplicaciones más comunes que se encuentran en el estudio de los materiales especialmente: Determinación de la estructura de los materiales, esto se hace gracias a la recopilación de información que ha permitido tener una gran cantidad de patrones de difracción. Además del establecimiento de los planos cristalinos que producen difracción y la combinación del difractómetro con las cámaras de difracción de rayos X, para el estudio de estructuras complejas. Determinación de las composiciones y de los elementos presentes en una estructura que se somete a estudio, esto se logra realizando análisis cuantitativo y cualitativos de las estructuras que se someten a estudio. Determinación de los cambios de fases en las estructuras, este tipo de análisis se realiza por medio de difractómetros o cámaras en los cuales se puede someter el material a cambios de temperatura, lo cual permite realizar análisis a diferentes temperaturas. Determinación de esfuerzos residuales. Se realiza estudiando patrones de difracción del material es estudio y comparándolos con aquellos en los que se presentan esfuerzos residuales con el fin de detectar cambios en la morfología de los planos que producen difracción.

CITAS BIBLIOGRÁFICAS  Bloss; “Introducción a los métodos de cristalografía óptica ”; 5ª ed.; Ed. Omega; México; 1994  E. Flint; “Principios de Cristalografía”; 1ª ed.; Ed. Paz; Moscú; 1966  Helliwell, John R.; “Cristalografía macromolecular con radiación de sincrotrón”; 1ª ed.; Ed. Cambridge University Press; México; 1992  Hernández Cano, Foces Foces, Martínez Ripoll; “Cristalografía”; 1ª ed.; Ed. Consejo superior de investigaciones científicas; Madrid; 1995  Wade, Mattox; "Elementos de Cristalografía y Mineralogía”; 2ª ed.; Ed. Omega; México; 1976...