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UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CETEC- CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS BACHARELADO EM CIÊNCIAS E TECNÓLOGICAS

RELATÓRIO DE FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II EXPERIMENTO 02 – ANÁLISE DO OSCILADOR MASSA-MOLA, DO PÊNDULO SIMPLES E DO PÊNDULO FÍSICO.

CRUZ DAS ALMAS - BA

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO.........................................................................................3 2 OBJETIVOS..............................................................................................4 3 MATERIAIS UTILIZADOS.....................................................................5 4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL....................................................5 6 RESULTADOS E DISCUSSÃO..............................................................8 7 CONCLUSÃO...........................................................................................14 8 REFERÊNCIAS.........................................................................................16

INTRODUÇÃO O movimento harmônico simples (MHS) é definido como todo aquele movimento que se repete em intervalos regulares. Este é um dos movimentos oscilatórios mais simples de compreender, sendo encontrado em vários sistemas. Muitos comportamentos oscilatórios surgem devido à ação de forças restauradoras, que fazem com que o corpo retorne à sua posição ou seu estado de inércia inicial. Essas forças restauradoras são, basicamente, do tipo elástica ou gravitacional (peso). Existem três principais tipos de osciladores: 

Em um modelo ideal, um oscilador massa-mola é composto por uma mola de massa desprezível e que possa der deformada sem que perca suas propriedades elásticas, ou seja, não ocorra variações na sua constante elástica e um corpo qualquer, o qual será posto para oscilar. Neste sistema a força restauradora é a força elástica causada pela mola. Pode ser que esse sistema sofra a ação de uma força amortecedora a qual fará com que ocorra a diminuição gradativa da amplitude desse movimento até que ele cesse após um determinado tempo, este é um movimento harmônico amortecido. Para o caso do oscilador massa-mola o 𝑘

período é dado por 𝑇 = 2π√𝑚, onde k é a constante elástica da mola e m é a massa do

corpo que oscila..



O pêndulo simples, que consiste num corpo que oscila em torno de um eixo de rotação perpendicular ao plano no qual o deslocamento ocorre. Para que o dispositivo seja considerado um pêndulo simples, as dimensões do corpo e a massa do fio devem ser desprezíveis. Nesse tipo de oscilador a força restauradora é a força peso. O cálculo do período de oscilação nesse caso relaciona o comprimento do fio o qual sustenta o corpo que oscila e a aceleração 𝐿

gravitacional: 𝑇 = 2𝜋√𝑔, onde L é o comprimento do fio, e g é a aceleração gravitacional. 

Pêndulo físico é o nome dado a qualquer corpo rígido suspenso por um ponto O e que pode oscilar livremente em torno de um eixo que passa por O e não passa pelo seu centro de massa. Para pequenos ângulos de oscilação, o período do 𝑰

pêndulo físico pode ser escrito como 𝑻 = 2𝝅√ 𝒎𝒈𝒅, onde I é o momento de inércia em torno do eixo que passa por O, d é a distância de O até o centro de massa do

objeto, m e g são, respectivamente, a massa do objeto e a gravidade local. No presente relatório serão discutidos os movimentos harmônicos simples, através do sistema massa-mola, do pêndulo simples, e do pêndulo físico (ou composto). OBJETIVOS - Para o oscilador massa-mola: 

Reconhecer o movimento harmônico simples (MHS) executado pelo oscilador

massa-mola como o movimento de um ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional à enlongação da mola. 

Determinar, pelo processo dinâmico, a constante elástica k da mola helicoidal.

- Para o pêndulo simples: 

Reconhecer o MHS executado pelo pêndulo simples como o movimento de um

ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento angular. 

Determinar as relações entre o período de oscilação e: a amplitude de oscilação, a

massa pendurada, o comprimento da corda. 

Determinar o valor da gravidade local por meio da medida do comprimento do fio

e do período de oscilação. - Para o pêndulo físico: 

Reconhecer o HMS executado pela régua como o movimento de um corpo extenso

sujeito à ação de um torque restaurador proporcional ao seu deslocamento angular e ao momento de inercia com relação ao eixo de giro. 

Determinar, pelo processo dinâmico, o valor de momentos de inércia com relação

a diferentes eixos de giro.

MATERIAIS UTILIZADOS  1 sistema de sustentação principal Arete, com tripé, haste, sapatas niveladoras e painel com fixação integrada;  2 massas pendulares de mesmo volume e massas diferentes;  1 cronômetro;  1 mola helicoidal;  1 conjunto de 3 massas acopláveis de (50 ± 1) g cada;  1 gancho de lastro de massa (8 ± 1) g;  1 régua milimetrada com 2 orifícios (o maior na extremidade e o menor na posição 4,0 cm da escala);  1 trena;  1 transferidor de 180º.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL PARTE I – Oscilador massa-mola: Primeiramente foi feita montagem do sistema de sustentação principal conforme a figura 1. Depois a mola foi acoplada ao sistema e nela foi preso o gancho no qual seria colocado as três massas acopláveis. Em seguida, o gancho foi puxado além da posição de equilíbrio e solto posteriormente, fazendo o sistema oscilar, então, foi medido o intervalo de tempo que ele levou para executar 10 oscilações completas. Refizemos o processo de oscilação por três vezes (no total) a fim de minimizar os erros. O mesmo foi feito para as medições posteriores com duas e uma massa acopladas ao sistema.

Figura 1

PARTE II – Pêndulo simples: O sistema foi montado conforme a figura 2, com o prumo de maior massa sendo preso ao barbante e sua altura foi nivelada a 20 cm com o auxílio da trena e ajustada com o dispositivo de variação contínua. Em seguida o pêndulo foi deslocado a 5° da posição de equilíbrio, utilizando o transferidor, sendo posto a oscilar. Foi medido o tempo para que ele realizasse 10 oscilações completas. Essa medição foi realizada três vezes (no total) a fim de minimizar os erros, e estas três medições também foram feitas para os ângulos de 10°, 15° e 20° a partir da posição de equilíbrio para 10 oscilações. Com o prumo de menor massa (mais leve), o pêndulo foi deslocado para uma pequena amplitude (θ ≤ 5°) e medido o tempo para 10 oscilações completas e construímos a tabela 3. Esta medição também foi feita por três vezes.

Figura 2

PARTE III – Pêndulo físico: Nessa parte do experimento utilizamos a régua como pêndulo físico. Ela foi presa, pelo orifício da sua extremidade, a um gancho no próprio sistema e, em seguida, deslocamos a 5° com relação a sua posição de equilíbrio, pondo-a a oscilar. Medimos o tempo necessário para 10 oscilações e, como nos outros casos, repetimos essa medida por três vezes. Por fim penduramos a régua ao suporte pelo orifício mais próximo ao seu centro de massa, deslocamos a um pequeno ângulo da sua posição de equilíbrio, fazendo-a oscilar. Medimos o tempo para que ocorressem 10 oscilações e repetimos essa medida por três vezes, como todas as anteriores.

RESULTADOS E DISCUSSÕES Primeiramente, como todas as medidas foram feitas por três vezes a fim de minimizar erros causados por imperícia (erros grosseiros), foi feita a média aritmética de cada uma dessas medidas, a qual será utilizada para o tratamento dos dados obtidos. Vale salientar que a média supracitada foi calculada conforme a fórmula:

Portanto, os valores que serão utilizados neste relatório representam a média aritmética de três medições sobre o mesmo caso. Parte I: Oscilador Massa-mola O movimento executado pela massa m dependurada no oscilador massa-mola é conhecido como Movimento Harmônico Simples. Foi observado que a amplitude do movimento diminui a cada oscilação, pois, como não se trata de um meio ideal (no qual pressupõe-se a ausência de forças dissipadoras), o sistema sofre a ação de uma força amortecedora Fa=-bv, onde v é a velocidade do movimento e b é conhecido como parâmetro ou constante de amortecimento. Essa força é responsável pela diminuição gradativa da amplitude e fará com que o movimento pare posteriormente. Também ocorre a diminuição gradativa do período a cada oscilação, por conta da diminuição da amplitude do movimento, o que, teoricamente, implica no aumento da frequência das oscilações.



Intervalos de tempo obtidos com diferentes massas:

Calculando os valores do período e da frequência com os dados obtidos acima, usando as equações 𝑇 =

𝑡

𝑛

para a determinação do período e 𝑓 =

1

𝑇

para a determinação da

frequência, obtivemos os dados necessários da tabela 1, como segue: Os períodos serão: T58 g =3,580/10 = 0,358 s

T108 g = 4,870/10 = 0,487 s T158 g = 5,870/10 = 0,587 s

As frequências serão: ƒ58 g = 1/0,358 = 2,793 Hz ƒ108 g = 1/0,487 = 2,053 Hz ƒ158 g = 1/0,587 = 1,704 Hz Tabela 1

Massa

Tempo de 10

Período

Frequência

oscilações 1

(58 ± 1) g

(3,58 ± 0,0005) s

(0,358 ± 0,00005) s

(2,793 ± 0,0006) Hz

2

(108 ± 1) g

(4,87 ± 0,0005) s

(0,487 ± 0,00005) s

(2,053 ± 0,0006) Hz

3

(158 ± 1) g

(5,87 ± 0,0005) s

( 0,587 ± 0,00005) s

(1,704 ± 0,0006) Hz

Para a determinação experimental da constante elástica k da mola temos que: A=0,165 e B=0,494 𝑘

𝑘

𝑇 = 2𝜋√ ⇒ 𝑇(𝑚) = 2𝜋√ , logo 𝑘 = 𝑚 ( 𝑚 𝑚

2𝜋 2 𝑇

) .

Então, para m = 58 g, T = 0,358 s k58 g= 17,86 Nm Para m = 108 g, T = 0,487 s k108 g = 17,97 Nm Para m = 158 g, T = 0,587 s k158 g = 18,10 Nm Portanto, a k será o valor médio entre os valores encontrados para as três massas: Logo k = 17,977 Nm. O valor encontrado é menor que o da etiqueta em 2,023 Nm. Apesar que experimentalmente é muito difícil obter o valor exato para k, o erro pode ser decorrente de erros na montagem do sistema, de erros na medição ou até devido a mudanças com relação ao ambiente no qual foi feita a medida original de k.

Parte II: Pêndulo Simples O período (T) e a frequência (ƒ) são dados por: 𝑡

1

𝑇 = 𝑛 e 𝑓 = 𝑇. Então, obtemos os dados para a tabela 2, onde: Os períodos serão:

As frequências serão:

T5º = 8,840/10 = 0,884 s

ƒ5º = 1/0,884 = 1,131 Hz

T10º = 9,010/10 = 0,901 s

ƒ10º = 1/0,901 = 1,109 Hz

T15º = 9,067/10 = 0,907 s

ƒ15º = 1/0,907 = 1,103 H

T20º = 9,040/10 = 0,904 s

ƒ20º = 1/0,904 = 1,106 Hz

Tabela 2

Deslocamento

Tempo de 10

Período

Frequência

inicial

oscilações

1

(5 ± 0,05)º

(8,840 ± 0,0005) s

(0,884 ± 0,00005) s

(1,131 ± 0,0006) Hz

2

(10 ± 0,05)º

(9,010 ± 0,0005) s

(0,901 ± 0,00005) s

(1,109 ± 0,0006) Hz

3

(15 ± 0,05)º

(9,067 ± 0,0005) s

(0,907 ± 0,00005) s

(1,103 ± 0,0006) Hz

4

(20 ± 0,05)º

(9,040 ± 0,0005) s

(0,904 ± 0,00005) s

(1,106 ± 0,0006) Hz

A tendência é que com o aumento da amplitude, também ocorra um aumento do período de oscilação. 

Para o pêndulo de menor massa deslocado a 5º da posição de equilíbrio:

O período será:

A frequência será:

Tm = 8,970/10 = 0,897 s

ƒm =1,115 Hz

Tabela 3

Massa do pêndulo

Tempo de 10

Período

Frequência

oscilações Massa menor

(8,970 ± 0,0005) s

(0,897 ± 0,00005) s

(1,115 ± 0,0006) Hz

Massa maior

(8,840 ± 0,0005) s

(0,884 ± 0,00005) s

(1,131 ± 0,0006) Hz

Com os resultados da tabela 3, percebemos que quanto maior a massa menor é o período de oscilação e maior a frequência, quando o comprimento é constante.

Para a montagem da tabela 4 temos: Os períodos:

As frequências:

T20cm = 0,884 s

ƒ20cm = 1,131 Hz

T40cm = 1,248 s

ƒ40cm = 0,801 Hz

T60cm = 1,511 s

ƒ60cm = 0,662 Hz

T80cm = 1,762 s

ƒ80cm = 0,568 Hz

T100cm = 1,950 s

ƒ100cm = 0,513 Hz

Tabela 4

Comprimento

Tempo de 10

Período

Frequência

do pêndulo

oscilações

1

(20 ± 0,05) cm

(8,840 ± 0,0005) s

(0,884 ± 0,00005) s

(1,131 ± 0,0006) Hz

2

(40 ± 0,05) cm

(12,480 ± 0,0005) s (1,248 ± 0,00005) s

(0,801 ± 0,0006) Hz

3

(60 ± 0,05) cm

(15,110 ± 0,0005) s (1,511 ± 0,00005) s

(0,662 ± 0,0006) Hz

4

(80 ± 0,05) cm

(17,620 ± 0,0005) s (1,762 ± 0,00005) s

(0,568 ± 0,0006) Hz

5

(100 ± 0,05) cm

(19,500 ± 0,0005) s (1,950 ± 0,00005) s

(0,513 ± 0,0006) Hz

Como 𝑓 =

1

𝑇

e tendo como base a tabela 4 que mostra que o período aumenta conforme

há o aumento do comprimento do fio, pode-se concluir que o aumento no comprimento comprimento do fio causa a diminuição na frequência. O que é comprovado conforme a própria tabela 4. Para calcular o valor de g, utilizamos o método dos mínimos quadrados (MMQ). Aplicando a função logarítmica na função do período temos: T=2π √(L/g) → log(T) = log(2π)-(1/2)log(g)+(1/2)log(L) Comparando a função obtida com a equação da reta y=ax+b, temos: Y = log(T), X = log(L), A = log(2π) -(1/2)log(g), B = (1/2)

Portanto, os valores de X e Y serão: T1 = 0,884s → Y1=-0,074

L1 = 20cm → X1 = -0,699

T2 = 1,248s → Y2=0,096

L2 = 40cm → X2 = -0,398

T3 = 1,511s → Y3=0,179

L3 = 60cm → X3 = -0,221

T4 = 1,762s → Y4=0,246

L4 = 80cm → X4 = -0,096

T5 = 1,950s → Y5=0,290

L5 = 100cm → X5 = 0

Pelo método dos mínimos quadrados vem que: ∑X²=0,705, ∑X=-1,414, ∑Y=0,737, ∑(XY)=-0,497 A=0,295 e B=0,520 Portanto: A = log(2π)-(1/2)log(g) → 0,295 = log(2π) - (1/2)log(g) → log(g)=-2(0,295 - log(2π)) → g=101,006 g=10,139m/s2 Portanto, o valor encontrado para g foi 10,139 m/s² sendo o valor tabelado para g = 9,8 m/s². A variação obtida de 0,0339 m/s² pode ser devida erros na montagem do sistema, baixa rigorosidade com relação às casas decimais das medidas realizadas ou, até mesmo, devido a variações na composição geológica da região de Cruz das Almas, como uma rocha muito densa, por exemplo.

Parte III: Pêndulo Físico Os períodos serão: T18,3 cm = 9,240/10 = 0,924 s T9,3 cm = 8,630/10 = 0,863 s

Tabela 5

Distância entre o ponto O e o

Tempo de 10

centro de massa

oscilações

1

(18,3 ± 0,05) cm

(9,240 ± 0,0005) s

(0,924 ± 0,00005) s

2

(9,3 ± 0,05) cm

(8,630 ± 0,0005) s

(0,863 ± 0,0005) s

Como 𝑇 = 2𝜋√ 2

𝐼

𝑑𝑚𝑔

2

tem-se que ( 2𝜋) = 𝑇

𝐼

𝑑𝑚𝑔

Período

. Portanto vem que

𝐼 = ( 2𝜋) 𝑑𝑚𝑔, com m = (40 ± 0,3) g e g = 9,8 m/s²: 𝑇

I18,3 cm = 0,015 kgm² I9,3 cm = 0,007 kgm² Têm-se que os valores de momento de inércia esperados são determinados pela fórmula: 𝐼=

1

12

𝑚(𝑎2 + 𝑏² ) + 𝑚𝑑2 , onde m = (40 ± 0,3) g, 𝑎 = (3,2 ± 0,1) cm e b = (37,0 ± 0,1)

cm e d é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa. Logo: I18,3 cm = 0,018 kgm² I9,3 cm = 0,008 kgm²

Houve uma pequena variação dos valores obtidos para inércia a partir do período e a partir da expressão da inércia sendo que a variação máxima é de 0,003 kgm² e a mínima é de 0,001 kgm².

CONCLUSÃO Os movimentos oscilatórios são aqueles que se repetem em intervalos regulares no qual há a ação de uma força restauradora que, a depender do sistema, pode ser a força elástica, ou o peso. Em um sistema ideal, no qual há a conservação da energia do sistema, o movimento tende a ser infinito, contudo, em situações reais, existe uma força amortecedora, dependente de uma constante de amortecimento b, a qual irá fazer com que o sistema cesse o movimento, a interrupção no movimento pode ser lenta (amortecimento subcrítico) ou abrupta (amortecimento supercrítico). Neste experimento foram analisados três tipos de movimentos oscilatórios, e, apesar de suas singularidades, todos eles permitem o cálculo do período e, consequentemente, da frequência, como será lembrado a seguir:

Para o oscilador massa-mola: 𝑇 = 2π√

𝑘 𝑚

Para o pêndulo simples: 𝑇 = 2𝜋√

𝐿 𝑔

Para o pêndulo físico: 𝑇 = 2𝜋√

𝐼 𝑚𝑔𝑑

Onde k é a constante elástica da mola, m é a massa do corpo que oscila no sistema, g é a aceleração gravitacional (geralmente utilizada como 9,8 m/s² ou 10 m/s²) e I é o 1

momento de inércia do corpo. Vale ressaltar que a frequência é dada por 𝑓 = 𝑇.

Neste experimento, composto por três partes, foram analisados cada um desses sistemas e com base em suas analises foram pedidos que se calculassem alguns valores experimentais e o comparasse com os seus valores teóricos como a constante elástica

da mola (k), a aceleração gravitacional (g) e o momento de inércia (I). Com relação à constante elástica o valor encontrado foi de 17,977 Nm, entretanto o valor esperado era 20 Nm. A variação do valor de k obtido com base nos dados desse experimento e o da etiqueta da mola foi de 2,023 Nm o que a princípio pode ser tomado como uma variação significativa. Entretanto, essa variação pode ser devida a variações no ambiente no qual foi realizado o experimento, com o ambiente no qual foi feita a medição original (como temperature, umidade relative do ar ou aceleração gravitacional local), possiveis erros na montagem do sistema de sustentação, ou a imprecisão na determinação de medidas. Levando em conta o fato de que os fatores citados anteriormente podem ter ocasionado a variação, o valor obtido pode ser tomado como uma aproximação satisfatória ao valor esperado. Para a aceleração gravitacional o valor encontrado foi 10,139 m/s² sendo o valor tabelado para estipula g = 9,8 m/s² sendo que g pode ser usualmente aproximado para 10 m/s². A variação obtida de 0,0339 m/s² pode ser devida à variação na montagem do sistema ou, até mesmo, devido a variações na composição geológica da região de Cruz das Almas, como uma rocha muito densa, por exemplo, como já foi discutido anteriormente. Portanto, levando em conta esses fatores que possam ter ocasionado a variação, o valor obtido experimentalmente é bastante satisfatório. Quanto ao valor encontrado para os momentos de inércia para as distâncias de 0,183 m e 0,093 m, tem-se que experimentalmente as inércias foram I18,3 cm = 0,015 kgm² e I9,3 cm = 0,007 kgm² e os valores teóricos esperados eram I18,3 cm = 0,018 kgm² e I9,3 cm = 0,008 kgm². Conclui-se que os valores experimentais obtidos são satisfatórios e bem próximos aos teóricos pois a maior variação obtida foi de 0,003 ...