Resolução halliday vol 3 edição 10 - Capítulo 27 PDF

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CAPÍTULO 27 1. PENSE O circuito é formado por duas baterias e dois resistores. Podemos usar a regra das malhas de Kirchhoff para determinar a corrente. FORMULE Vamos chamar de i a corrente do circuito e tomar o sentido da corrente para a esquerda no resistor R1 como positivo. De acordo com a regra das malhas de Kirchhoff,

ANALISE (a) Explicitando i na equação anterior, obtemos

O sinal positivo indica que a corrente tem o sentido anti-horário. (b) A potência dissipada em R1 é P1 = i2R1 = (0,50 A)2(4,0 W) = 1,0 W. (c) A potência dissipada em R2 é P2 = i2R2 = (0,50 A)2 (8,0 W) = 2,0 W. (d) A potência associada à fonte ε1 é P1 = iε1 = (0,50 A)(12 V) = 6,0 W. (e) A potência associada à fonte ε2 é P2 = iε2 = (0,50 A)(6,0 V) = 3,0 W. (f) Como a corrente na bateria 1 tem o mesmo sentido que a força eletromotriz, a bateria 1 fornece energia ao circuito, ou seja, está se descarregando. (g) Como a corrente na bateria 2 tem o sentido oposto ao da força eletromotriz, a bateria 2 recebe energia do circuito, ou seja, está se carregando. APRENDA Multiplicando por idt a equação obtida a partir da regra das malhas de Kirchhoff, obtemos a equação do “método da energia” discutida no Módulo 27-1:

O primeiro termo representa o trabalho realizado pela bateria 1 no intervalo de tempo dt, o segundo e terceiro termos representam as energias térmicas dissipadas nos resistores R1 e R2, e o último termo representa o trabalho realizado sobre a bateria 2. 2. A corrente no circuito é i = (150 V – 50 V)/(3,0 W + 2,0 W) = 20 A. Como VQ + 150 V – (2,0 W)i = VP, VQ = 100 V + (2,0 W)(20 A) –150 V = –10 V. 3. (a) A diferença de potencial é V = ε + ir = 12 V + (50 A)(0,040 W) = 14 V. (b) P = i2r = (50 A)2(0,040 W) = 1,0 × 102 W. (c) Pʹ = iV = (50 A)(12 V) = 6,0 × 102 W. (d) V = ε – ir = 12 V – (50 A)(0,040 W) = 10 V. (e) Pr = i2r =(50 A)2(0,040 W) = 1,0 × 102 W.

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4. (a) Como, de acordo com a regra das malhas, a queda de tensão no ramo superior deve ser 12 V, a queda de tensão no resistor 3 é 5,0 V. Isso significa que a corrente no ramo superior é i = (5,0 V)/(200 W) = 25 mA. Nesse caso, a resistência do resistor 1 é (2,0 V)/i = 80 W. (b) A resistência do resistor 2 é (5,00 V)/(25 mA) = 200 W. 5. A energia química da bateria é reduzida de DE = qε, em que q é a carga que passa pela bateria em um intervalo de tempo Dt = 6,0 min e ε é a fem da bateria. Se i é a corrente, q = iDt e DE = iε Dt = (5,0 A)(6,0 V) (6,0 min) (60 s/min) = 1,1 × 104 J = 11 kJ. Note que foi necessário converter o tempo de minutos para segundos. 6. (a) O custo é (100 W·8,0 h/2,0 W·h) ($0,80) = $3,2 × 102. (b) O custo é (100 W·8,0 h/103 W·h) ($0,06) = $0,048. 7. (a) A energia química consumida pela bateria é U = Pt =

ε 2t r +R

=

(2,0 V) 2 (2,0 min)(60s/min) = 80 J. 1,0 W + 5,0 W

(b) A energia dissipada pelo fio é 2

2

2,0 V    ε  2 U ′ = i Rt =   Rt =   (5,0 W)(2,0 min) (60 s/min) = 67 J.  r +R  1,0 W + 5,0 W 

(c) A energia dissipada pela bateria é U - Uʹ = 80 J - 67 J = 13 J. 8. Se P é a potência fornecida pela bateria e Dt é um intervalo de tempo, a energia fornecida no intervalo de tempo Dt é DE = P Dt. Se q é a carga que passa pela bateria no intervalo de tempo Dt e ε é a fem da bateria, DE = qε. Igualando as duas expressões de DE e explicitando Dt, obtemos Dt =

qε (120 A ⋅ h)(12,0 V) = = 14,4 horas. 100 W P

9. (a) O trabalho W realizado pela fonte é igual à variação de energia potencial: W = qDV = eV = e(12,0 V) = 12,0 eV. (b) P = iV = neV = (3,40 × 1018/s)(1,60 × 10–19 C)(12,0 V) = 6,53 W. 10. (a) De acordo com a regra das malhas, i = (ε2 – ε1)/(r1 + r2 + R). Explicitando R, obtemos R=

ε 2 -ε1 i

- r1 - r2 =

3, 0 V - 2, 0 V - 3, 0 W - 3, 0 W = 9, 9 ×102 W . 1,0 ×10 -3 A

(b) P = i2R = (1,0 × 10–3 A)2(9,9 × 102 W) = 9,9 × 10–4 W. 11. PENSE Como mostra a Fig. 27-29, este problema envolve um componente X que produz uma força eletromotriz ε. São fornecidas algumas informações a respeito do circuito e, com base nessas informações, devemos determinar outras características do circuito. FORMULE A diferença de potencial entre os pontos A e B do circuito é dada por

em que ε é a força eletromotriz do dispositivo X e é tomada como sendo positiva se apontar para a esquerda na figura.

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ANALISE (a) A diferença de potencial entre A e B é

O fato de que o trecho AB do circuito absorve energia significa que o ponto A está a um potencial mais alto que o ponto B, ou seja, VA – VB = 50 V. (b) A força eletromotriz do dispositivo X é dada por

(c) O fato de que ε é positivo significa que a força eletromotriz aponta para a esquerda e, portanto, o ponto B está ligado ao terminal negativo. APRENDA Escrevendo a diferença de potencial na forma VA - iR - ε = VB, vemos que o resultado obtido está de acordo com as regras para resistências e baterias. Partindo do ponto A, a variação de potencial é -iR, quando passamos pela resistência R na direção da corrente, e é -ε, quando passamos pela bateria na direção oposta à da seta da força eletromotriz (que aponta no sentido oposto ao da corrente). 12. (a) Para cada fio, Rfio = ρL/A, em que A = πr2. Assim, temos Rfio = (1,69 × 10‒8 W·m)(0,200 m)/π(0,00100 m)2 = 0,0011 W. A carga resistiva total da fonte é, portanto, Rtot = 2Rfio + R = 2(0,0011 W) + 6,00 W = 6,0022 W. A corrente do circuito é, portanto, i=

ε Rtot

=

12,0 V = 1,9993 A 6,0022W

e a diferença de potencial entre as extremidades do resistor é V = iR = (1,9993 A)(6,00 W) = 11,996 V ≈ 12,0 V. (b) A diferença de potencial entre as extremidades de um dos fios é Vfio = iRfio = (1,9993 A)(0,0011 W) = 2,15 mV. (c) PR = i2R = (1,9993 A)2(6,00 W) = 23,98 W ≈ 24,0 W. (d) Pfio = i2Rfio = (1,9993 A)2(0,0011 W) = 4,396 mW ≈ 4,40 mW. 13. (a) Se L é o comprimento do cabo e α é a resistência do cabo por unidade de comprimento, a resistência medida na extremidade leste é R1 = 100 W = 2α(L – x) + R e a resistência medida na extremidade oeste é R2 = 2αx + R. Assim, x=

R2 - R1 L 200 W - 100 W 10km + = + = 6,9 km. 4α 2 4 (13 W km) 2

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(b) Temos também R =

R1 + R2 100 W + 200 W -α L = - (13 W km )(10 km ) = 20 W. 2 2

14. (a) Vamos chamar de V1 e V2 as fem das fontes. De acordo com a regra das malhas, V2 – ir2 + V1 – ir1 – iR = 0 ⇒ i =

V2 + V1 . r1 + r2 + R

A diferença de potencial entre os terminais da fonte 1 é V1T = V1 - ir1 e a diferença de potencial entre os terminais da fonte 2 é V2T = V2 - ir2, em que r1 e r2 são as resistências internas das fontes 1 e 2, respectivamente. Assim, V1T = V1 –

r1 (V2 + V1 ) r (V +V ) , V2T = V2 – 1 2 1 . r1 + r2 + R r1 + r2 + R

Conforme o enunciado, V1 = V2 = 1,20 V. De acordo com o gráfico da Fig.27-32b, V2T = 0 e V1T = 0,40 V para R = 0,10 W. Substituindo esses valores nas equações anteriores, obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas, r1 e r2. Resolvendo esse sistema, obtemos r1 = 0,20 W. (b) A solução do sistema de equações também nos dá r2 = 0,30 W. 15. Vamos chamar de V a fem da fonte. Nesse caso, V = iR = iʹ(R + Rʹ), em que i=5,0A, iʹ = 4,0 A e Rʹ = 2,0 W. Explicitando R, obtemos R=

i′ R′ (4,0 A) (2,0 W) = = 8,0 W . i - i′ 5,0 A - 4,0 A

16. (a) Seja ε a fem da célula solar e seja V a diferença de potencial entre os terminais da célula. Nesse caso, V  V = ε - ir = ε -   r .  R

Substituindo por valores numéricos, temos  0,10 V  0,10 V = ε -  r  500 W   0,15 V  0,15 V = ε -   r. 1000 W 

Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos (a) r = 1,0 × 103 W = 1,0 kW. (b) ε = 0,30 V. (c) A eficiência é 2 η = V /R =

Pfornecida

0,15 V

( 1000 W) (5,0 cm2 )(2,0× 10- 3 W/cm2 )

= 2,3× 10-3 = 0, 23%.

17. PENSE Uma diferença de potencial zero entre os terminais de uma fonte significa que a força eletromotriz da fonte é igual à queda de tensão na resistência interna, ou seja, ε = ir.

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FORMULE Como, de acordo com o enunciado do problema, as forças eletromotrizes das duas fontes são iguais, vamos fazer ε1 = ε2 = ε. As fontes estão ligadas em série de tal forma que as forças eletromotrizes se somam; assim, a força eletromotriz total do circuito é 2ε. A resistência total do circuito é Rtotal = R + r1 + r2. Como, de acordo com os dados do problema, a resistência interna da fonte 1 é maior, essa é a fonte cuja diferença de potencial pode se anular. ANALISE (a) A corrente no circuito é i=

2ε r1 + r2 + R

e para que a diferença de potencial entre os terminais da fonte 1 se anule devemos ter ε = ir1. Substituindo ε por ir1 na equação anterior e explicitando R, obtemos R = r1 - r2 = 0,016 W - 0,012 W = 0,0040 W. (b) Como foi dito aqui, isso acontece com a fonte 1. APRENDA Se o cálculo anterior fosse repetido supondo que a diferença de potencial entre os terminais da fonte 2 é zero, obteríamos a solução R = r2 – r1. Como, de acordo com os dados do problema, r1 > r2, isso significa que R < 0, o que é fisicamente impossível. Isso mostra que, em geral, vale a pena fazer uma análise prévia do problema para não perder tempo com hipóteses que levam a soluções fisicamente impossíveis. 18. De acordo com as Eqs. 27-18, 27-19 e 27-20, temos i1 =

ε 1( R2 + R3 ) - ε 2 R3 (4,0V)(10 W + 5,0 W ) - (1,0V)(5,0 W ) = = 0, 275 A, R 1R 2 + R 2R 3 + R1R3 (10 W )(10 W) + (10 W)(5,0 W) + (10 W)(5,0 W)

i2 =

ε1R3 - ε2 (R1 + R2 ) (4,0 V)(5,0 W) - (1,0 V)(10 W + 5,0 W) = = 0,025 A, R 1R 2 + R 2R 3 + R 1R 3 (10 W )(10 W) + (10 W)(5, 0 W) + (10 W)(5, 0 W)

i3 = i2 - i1 = 0,025A- 0,275A = - 0,250A.

A diferença de potencial Vd – Vc pode ser calculada de várias formas. Vamos dar dois exemplos: a partir de Vd – i2R2 = Vc, obtemos Vd – Vc = i2R2 = (0,0250 A)(10 W) = +0,25 V; a partir de Vd + i3R3 + ε2 = Vc, obtemos Vd – Vc = i3R3 – ε2 = – (–0,250 A)(5,0 W) – 1,0 V = +0,25 V. 19. (a) Como Req < R, os dois resistores (R = 12,0 W e Rx) devem ser ligados em paralelo: Req = 3,00 W =

R xR R (12,0 W) . = x R + R x 12, 0 W + R x

Explicitando Rx, obtemos Rx =

Req R (3,00 W)(12,0 W ) = = 4,00 W . R - Req (12,0 W - 3,00 W )

(b) Como foi visto no item (a), as duas resistências devem ser ligadas em paralelo. 20. Sejam as resistências dos dois resistores R1 e R2, com R1 < R2. De acordo com o enunciado, R1 R2 = 3, 0 W e R1 + R2 = 16 W. R1 + R 2

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Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos R1 = 4,0 W e R2 = 12 W. (a) A menor resistência é R1 = 4,0 W. (b) A maior resistência é R2 = 12 W. 21. A diferença de potencial entre os terminais dos resistores é V = 25,0 V. Como os resistores são iguais, a corrente em cada um é i = V/R = (25,0 V)/(18,0 W) = 1,39 A e a corrente na fonte é itotal = 4(1,39 A) = 5,56 A. Também podemos resolver o problema usando o conceito de resistência equivalente. A resistência equivalente de quatro resistores iguais em paralelo é 1 1 4 =∑ = . Req R R

Quando uma diferença de potencial de 25,0 V é aplicada ao resistor equivalente, a corrente é igual à corrente total nos quatro resistores em paralelo. Assim, itotal =

4V 4(25,0 V) V = = = 5,56 A. 18,0 W Req R

22. (a) Req (FH) = (10,0 W)(10,0 W)(5,00 W)/[(10,0 W)(10,0 W) + 2(10,0 W)(5,00 W)] = 2,50. (b) Req (FG) = (5,00 W) R/(R + 5,00 W), em que R = 5,00 W + (5,00 W)(10,0 W)/(5,00 W + 10,0 W) = 8,33 W. Assim, Req (FG) = (5,00 W)(8,33 W)/(5,00 W + 8,33 W) = 3,13 W. 23. Vamos chamar de i1 a corrente em R1 e tomar o sentido para a direita como positivo e vamos chamar de i2 a corrente em R2 e tomar o sentido para a cima como positivo. (a) Aplicando a regra das malhas à malha inferior, obtemos

ε 2 - i1 R1 = 0, e, portanto, i1 =

ε2 R1

=

5,0 V = 0,050 A = 50 mA. 100 W

(b) Aplicando a regra das malhas à malha superior, obtemos

ε 1 - ε 2 - ε 3 - i 2R2 = 0, e, portanto, i2 =

ε1 -ε 2 -ε 3 R2

=

6, 0 V - 5,0 V - 4, 0 V = -0,060 A, 50 W

o que nos dá | i2 | = 0,060 A = 60 mA. O sinal negativo indica que o sentido da corrente em R2 é para baixo. (c) Se Vb é o potencial no ponto b, o potencial no ponto a é Va = Vb + ε3 + ε2 e, portanto, Va – Vb = ε3 + ε2 = 4,0 V + 5,0 V = 9,0 V.

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24. Os dois resistores em paralelo, R1 e R2, são equivalentes a 1 1 1 = + R12 R 1 R 2

⇒ R12 =

R1R2 . R 1+ R 2

Como o resistor equivalente aos resistores R1 e R2 está em série com o resistor R3, a resistência dos três resistores é Req = R3 + R12 = 2,50 W +

(4,00 W )(4,00 W ) = 4,50 W . 4,00 W + 4,00 W

25. PENSE A resistência de um fio é inversamente proporcional à área da seção reta. FORMULE Seja r a resistência de cada fio fino. Como os fios estão ligados em paralelo, a resistência Req do conjunto é dada por

ou Req = r/9. A resistência de cada fio é r = 4ρl/πd2, em que ρ é a resistividade do cobre, l é o comprimento do fio e d é o diâmetro do fio. Por outro lado, a resistência do fio grosso é R = 4ρl/πD2, em que D é o diâmetro do fio grosso. ANALISE Para que o fio grosso tenha a mesma resistência que os 9 fios finos em paralelo, devemos ter R = Req, o que nos dá

Explicitando D, obtemos D = 3d. APRENDA A resistência equivalente Req é nove vezes menor que r. Como r ~ 1/A ~ 1/d 2, podemos dividir a resistência por 9 utilizando um único fio, se multiplicarmos por 3 o diâmetro do fio. 26. A parte de R0 ligada em paralelo com R é fornecida por R1 = R0x/L, em que L = 10 cm. A diferença de potencial entre os terminais de R é VR = εRʹ/Req, em que Rʹ = RR1/(R + R1) e Req = R0(1 – x/L) + Rʹ. Assim, 2

PR =

 VR2 1  ε RR1 ( R + R1) 100R (ε x R0) 2 =  ,  = R R  R0 (1- x L ) + RR1 (R + R1 )  (100 R R0 + 10x - x 2 )2

em que x está em cm. O gráfico da potência dissipada no resistor R em função de x para ε = 50 V, R=2000W e R0 = 100 W aparece na figura a seguir.

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27. Como as diferenças de potencial são as mesmas para as duas trajetórias, V1 = V2, em que V1 é a diferença de potencial associada à corrente que chega ao solo passando pelo corpo da pessoa, e V2 é a diferença de potencial associada à corrente que chega ao solo sem passar pelo corpo da pessoa; portanto, i1R1 = i2R2. Como, de acordo com a Eq. 26-16, R = ρL/A, em que ρ é a resistividade do ar, temos i1 d = i2 h ⇒ i2 = i1 ( d /h).

Para d/h = 0,400 e I = i1 + i2 = 5000 A, obtemos i1 = 3571 A e i2 = 1429 A. Assim, a corrente que atravessa a pessoa é i1 = 3571 A ≈ 3,6 × 103 A. 28. A reta 1 tem uma inclinação R1 = 6,0 kW, a reta 2 tem uma inclinação R2 = 4,0 kW e a reta 3 tem uma inclinação R3 = 2,0 kW. A resistência equivalente de R1 e R2 em paralelo é R12 = R1R2/(R1+R2) = 2,4 kW. Como essa resistência está em série com R3, a resistência equivalente do conjunto é R123 = R12 + R3 = 2,4 kW + 2,0 kW = 4,4 kW .

A corrente que atravessa a bateria é, portanto, i = ε/R123 = (6 V)(4,4 kW), e a queda de tensão em R3 é (6 V)(2 kW)/(4,4 kW) = 2,73 V. Subtraindo este valor da tensão da bateria (por causa da regra das malhas), obtemos a tensão entre os terminais de R2. A lei de Ohm nos dá a corrente em R2: (6 V – 2,73 V)/(4 kW) = 0,82 mA. 29. (a) A resistência equivalente dos três resistores iguais, R2 = 18 W, é R = (18 W)/3 = 6,0 W, que, em série com o resistor R1 = 6,0 W, nos dá uma resistência equivalente em série com a bateria Rʹ = R1 + R = 12 W. Assim, a corrente em Rʹ é (12 V)/Rʹ = 1,0 A, que também é a corrente que atravessa R. Como essa corrente se divide igualmente pelos três resistores de 18 W, i1 = 0,333 A. (b) O sentido da corrente i1 é para a direita. (c) De acordo com a Eq. 26-27, P = i2Rʹ = (1,0 A)2(12 W) = 12 W. Assim, em 60 s, a energia dissipada é (12 J/s)(60 s) = 720 J. 30. Usando a regra das junções (i3 = i1 + i2), obtemos duas equações de malha: 10,0 V – i1R1 – (i1 + i2) R3 = 0 5,00 V – i2R2 – (i1 + i2) R3 = 0 (a) Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos i1 = 1,25 A e i2 = 0. (b) i3 = i1 + i2 = 1,25 A. 31. PENSE Este problema envolve um circuito com mais de uma malha. Em primeiro lugar, podemos simplificar o circuito usando o conceito de resistência equivalente para reduzir o circuito a uma única malha. Em seguida, podemos usar a regra das malhas de Kirchhoff para determinar a corrente no novo circuito e o potencial em dois pontos diferentes do circuito. FORMULE Para começar, reduzimos a combinação em paralelo de dois resistores de 2,0 W (no lado direito do circuito) a Rʹ = 1,0 W, e a combinação em série de dois resistores de 2,0 W (no canto superior esquerdo do circuito) em Rʺ = 4,0 W. Chamando de R o resistor de 2,0 W entre os pontos V2 e V1, temos agora três resistores em série cuja resistência equivalente é

e que, de acordo com a regra das malhas, está submetida a uma diferença de potencial ε2 – ε1. De acordo com a lei de Ohm,

O sentido de i é para cima na fonte da direita. Conhecendo i, podemos determinar os potenciais V1 e V2.

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ANALISE (a) A diferença de potencial entre os terminais de Rʹ é (1,0 A)(1,0 W) = 1,0 V, o que significa que (examinando o lado direito do circuito) a diferença de potencial entre a terra e V1 é 12 V – 1,0 V = 11 V. Levando em conta a polaridade da fonte, concluímos que V1 = –11 V. (b) A diferença de potencial entre os terminais de Rʺ é (1,0 A)(4,0 W) = 4,0 V, o que significa que (examinando o lado esquerdo do circuito) a diferença de potencial entre a terra e V2 é 5,0 V + 4,0 V = 9,0 V. Levando em conta a polaridade da fonte, concluímos que V2 = –9,0 V. APRENDA A diferença de potencial entre os pontos 1 e 2 é

que é igual a iR = (1,0 A)(2,0 W) = 2,0 V. 32. (a) Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos ε2 + i1 R1 – ε1 = 0. Como a fem ε1 é mantida constante enquanto ε2 e i1 variam, vemos que esta expressão, para grandes valores de ε2, nos dá valores negativos para i1. Isso significa que a reta tracejada da Fig. 27-43b corresponde a i1, ou seja, a corrente na fonte 1. Como, de acordo com essa reta, i1 é zero para ε2 = 6 V, a regra das malhas nos dá, para este valor de i1, ε1 = ε2 = 6,0 V. (b) De acordo com a reta tracejada da Fig. 27-43b, i1 = 0,20 A para ε2 = 2,0 V. Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda e usando o valor de ε1 obtido no item (a), obtemos R1 = 20 W. (c) Aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos ε1 – i1 R1 = i1R2. No ponto em que a reta que corresponde a i2 cruza o eixo horizontal (ou seja, no ponto ε2 = 4 V, i2 = 0), i1 = 0,1 A. Isso nos dá R2 =

(6,0 V) - (0,1 A)(20 W) = 40 W. 0,1 A

33. Note que V4, a queda de tensão em R4, é a soma das quedas de tensão em R5 e R6: V4 = i6(R5 +R6) = (1,40 A)(8,00 W + 4,00 W) = 16,8 V. Isso significa que a corrente em R4 é dada por i4 = V4/R4 = 16,8 V/(16,0 W) = 1,05 A. De acordo com a regra dos nós, a corrente em R2 é i2 = i4 + i6 = 1,05 A + 1,40 A = 2,45 A e, portanto, a queda de tensão em R2 é V2 = (2,00 W)(2,45 A) = 4,90 V. De acordo com a regra das malhas, a queda de tensão em R3 é V3 = V2 + V4 = 21,7 V e, portanto, a corrente em R3 é i3 = V3/ (2,00 W) = 10,85 A. Assim, de acordo com a regra dos nós, a corrente em R1 é i1 = i2 + i3 = 2,45 A + 10,85A = 13,3 A, o que significa que a queda de tensão em R1 é V1 = (13,3 A)(2,00 W)...