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FISI 3174 – REPASO GENERALEl propósito de este repaso general es proporcionar al estudiante una visión global de los fundamentos principales estudiados durante el curso de laboratorio. Se intentará exponer lo más detallado posible los conceptos más importantes comprendidos en cada una de las práctic...

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FISI 3174 – REPASO GENERAL El propósito de este repaso general es proporcionar al estudiante una visión global de los fundamentos principales estudiados durante el curso de laboratorio. Se intentará exponer lo más detallado posible los conceptos más importantes comprendidos en cada una de las prácticas experimentales. PRÁCTICA # 1: Líneas Equipotenciales y Campo Eléctrico En la primera práctica de laboratorio se pretendía:   

Encontrar la definición de “Diferencia de Potencial” y “Campo Eléctrico”, y establecer una relación entre éstas. Comprender el significado y definición de las líneas equipotenciales. Establecer una relación entre las líneas equipotenciales y el campo eléctrico.

Recuerden que el campo eléctrico puede definirse a partir de la fuerza eléctrica mediante: 𝐸 = 𝐹/𝑞 De tal manera que el campo eléctrico representaría la interacción entre dos o más partículas cargadas respecto a una carga de prueba 𝑞 . El campo eléctrico puede “visualizarse” mediante patrones de líneas que apuntan en la misma dirección del campo eléctrico (y de la fuerza eléctrica , ya que la fuerza y el campo eléctrico son paralelos), denominadas “líneas de campo eléctrico”, que son una representación cualitativa del comportamiento del campo eléctrico. Debe tenerse en cuenta que las líneas de campo eléctrico deben salir de las cargas positivas y entrar en las cargas negativas, y éstas no pueden cruzarse. Puesto que las líneas de campo eléctrico están dirigidas en la misma dirección del campo eléctrico para una configuración de cargas positivas y negativas, entonces se tiene que la dirección del campo eléctrico siempre está dirigida desde las positivas hacia las negativas. La fuerza eléctrica puede expresarse en términos del campo eléctrico como: 𝐹= 𝑞𝐸 Ahora, recordando la definición de trabajo, el trabajo 𝑑𝑊 que se realiza para mover una carga eléctrica

una distancia 𝑑𝑙aplicando una fuerza eléctrica 𝐹es:

𝑑𝑊= 𝐹 ∙ 𝑑𝑙= 𝑞𝐸 ∙ 𝑑𝑙 Recordando que el cambio de la energía potencial eléctrica 𝑑𝑈 es igual al negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa: 𝑑𝑈= −𝑑𝑊= −𝑞𝐸 ∙ 𝑑𝑙

Entonces, el cambio de energía eléctrica entre dos puntos a y b a lo largo de un pequeño desplazamiento 𝑑𝑙 es:

∆𝑈= −𝑞 𝐸

𝑏

∙ 𝑑𝑙

𝑎

Así, la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos a y b se define como el cambio de energía eléctrica dividido entre la carga de prueba: ∆𝑉=

∆𝑈

𝑞

𝑏

= − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 𝑎

De la definición de la diferencia de potencial, note que si una partícula cargada se mueve a lo largo del

camino infinitesimal 𝑑𝑙 en dirección perpendicular al campo eléctrico entonces la diferencia de potencial entre los puntos a y b es cero. 𝑏

∆𝑉= 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − 𝐸

𝑎

∙ 𝑑𝑙 = 0

Esto significa que el potencial eléctrico en el punto a es igual al potencial eléctrico en el punto b: 𝑉𝑏 = 𝑉𝑎 De esta forma se tiene entonces que, todos los puntos con igual potencial eléctrico forman lo que se denomina “línea equipotencial”. Tenga en cuenta que las líneas equipotenciales son entonces perpendiculares en todo punto a las líneas de campo eléctrico. También, de la definición de diferencia de potencial eléctrico y su relación con el trabajo realizado por una fuerza eléctrica, una partícula cargada que se mueve a lo largo de una línea equipotencial NO hace trabajo, esto es: ∆𝑉= 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =

∆𝑈 ∆𝑊 =0 =− 𝑞 𝑞

Por lo tanto: 𝑊=0 Otras características que deben recordar de las líneas equipotenciales es que la forma geométrica de las líneas equipotenciales depende de la geometría de los electrodos. Además, las líneas equipotenciales son paralelas a la superficie de los electrodos.

PRÁCTICA # 2: Capacitores en paralelo y serie El objetivo fundamental de la segunda práctica fue encontrar y comprobar experimentalmente las relaciones para el comportamiento de el voltaje (o diferencia de potencial) y para la capacitancia equivalente correspondiente a capacitores conectados en serie y paralelo, y a partir de éstas relaciones predecir el comportamiento de la carga acumulada en el capacitor equivalente. En primer lugar, la capacitancia de un condensador se define como la razón entre la carga acumulada entre los conductores que forman el capacitor y la diferencia de potencial entre ellos: 𝐶≡

𝑄 𝑉

Puesto que a medida que aumenta la diferencia de potencial aplicada entre las placas del capacitor, la carga acumulada también aumenta, entonces la razón 𝑄/𝑉 es constante, y la capacitancia representa la capacidad de almacenar energía eléctrica y carga. Las unidades de la capacitancia es conocida como Faradios: 𝐶=



[𝐶 ] [𝑄] =𝐹 = [𝑉] [𝑉]

Capacitancias en Paralelo:

Suponga que tiene dos capacitores conectados en paralelo como se muestra en la siguiente figura:

Como se puede notar de la figura, las placas de la izquierda de los dos capacitores están conectadas mediante cables conductores a la polaridad positiva de una batería, mientras las placas de la derecha se encuentran conectadas a la polaridad negativa de la batería. Cuando ambos capacitores son conectados a la batería, los electrones son transferidos de la batería de las placas de la izquierda a las placas de la derecha, de tal modo que ambas placas de la izquierda quedan cargados positivamente, y las placas de la derecha quedan cargadas negativamente. Cuando el voltaje a través de las placas de los capacitores es igual al voltaje de la batería entonces se detiene el flujo de carga, y ambos capacitores alcanzan su máxima carga.

Esto significa que la diferencia de potencial en cada uno de los capacitores es igual a la diferencia de potencial de la batería: 𝑉𝑏𝑎𝑡 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉

(1)

Suponiendo que la máxima carga almacenada en el capacitor 𝐶1 es 𝑄1 , y la carga máxima acumulada en el capacitor 𝐶2 es 𝑄2 , entonces la carta total 𝑄 almacenada en los dos capacitores será: 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 De tal modo que si se reemplaza los dos capacitores por un capacitor equivalente 𝐶𝑒𝑞 , éste debe tener el mismo efecto que los dos capacitores, por lo tanto la carga almacenada en el capacitor equivalente debe ser: 𝑄𝑒𝑞 = 𝑄1 + 𝑄2

(2)

Usando la definición de capacitancia, la relación para la diferencia de potencial y para la carga en el capacitor equivalente, se puede encontrar la relación para la capacitancia equivalente de dos capacitores conectados en paralelo: 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2

(3)

Las relaciones para la carga (2), para la diferencia de potencial (1) y para la capacitancia equivalente (3) son válidas para cualquier número de capacitancias conectadas en paralelo. Tenga en cuenta que para capacitancias conectadas en paralelo, siempre la capacitancia equivalente es mayor que cada una de las capacitancias individuales conectadas en el circuito. 

Capacitores en Serie:

Considerando ahora dos capacitores en serie, como se indica en la siguiente figura:

Cuando los dos capacitores se conectan a la batería, los electrones son transferidos de la placa izquierda del capacitor 𝐶1 a la placa derecha de 𝐶2 . Como resultado, la carga negativa se acumula en la placa derecha de 𝐶2 , y una cantidad equivalente de carga negativa sale de la placa izquierda de 𝐶2 , por lo que ésta queda con un exceso de carga positiva. La carga negativa que sale de la placa izquierda de 𝐶2 se acumula en la placa derecha de 𝐶1 , donde nuevamente una cantidad equivalente de carga sale de la placa izquierda de 𝐶1 . Como resultado final, las placas izquierda de 𝐶1 y 𝐶2 se encuentran cargadas

positivamente, mientras las placas derecha de 𝐶1 y 𝐶2 están cargadas negativamente. Esto significa que, para dos capacitores conectados en serie, en cada uno de ellos se acumula una carga igual. De modo que si se reemplaza un capacitor equivalente que cumpla la misma función que los dos capacitores conectados en serie, la placa izquierda debe acumular una carga +𝑄, mientras que la placa de

la derecha debe acumular una carga – 𝑄. Esto significa que la carga acumulada en el capacitor equivalente debe ser igual a la carga acumulada en cada uno de los capacitores individuales: 𝑄 = 𝑄1 = 𝑄2

(4)

De la figura puede observarse que la diferencia de potencial de la batería se divide entre los capacitores conectados en serie, de tal manera que: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2

(5)

Nuevamente, aplicando la definición de capacitancia, la relación de carga (4) y la relación para la diferencia de potencial (5), puede encontrarse la relación para la capacitancia equivalente para dos capacitores conectados en serie: 1 1 1 = +𝐶 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 2

(6)

Esta expresión, al igual que la relación para carga (4) y diferencia de potencial (5) es válida para cualquier número de capacitancias conectadas en serie, muestra que la capacitancia equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitancias involucradas en el circuito. PRÁCTICA # 3: Ley de Ohm En la tercera práctica de laboratorio se pretendía comprobar experimentalmente la llamada “ley de Ohm”. En general, esta ley semi-empírica establece una relación lineal entre la corriente que circula a través de un conductor y la diferencia de potencial aplicada sobre éste mismo conductor. En primer lugar, vale recordar la definición de corriente. Al aplicar una diferencia de potencial entre los extremos de un material conductor, se produce en su interior un campo eléctrico. Como se encontró en la primera práctica, la existencia de un campo eléctrico, producido por la aplicación de una diferencia de potencial, tiene como efecto que portadores de carga positivos se muevan en la misma dirección del campo eléctrico, o que portadores de carga negativos se muevan en dirección opuesta del campo. En un instante de tiempo, este flujo de portadores de carga da origen a la “ corriente eléctrica”, la cual se define como la rapidez con la cual fluye la carga eléctrica. De este modo, la corriente promedio es la razón de la carga en un intervalo de tiempo: 𝐼≡

∆𝑄 ∆𝑡

(1)

De manera análoga se puede definir la corriente instantánea como el límite diferencial de la corriente promedio: 𝐼=

𝑑𝑄 𝑑𝑡

(2)

Las unidades de la corriente eléctrica se denominan Amperes: 𝐼=

𝑄

𝑡

=

𝐶

𝑠

=𝐴

La ley de Ohm enuncia que la densidad de corriente 𝐽 (definida como la corriente por unidad de área de la sección transversal del conductor, 𝐽 = 𝐼 ⁄ 𝐴) y el campo eléctrico 𝐸 que se establecen en un conductor, cuando sobre éste se aplica una diferencia de potencial, son directamente proporcionales: 𝐽 = 𝜍𝐸

(3)

La constante de proporcionalidad 𝜍 se denomina conductividad eléctrica. De tal manera que, según la ley de Ohm, la razón entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante de cada material, independiente del campo eléctrico que produce la corriente. Considerando un segmento de cable conductor de longitud 𝑙 y sección transversal de área 𝐴, sobre el cual se aplica una diferencia de potencial 𝑉 , ésta se relaciona con el campo eléctrico mediante: 𝑉 = 𝐸𝑙 Por lo tanto, la ley de Ohm puede expresarse en términos de la diferencia de potencial en lugar del campo eléctrico: 𝐽=𝜍

𝑉 𝑙

De la definición de la densidad de corriente 𝐽 = 𝐼⁄𝐴 , la anterior ecuación de la ley de Ohm puede expresarse como: 𝑉=𝜌

𝑙

𝐴

𝐼

(4)

Donde el inverso de la conductividad eléctrica 1⁄𝜍 se define como la resistividad eléctrica 𝜌. La anterior expresión muestra una relación lineal entre la diferencia de potencial aplicada al conductor y la corriente que circula a través de éste. La constante de proporcionalidad define la cantidad conocida como la “resistencia eléctrica” del material: 𝑙

𝑅 = 𝜌𝐴

(5)

La Resistencia eléctrica tiene por unidades los ohmios: 𝑅=

𝑉

𝐼

=

𝑉

𝐴

=Ω

De tal modo que la ley de Ohm puede entonces ser expresada como: 𝑉 = 𝑅𝐼

(6)

Donde, de igual forma que antes se expresó, la razón entre la diferencia de potencial y la corriente es una constante, la cual es propia de cada material, y es la resistencia 𝑅. La finalidad del lo presentado anteriormente es mostrar y enfatizar las características de la resistencia eléctrica. La resistencia 𝑅 es independiente de la diferencia de potencial aplicada y de la corriente producida por ésta que circula a través del conductor. En cambio, la resistencia 𝑅 depende de parámetros geométricos de la muestra, tales como el área de la sección transversal 𝐴 y la longitud del alambre 𝑙 , y de una propiedad física propia de cada material llamada resistividad eléctrica 𝜌. Las unidades de la resistividad eléctrica son ohmios-metro Ω ∙ 𝑚. En la práctica experimental, el primer objetivo era encontrar una relación entre la diferencia de potencial aplicado y la corriente que circula sobre muestras de algún tipo de conductor. Se utilizaron muestras con diferentes longitudes y una misma área de sección transversal, compuestas por una aleación de NíquelPlata (Ni-Ag) y una muestra del mismo compuesto, pero con diferente área de la sección transversal. También se utilizó una muestra de Cobre (Cu). Al elaborar una gráfica de la diferencia de potencial en función de la corriente 𝑉 𝑣𝑠. 𝐼 para las diferentes muestras, se encontró experimentalmente que todas mantenían una relación lineal. Esta relación lineal se puede representar matemáticamente a través de la ecuación de una línea recta: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Sin embargo, hay que notar que esta expresión es la ecuación general de cualquier línea recta. Por lo tanto es necesario identificar que, en las gráficas obtenidas la variable que se encontraba en el eje 𝑦 era la diferencia de potencial 𝑉 , y en el eje 𝑥 se encontraba la corriente 𝐼 . De este modo la ecuación que satisfacen todas las gráficas 𝑉 𝑣𝑠. 𝐼 es: 𝑉 = 𝑚𝐼 + 𝑏 Notando que el intercepto de las gráficas es en general un valor pequeño, éste puede ser despreciado, por lo que la ecuación resultante es: 𝑉 = 𝑚𝐼

(7)

Realizando un análisis dimensional de la pendiente de la gráfica 𝑉 𝑣𝑠. 𝐼, se encuentra que tiene unidades de Ohmios: 𝑚=

𝑉

𝐼

=

𝑉

𝐴

=Ω

De lo que se desprende que la pendiente tiene las mismas unidades de la resistencia eléctrica. Comparando la expresión teórica de la ley de Ohm (6) con la ecuación experimental de la relación 𝑉 𝑣𝑠. 𝐼 (7), se obtiene que la pendiente de la gráfica 𝑉 𝑣𝑠. 𝐼 representa la resistencia del material 𝑅. La segunda parte de la práctica consistía en relacionar la resistencia de un material (en este caso las muestras de la aleación Ni-Ag) con la longitud. Para esta ocasión se elaboró una gráfica de la resistencia de cada una de las muestras de Ni-Ag obtenidas en la primera parte en función de la longitud de cada una

de ellas, 𝑅 𝑣𝑠. 𝑙. El resultado obtenido muestra que estas dos variables tienen una relación lineal que puede representarse mediante una ecuación lineal (eliminando el intercepto): 𝑅 = 𝑚𝑙

(8)

Esto significa que la resistencia del material es proporcional a la longitud: 𝑅∝𝑙 Comparando esta ecuación experimental con la expresión teórica (5) que relaciona la resistencia y la longitud, se encuentra que la pendiente de la gráfica experimental se relaciona con la resistividad del material y el área de la sección transversal: 𝜌

𝑚=𝐴

(9)

De modo que, conocida la pendiente obtenida de la gráfica 𝑅 𝑣𝑠. 𝑙, y el valor del área de la sección transversal de las muestras de Ni-Ag puede encontrarse experimentalmente el valor de la resistividad de la aleación Ni-Ag: 𝜌 = 𝑚𝐴

(10)

Adicionalmente en esta segunda parte de la práctica se estableció una relación entre la resistencia de una muestra y el valor del área de la sección transversal. Para eso se utilizaron dos muestras de Ni-Ag con igual longitud pero diferente área de sección transversal, encontrando que cuando el valor del área de la sección transversal es mayor, la resistencia de la muestra disminuye. Este resultado permite afirmar entonces que la resistencia es inversamente proporcional al área de la sección transversal de la muestra de un mismo material: 𝑅∝

1

𝐴

(11)

De este modo, por medio de los resultados experimentales obtenidos a sintetizados en las ecuaciones (8), (9) y (11) fue posible comprobar experimentalmente la ecuación teórica (5). Por último, es importante señalar que experimentalmente se encontró que la resistencia es una característica que depende de las propiedades físicas del material, en este caso de la resistividad. Para esto se comparó el valor de la resistencia encontrada para un par de muestras con igual longitud e igual área de la sección transversal, pero una de las muestras era de Ni-Ag y la otra muestra era de Cu. El resultando encontrado fue que la resistencia era diferente. Utilizando la ecuación teórica (5) se pudo encontrar el valor de la resistividad eléctrica de la muestra de Cu. PRÁCTICA # 4: Resistencias en Serie y Paralelo En esta práctica de laboratorio se pretendía encontrar experimentalmente el comportamiento de las resistencias conectadas en serie y paralelo, y para cada uno de estos arreglos se encontró relaciones para la diferencia de potencial, la corriente y la resistencia equivalente para cada uno de los tipos de arreglo.



Resistencias en Serie:

Suponga que tiene conectadas dos resistencias en serie como muestra la figura:

De la figura puede observarse que, la corriente suministrada por la fuente recorrerá por todo el circuito pasando por las dos resistencias sin dividirse. De modo que cuando dos o más resistencias son conectadas en serie, la corriente que circula por cada resistencia es igual: 𝐼 = 𝐼1 = 𝐼2

(1)

De la misma figura puede darse cuenta que la diferencia de potencial suministrada por la fuente se divide en cada una de las resistencias: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2

(2)

Aplicando la ley de Ohm junto con estas dos relaciones para la corriente y la diferencia de potencial en un circuito compuesto por dos resistencias en serie, se puede encontrar una expresión para la resistencia equivalente de dos resistencias en serie: 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2

(3)

Según la ecuación (3), siempre la resistencia equivalente es mayor que cada una de las resistencias que componen la combinación en serie. Las ecuaciones (1), (2) y (3) son válidas para cualquier número de resistencias en serie. 

Resistencias en Paralelo:

Ahora considere el circuito a continuación, que consiste de dos resistencias conectadas en paralelo junto con una batería:

Tenga en cuenta que, al igual que cuando se tenían dos o más capacitancias en paralelo, en el caso de dos resistencias en paralelo la diferencia de potencial en cada una de las resistencias es igual a la diferencia de potencial de la fuente de energía: 𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2

(4)

Sin embargo, la corriente proveniente de la batería se divide en el punto que conecta las dos resistencias (llamado punto de nodo o simplemente nodo). De tal manera que en el caso de dos resistencias conectadas en paralelo, la corriente se divide en dos corrientes 𝐼1 e 𝐼2 , las cuales circulan por cada una de las resistencias, es decir, 𝐼1 circulara por 𝑅1 , mientras 𝐼2 atravesará por la resistencia 𝑅2 . Como la carga tiene que conservarse, la corriente que entra en el punto donde se separa la corriente, debe ser la misma que sale del punto: 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2

(5)

Nuevamente, utilizando las condiciones sobre la diferencia de potencial (4) y sobre la corriente (5), junto con la ley de Ohm, se puede encontrar la expresión para la resistencia equivalente para ...