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M AT E R I A L S U P L E M E N TA R PA R A A C O M PA N H A R MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR FUNDAMENTOS DE FÍSICA Eletromagnetismo 9a Edição HALLIDAY & RESNICK JEARL WALKER Cleveland State University VOLUME 3 Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. Professor Titular do I...

Description

M AT E R I A L S U P L E M E N TA R PA R A A C O M PA N H A R

MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR

FUNDAMENTOS DE FÍSICA Eletromagnetismo 9a Edição

HALLIDAY & RESNICK JEARL WALKER

Cleveland State University

VOLUME 3

Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia – IME

Este Material Suplementar contém as Soluções dos Problemas – Volume 3 que podem ser usadas como apoio para o livro Fundamentos de Física, Volume 3 – Eletromagnetismo, Nona Edição, 2012. Este material é de uso exclusivo de professores que adquiriram o livro. Material Suplementar Soluções dos Problemas – Volume 3 traduzido do material original: HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME TWO, NINTH EDITION Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license. Obra publicada pela LTC Editora: FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOLUME 3 – ELETROMAGNETISMO, NONA EDIÇÃO Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright  2012 by LTC __ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Projeto de Capa: M77 Design Imagem de Capa: Eric Heller/Photo Researchers, Inc. Used with permission of John Wiley & Sons, Inc. Reproduzida com permissão da John Wiley & Sons, Inc. Editoração Eletrônica do material suplementar:

SUMÁRIO Capítulo 21 1 Capítulo 22 23 Capítulo 23 51 Capítulo 24 75 Capítulo 25 105 Capítulo 26 127 Capítulo 27 142 Capítulo 28 172 Capítulo 29 194 Capítulo 30 225 Capítulo 31 254 Capítulo 32 285

Capítulo 21

1. O módulo da força que uma das cargas exerce sobre a outra é dado por F=

1 q (Q − q ) r2 4 0

em que r é a distância entre as cargas. Queremos determinar o valor de q que minimiza a função f(q) = q(Q 2 q). Derivando a função em relação a q e igualando o resultado a zero, obtemos Q 2 2q = 0, o que nos dá q = Q/2. Assim, q/Q = 0,500. 2. O fato de que as esferas são iguais permite concluir que, ao serem colocadas em contato, ficam com cargas iguais. Assim, quando uma esfera com uma carga q entra em contato com uma esfera descarregada, as duas esferas passam a ter (quase instantaneamente) uma carga q/2. Começamos com as esferas 1 e 2, que possuem uma carga q cada uma e experimentam uma força repulsiva de módulo F = kq2/r2. Quando a esfera neutra 3 é colocada em contato com a esfera 1, a carga da esfera 1 diminui para q/2. Em seguida, a esfera 3 (que agora possui uma carga q/2) é colocada em contato com a esfera 2 e a carga total das duas esferas, q/2 + q, é dividida igualmente entre elas. Assim, a carga final da esfera 2 é 3q/4 e a força de repulsão entre as esferas 1 e 2 se torna F′ = k

(q / 2)(3q / 4) 3 q 2 3 = k 2 = F ⇒ r2 8 r 8

F′ 3 = = 0, 375. F 8

3. Explicitando a distância r na Eq. 21-1, F = k|q1||q2|/r2, obtemos: r =

k | q1 || q2 | = F

(8, 99 × 109 N ⋅ m 2

C2 ) ( 26, 0 × 10 −6 C ) ( 47, 0 × 10 −6 C ) = 1, 39 m. 5, 70 N

4. A corrente elétrica é discutida na Seção 21-4. Chamando de i a corrente, a carga transferida é dada por q = it = (2, 5 × 10 4 A)(20 × 10 −6 s) = 0, 50 C. 5. De acordo com a Eq. 21-1, o módulo da força de atração entre as partículas é F=k

q1 q2 (3, 00 × 10 −6 C)(1, 50 × 10 −6 C) = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) = 2, 81 N. 2 r (0,120 m)2

6. (a) Chamando de a o módulo da aceleração, a segunda e a terceira leis de Newton nos dão m2 a2 = m1a1 ⇒ m2 =

(6, 3 × 10 −7 kg)(7, 0 m s2 ) = 4, 9 × 10 −7 kg. 9, 0 m s2

(b) O módulo da (única) força que age sobre a partícula 1 é 2

F = m1a1 = k

q1 q2 q . = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) 2 r (0, 0032 m)2

Substituindo os valores conhecidos de m1 e a1, obtemos |q| = 7,1 × 10–11 C.

2

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

7. Considerando positivo o sentido para a direita, a força resultante que age sobre q3 é F3 = F13 + F23 = k

q1q3

( L12 + L23 )

2

+k

q2 q3 . L223

Note que cada termo apresenta o sinal correto (positivo se a força aponta para a direita, negativo se a força aponta para a esquerda), quaisquer que sejam os sinais das cargas. Assim, por exemplo, o primeiro termo (a força que q1 exerce sobre q3) é negativo se as cargas tiverem sinais opostos, o que indica que a força será atrativa, e positivo se as cargas tiverem o mesmo sinal, o que significa que a força será repulsiva. Igualando a zero a força resultante, fazendo L23 = L12 e cancelando k, q3 e L12, obtemos q1 + q2 = 0 4, 00

q1 = − 4, 00. q2

⇒

8. No experimento 1, a esfera C entra em contato com a esfera A, e a carga total das duas esferas (4Q) é dividida igualmente entre elas. Isso significa que a esfera A e a esfera C ficam com uma carga 2Q cada uma. Em seguida, a esfera C entra em contato com a esfera B e a carga total das duas esferas (2Q 2 6Q) é dividida igualmente entre elas, o que significa que a esfera B fica com uma carga igual a −2Q. No final do experimento 1, a força de atração eletrostática entre as esferas A e B é, portanto, (2Q)(−2Q) 4Q 2 = −k 2 2 d d

F1 = k

No experimento 2, a esfera C entra primeiro em contato com a esfera B, o que deixa as duas esferas com uma carga de −3Q cada uma. Em seguida, a esfera C entra em contato com a esfera A, o que deixa a esfera A com uma carga igual a Q/2. Assim, a força de atração eletrostática entre as esferas A e B é F2 = k

(Q / 2)(−3Q) 3Q 2 k = − d2 2d 2

A razão entre as duas forças é, portanto, 3/ 2 F2 = = 0, 375. 4 F1 9. Vamos supor que a distância entre as esferas é suficiente para que possam ser consideradas cargas pontuais e chamar de q1 e q2 as cargas originais. Escolhemos o sistema de coordenadas de tal forma que a força que age sobre a esfera 2 é positiva quando a esfera é repelida pela esfera 1. Nesse caso, de acordo com a Eq. 21-1, a força a que a esfera 2 está submetida é Fa = −

1 q1q2 qq = −k 1 22 2 4 0 r r

na qual r é a distância entre as esferas. O sinal negativo indica que as esferas se atraem. Como as esferas são iguais, adquirem a mesma carga ao serem ligadas por um fio; isso significa que a carga de cada esfera é (q1 + q2)/2. A força agora é de repulsão e é dada por 1 Fb = 4 0

(

q1 + q2 2

)( r2

q1 + q2 2

) = k (q + q ) 1

2

4r 2

2

.

De acordo com a primeira das equações mostradas, q1q2 = −

r 2 Fa (0, 500 m)2 (0,108 N) = −3, 00 × 10 −12 C2 . =− k 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

De acordo com a segunda equação, 0, 0360 N Fb = 2(0, 500 m) = 2, 00 × 10 −6 C, 8,99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 k

q1 + q2 = 2r

na qual escolhemos o sinal positivo para a raiz quadrada (o que equivale a supor que q1 + q2 ≥ 0). Explicitando q2 na equação do produto das cargas, obtemos q2 =

−3, 00 × 10 −12 C2 . q1

Substituindo q2 pelo seu valor na equação da soma das cargas, obtemos q1 −

3, 00 × 10 −12 C2 = 2, 00 × 10 −6 C. q1

Multiplicando por q1 e reagrupando os termos, obtemos a equação do segundo grau q12 − ( 2, 00 × 10 −6 C ) q1 − 3, 00 × 10 −12 C2 = 0 cujas soluções são q1 =

2, 00 × 10 −6 C ±

( −2, 00 × 10 −6 C)2 − 4 ( −3, 00 × 10 −12 C2 ) 2

.

(a) Escolhendo o sinal positivo da raiz quadrada, obtemos q1 = 3,00 × 10–6 C, o que nos dá q2 = (–3,00 × 10–12)/q1 = −1,00 × 10−6 C. Escolhendo o sinal negativo da raiz quadrada, obtemos q1 = −1,00 × 10−6 C. Nos dois casos, a resposta é −1,00 × 10−6 C = −1,00 mC. (b) Como vimos no item (a), escolhendo o sinal positivo da raiz quadrada, obtemos q1 = 3,00 × 10–6 C. Escolhendo o sinal negativo, q1 = −1,00 × 10−6 C, o que nos dá q2 = (–3,00 × 10–12)/q1 = 3,00 × 10−6 C. Nos dois casos, a resposta é 3,00 × 10−6 C = 3,00 mC. O que aconteceria se tivéssemos suposto que a carga total das partículas era inicialmente negativa? Como as forças permaneceriam as mesmas se os sinais das duas cargas fossem invertidos e a carga total mudaria de sinal, a resposta do item (a) seria −3,00 × 10−6 C e a do item (b) seria 1,00 × 10−6 C. 10. Para facilitar o raciocínio, vamos supor que Q > 0 e q < 0, embora o resultado final não dependa do sinal das cargas. (a) Por simetria, os valores absolutos das componentes x e y das forças experimentadas pelas partículas 1 e 4 são todos iguais: F1 =

1 4 0

 (Q)(Q) (| q |)(Q)  Q | q |  Q / | q |  cos 45° + = − + 1 . − 2  a 2  4 0 a 2  2 2  ( 2 a)

Fazendo |F1| = 0, obtemos Q / | q | = 2 2 , o que nos dá Q / q = − 2 2 = − 2, 83. (b) Por simetria, os valores absolutos das componentes x e y das forças experimentadas pelas partículas 2 e 3 são todos iguais: F2 =

1 4 0

 | q |2 ( | q | ) ( Q )  = | q |2  1 − Q  . sen 45 ° −   2 a 2  4 0 a 2  2 2 | q |   ( 2 a)

Fazendo |F2| = 0, obtemos Q / | q | = − 1/ 2 2 = −0,35. Como este valor é diferente do obtido no item (a), não existe um valor de q para o qual a força eletrostática a que todas as partículas estão submetidas seja nula.

3

4

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

11. Como a força experimentada pela partícula 3 é     F3 = F31 + F32 + F34 =

| q || q |  1  | q3 || q1 | ˆ | q3 || q2 | (cos45° ˆi + sen 45° ˆj) + 3 2 4 ˆi  , − j+ 2 a2 4 0  a  ( 2 a)

(a) a componente x da força a que a partícula 3 está submetida é F3 x =

| q3 |  | q2 | + | q4 4 0 a 2  2 2

2 (1, 0 × 10 −7 C )  1   | = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) + 2   (0, 050 m)2  2 2 2

= 0,117 N (b) e a componente y é 2 (1, 0 × 10 −7 C )  1  | q3 |  | q2 |  9 N ⋅ m 2 C2 − + 8 99 10 | | = , × q −1 + ( ) 1     2 2  (0, 050 m) 4 0 a  2 2 2 2 2

F3 y =

= − 0, 046 N. 12. (a) Para que a aceleração inicial da partícula 3 seja na direção do eixo x, é preciso que a força resultante tenha a direção do eixo x, o que, por sua vez, significa que a soma das componentes y das forças envolvidas seja zero. O ângulo que a força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 3 faz com o eixo x é tan−1 (2/2) = 45o e o ângulo que a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 3 faz com o eixo x é tan−1 (2/3) = 33,7o. Assim, para que a soma das componentes y seja nula, devemos ter k

q1q3

( 0, 02

2m

)

2

sen 45 = k

(

| Q | q3 (0, 030 m)2 + (0, 020 m)2

)

2

sen 33, 7,

o que nos dá |Q| = 83 mC. Como as componentes y das forças exercidas pelas cargas 1 e 2 sobre a carga 3 devem ter sentidos opostos, concluímos que as cargas das partículas q1 e q2 devem ter sinais opostos e, portanto, Q = –83 mC. (b) Nesse caso, são as componentes x das forças envolvidas que devem se cancelar. Para que a soma das componentes x seja nula, devemos ter k

q1 q3

( 0, 02

2m

)

2

cos 45 = k

(

Q q3 (0, 030 m)2 + (0, 020 m)2

)

2

cos 33, 7,

o que nos dá |Q| = 55,2 mC ≈ 55 mC. Como as componentes x das forças exercidas pelas cargas 1 e 2 sobre a carga 3 devem ter sentidos opostos, concluímos que as cargas q1 e q2 devem ter o mesmo sinal e, portanto, Q = 55 mC. 13. (a) É óbvio que não existe posição de equilíbrio para a partícula 3 fora do eixo x. Também não existe posição de equilíbrio para a partícula 3 no eixo x na região entre as partículas fixas, já que, nessa região, as duas partículas, por terem cargas opostas, exercem necessariamente forças de mesmo sentido sobre a partícula 3. Além disso, não existe posição de equilíbrio no eixo x à direita da partícula 2, porque, nessa região, como |q1| < |q2|, o módulo da força exercida por q2 é sempre maior que a força exercida por q1. Assim, o ponto de equilíbrio só pode estar na parte do eixo x à esquerda da partícula 1, na qual o módulo da força resultante a que está submetida a partícula 3 é dado por Fres = k

q2 q3 q1q3 −k 2 L0 ( L + L0 ) 2

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

em que L0 é a distância (em valor absoluto) entre a partícula 3 e a partícula 1. Igualando a zero a equação apresentada, temos, depois de cancelar k e q3: 2

q1 q2  L + L0  −3, 0 C q = 2 = − = 3, 0, 2 =0 ⇒   2 L0 ( L + L 0 ) q1 +1, 0 C  L0  o que nos dá (depois de extrair a raiz quadrada) L + L0 = L0

3 ⇒ L0 =

L 10 cm = ≈ 14 cm 3 −1 3 −1

para a distância entre a partícula 3 e a partícula 1. Isso significa que a coordenada x da partícula 3 deve ser x = −14 cm. (b) Como foi dito no item anterior, y = 0. 14. (a) Vamos chamar de Q a carga da partícula 3. Igualando os módulos das forças que agem sobre a partícula 3, dadas pela Eq. 21-1, temos: q1 Q q2 Q 1 1 , 2 = 4 0 ( − a − a / 2 ) 4 0 ( a − a / 2 )2 o que nos dá |q1| = 9,0 |q2|. Como a partícula 3 está situada entre q1 e q2, concluímos que q1 e q2 têm o mesmo sinal e, portanto, q1/q2 = 9,0. (b) Nesse caso, temos: q1 Q q2 Q 1 1 , 2 = 4 0 ( − a − 3a / 2 ) 4 0 ( a − 3a / 2 )2 o que nos dá |q1| = 25 |q2|. Como a partícula 3 está situada à direita das duas partículas, concluímos que q1 e q2 têm sinais opostos e, portanto, q1/q2 = 225. 15. (a) Como a distância entre a partícula 1 e a partícula 2 é r12 =

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

=

( −0, 020 m − 0, 035 m )2 + ( 0, 015 m − 0, 005 m )2

= 0, 056 m, o módulo da força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 é F21 = k

| q2 q1 | (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(3, 0 × 10 −6 C)(4, 0 × 10 −6 C) = 35 N. = r122 (0, 056 m)2

 (b) O vetor F21 aponta na direção da partícula 1 e faz com o semieixo x positivo um ângulo y −y   1, 5 cm − 0, 5 cm  = −10, 3° ≈ −10° .  = tan −1  2 1  = tan −1   −2, 0 cm − 3, 5 cm   x 2 − x1  (c) Suponha que as coordenadas da terceira partícula sejam (x3, y3) e que a partícula esteja a uma distância r da partícula 2. Sabemos que, para que as forças exercidas pelas partículas 1 e 3 sobre a partícula 2 sejam iguais, as três partículas devem estar sobre a mesma reta. Além disso, as partículas 1 e 3 devem estar em lados opostos em relação à partícula 2, já que possuem cargas de mesmo sinal e, portanto, se estivessem do mesmo lado em relação à partícula 2, exerceriam forças com o mesmo sentido (de atração). Assim, em termos do ângulo calculado no item (a), temos x3 = x2 − r cosu e y3 = y2 – r senu (o que significa que y3 > y2, já que u é negativo). O módulo da força que a partícula 3 exerce sobre a partícula 2 é F23 = k | q2 q3 | r 2 e deve ser

5

6

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

igual ao módulo da força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2, que é F21 = k | q2 q1 | r 2 . Assim, k

q2 q3 qq = k 12 2 2 r12 r

⇒ r = r12

q3 = 0, 0645 m = 6, 45 cm,, q1

o que nos dá x3 = x2 – r cosu = –2,0 cm – (6,45 cm) cos(–10°) = –8,4 cm (d) e y3 = y2 – r senu = 1,5 cm – (6,45 cm) sen(–10°) = 2,7 cm. 16. (a) De acordo com o gráfico da Fig. 21-26b, quando a partícula 3 está muito próxima da partícula 1 (e, portanto, a força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 3 é muito maior que a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 3), existe uma força no sentido positivo do eixo x. Como a partícula 1 está n origem e a partícula 3 está à direita da partícula 1, esta força é uma força de repulsão. Assim, como a carga da partícula 3 é positiva, concluímos que a carga da partícula 1 também é positiva. (b) Como o gráfico da Fig. 21-26b cruza o eixo x e sabemos que a partícula 3 está entre a partícula 1 e a partícula 2, concluímos que, ao se aproximar da partícula 2, a partícula 3 é repelida, o que significa que a carga da partícula 2 também é positiva. O ponto em que a curva se anula é o ponto x = 0,020 m, no qual a partícula 3 se encontra a uma distância d1 = 0,020 m da partícula 1 e a uma distância d2 = 0,060 m da partícula 2. Assim, de acordo com a Eq. 21-1, 1 q1q3 1 q2 q3 = 2 4 0 d1 4 0 d 22

2

2

d   0, 060 m  q1 = 9, 0 q1 , ⇒ q2 =  2  q1 =   0, 020 m   d1 

o que nos dá q2/q1 = +9,0. 17. (a) De acordo com a Eq. 21-1, F12 = k

−6 2 q1q2 9 N ⋅ m 2 C 2 ) (20, 0 × 10 C) = 1, 60 N. = × 8 99 10 ( , d2 (1, 50 m)2

(b) O diagrama a seguir mostra as forças envolvidas e o eixo y escolhido (linha tracejada).

O eixo y foi escolhido como a mediatriz do segmento de reta que liga as cargas q2 e q3 para fazer uso da simetria do problema (um triângulo equilátero de lado d, cargas de mesmo valor q1 = q2 = q3 = q). Vemos que a força resultante coincide com o eixo y, e o módulo da força é (20, 0 × 10 −6 C)2  q2  F = 2  k 2  cos 30° = 2(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) cos 30° = 2, 77 N.  d  (1, 50 m)2 18. Como todas as forças envolvidas são proporcionais às cargas das partículas, vemos que a diferença entre as duas situações é que F1 ∝ qB + qC na situação em que as cargas B e C estão no

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

mesmo lado em relação à carga A e F2 ∝ −qB + qC na situação em que as cargas estão em lados opostos. Assim, temos: F1 q + qC = B F2 − qB + qC

⇒

1 + qC /qB −2, 014 × 10 −23 N , =7= −2, 877 × 10 −24 N −1 + qC /qB

o que nos dá, após algumas manipulações algébricas, qC/qB = 1,333. 19. (a) Se a partícula 3 permanece imóvel, a resultante das forças a que está submetida é zero. Como as partículas 1 e 2 têm cargas de mesmo sinal, para que isso aconteça, a partícula 3 deve estar entre as outras duas cargas. Além disso, deve estar no eixo x. Suponha que a partícula 3 está a uma distância x da partícula 1 e a uma distância L 2 x da partícula 2. Nesse caso, a força resultante a que a partícula 3 está submetida é F3 =

1  qq3 4 qq3  −  2 ( L − x )2  4 0  x

Fazendo F3 = 0 e explicitando x, obtemos x = L/3 = 3,00 cm. (b) Como foi dito no item (a), y = 0. (c) A força a que a partícula 1 está submetida é F1 =

−1  qq3 4, 00 q 2  , + L2  4 0  x 2

em que os sinais foram escolhidos de tal forma que uma força negativa faz a partícula 1 se mover para a esquerda. Fazendo F1 = 0, explicitando q3 e usando o resultado do item (a), x = L/3, obtemos: q3 = −

q 4 qx 2 4 4 = − q ⇒ 3 = − = − 0, 444. L2 q 9 9

Note que a resultante das forças a que a partícula 2 está submetida também é zero: F2 =

1 1  4q2 4 qq0  1  4 q 2 4(− 4 9)q 2  = + = +     2 2 2 2 ( L − x )  4 0  L (4 9) L  4 0 4 0  L

 4q2 4q2   L2 − L2  = 0.

20. Note que as distâncias entre as partículas B e A e entre as partículas C e A são as mesmas para todas as posições da partícula B. Vamos nos concentrar nos pontos extremos (u = 0º e u = 180º) das curvas da Fig. 21-29c, pois representam situações em que as forças que as partículas B e C exercem sobre a partícula A são paralelas ou antiparalelas (ou seja, situações em que a força resultante é máxima ou mínima, respectivamente). Note, também, que, como a força dada pela lei de Coulomb é inversamente proporcional a r2, se as cargas fossem iguais, a força exercida pela partícula C seria quatro vezes menor que a força exercida pela partícula B, já que a distância entre a partícula C e a partícula A é duas vezes maior que a distância entre a partícula B e a partícula A. Como as cargas não são iguais, existe, além do fator de 1/4 já mencionado, um fator j igual, em módulo, à razão entre a carga da partícula C e a carga da partícula B. Assim, a força eletrostática exercida pela partícula C, de acordo com a lei de Coulomb, Eq. 21-1, é igual a j/4 vezes a força exercida pela partícula B. (a) De acordo com a curva 1 ...