Resolução halliday vol 3 edição 10 - Capítulo 25 PDF

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CAPÍTULO 25 1. (a) A capacitância do sistema é C=

70pC q = = 3,5pF. V 20V ∆

(b) Como a capacitância não depende da carga, o valor é o mesmo do item (a): C=3,5 pF. (c) O novo valor da diferença de potencial é ∆V =

q 200pC = = 57 V. C 3,5pF

2. A corrente no circuito persiste até que a diferença de potencial entre os terminais do capacitor seja igual à força eletromotriz da bateria. Quando isso acontece, a carga do capacitor é q = CV e é igual à carga total que passou pela bateria. Assim, q = (25 × 10–6 F)(120 V) = 3,0 × 10–3 C = 3,0 mC. 3. PENSE A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por C = ε0A/d, em que A é a área das placas e d é a distância entre as placas. FORMULE Como as placas são circulares, a área das placas é A = πR2, em que R é o raio das placas. A carga da placa positiva é dada por q = CV, em que V é a diferença de potencial entre as placas. ANALISE (a) Substituindo os valores conhecidos, obtemos

(b) Para uma diferença de potencial entre as placas de 120 V, temos

APRENDA Na ausência de um material isolante entre as placas, a capacitância de um capacitor de placas paralelas depende apenas da área das placas e da distância entre elas. 4. (a) De acordo com a Eq. 25-17, C = 4πε 0

(40,0mm) (38,0mm) ab = =84,5 pF. b -a (8,99 ×109 N ⋅m2 /C 2 )(40,0 mm -38,0 mm)

(b) Vamos chamar de A a área das placas. Nesse caso, C = ε0A/(b – a) ou A=

C (b - a)

ε0

=

(84,5pF)(40,0 mm - 38,0 mm) =191 cm2. (8,85 ×10- 12 C 2 /N ⋅ m 2)

5. Se R é o raio de uma das gotas, quando as gotas se fundem, o volume passa a ser V= 2(4π/3)R3 e o raio da nova gota, Rʹ, é dado por 3 4π ( R′) = 2 43π R 3 3

⇒

R′ = 21 3 R .

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A nova capacitância é C ′ = 4πε 0R ′ = 4 πε021 3 R =5,04 πε0R.

Para R = 2,00 mm, obtemos C = 5,04π(8,85 × 10-12 F/m)(2,00 × 10-3 m) = 2,80 × 10-13 F = 0,280 pF. 6. Podemos usar a equação C = Aε0/d. (a) A distância entre as placas é d=

Aε0 (1,00m 2 )(8,85 ×10 -12 C 2 /N ⋅m 2) = =8,85 ×10 -12 m. C 1,00F

(b) Como d é menor que o diâmetro de um átomo (~ 10–10 m), este capacitor não é fisicamente viável. 7. Para uma dada diferença de potencial V, a carga na superfície da placa é q = Ne = (nAd )e

em que d é a profundidade da qual os elétrons migram para a superfície, e n é a densidade dos elétrons de condução. De acordo com a Eq. 25-1, a carga acumulada na placa está relacionada à capacitância e à diferença de potencial através da equação q = CV. Combinando as duas expressões, obtemos C d = ne . A V

Para d /V = ds / Vs = 5,0 × 10-14 m/V e n = 8, 49 × 1028 /m3 (observe o Exemplo “Carregamento de um capacitor de placas paralelas”), obtemos C = (8, 49 ×1028 /m3 )(1, 6× 10-19 C)(5, 0× 10-14 m/V)= 6,79× 10-4 F/m2 . A

8. A capacitância equivalente é dada por Ceq = q/V, na qual q é a carga total dos capacitores e V é a diferença de potencial entre os terminais dos capacitores. No caso de N capacitores iguais em paralelo, Ceq = NC, na qual C é a capacitância de um dos capacitores. Assim, NC = q/V e N=

1,00 C q = = 9 ,09× 103. VC (110 V)(1,00× 10- 6 F)

9. A carga que atravessa o medidor A é q = Ceq V = 3 CV = 3(25,0 µF)(4200V) =0,315C = 315 mC.

10. A capacitância equivalente é C eq =C 3 +

C1 C2 (10,0 µF )(5,00 µF ) = 7,33 µ F. = 4,00µ F + 10,0 µF + 5, 00 µF C1 + C2

11. A capacitância equivalente é C eq =

(C1 + C2 ) C3 = (10,0 µF + 5,00 µF )(4,00 µF ) =3,16 µF. C1 + C2 + C3 10,0 µF+ 5,00 µF + 4,00 µF

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12. Como os dois capacitores de 6,0 μF estão em paralelo, a capacitância equivalente é Ceq = 12 μF. Assim, a carga total armazenada (antes da modificação) é q total = C eqV = (12 µ F) (10, 0 V)= 120 µ C.

(a) e (b) Após a modificação, a capacitância de um dos capacitores aumenta para 12μF (já que, de acordo com a Eq. 25-9, a capacitância é inversamente proporcional à distância entre as placas), o que representa um aumento de 6,0 μF da capacitância e, portanto, um aumento da carga de ∆ qtotal = ∆ CeqV = ( 6,0 µ F) (10,0 V) = 60 µ C.

13. PENSE A carga total do sistema não muda quando um capacitor carregado é ligado a um capacitor descarregado. FORMULE A carga inicial do capacitor inicialmente carregado é dada por q = C1V0, em que C1 = 100 pF é a capacitância e V0 = 50 V é a diferença de potencial inicial. Depois que a bateria é desligada do circuito e o segundo capacitor é ligado em paralelo com o primeiro, a carga do primeiro capacitor passa a ser q1 = C1V, em que V = 35 V é a nova diferença de potencial. Como a carga total do sistema não muda, a carga do segundo capacitor é q2 = q – q1, em que C2 é a capacitância do segundo capacitor. ANALISE Utilizando as relações q = C1V0 e q1 = C1V, vamos obter a relação q2 = C1(V0 – V). Como a diferença de potencial entre as placas do segundo capacitor também é V, a capacitância do segundo capacitor é

APRENDA Quando dois ou mais capacitores são ligados em paralelo, a diferença de potencial é a mesma entre as placas de todos os capacitores. Para demonstrar numericamente que a carga é conservada, note que a carga inicial do primeiro capacitor é q = C1V0 = (100 pF)(50 V) = 5000 pC. Depois que os capacitores são ligados em paralelo, as cargas passam a ser

e q = q1 + q2, como esperado. 14. (a) Como a diferença de potencial entre os terminais de C1 é V1 = 10,0 V, q1 = C1V1 = (10,0 μF)(10,0 V) = 1,00 × 10–4 C = 100 μC. (b) Considere primeiro o conjunto formado pelo capacitor C2 e os dois vizinhos mais próximos. A capacitância do conjunto é C eq =C +

C 2C =1,50 C. C + C2

A diferença de potencial entre os terminais do conjunto é V=

CV 1 CV 1 = = 0,40V 1. C + Ceq C + 1,50 C

Como essa diferença de potencial é dividida igualmente entre C2 e o capacitor em série com C2, a diferença de potencial entre os terminais de C2 é V2 = V/2 = V1/5. Assim,  10,0 V  -5  = 2,00 ×10 C = 20,0µ C.  5 

q2 = C2V2 = (10,0 µ F) 

15. (a) A capacitância equivalente dos dois capacitores de 4,00 μF ligados em série é dada por 4,00 μF/2 = 2,00 μF. Este conjunto está ligado em paralelo com outros dois capacitores de 2,00 μF (um de cada lado), o que resulta em uma capacitância equivalente

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C = 3(2,00μF) = 6,00 μF. Esse conjunto está em série com outro conjunto, formado por dois capacitores de 3,0 μF ligados em paralelo [que equivalem a um capacitor de capacitância Cʹ = 2(3,00 μF) = 6,00 μF]. Assim, a capacitância equivalente do circuito é C eq =

CC′ (6,00 µF )(6,00 µF ) = =3,00 µF. C + C ′ 6,00 µF+ 6,00 µF

(b) Como a tensão da bateria é V = 20,0 V, temos q = CeqV = (3,00 μF)(20,0 V) = 6,00 × 10–5 C = 60,0 μC. (c) A diferença de potencial entre os terminais de C1 é V1 =

CV (6,00 µ F)(20,0 V) = = 10,0 V. C +C ′ 6,00 µF + 6,00 µ F

(d) A carga do capacitor C1 é q1 = C1V1 = (3,00 μF)(10,0 V) = 3,00 × 10–5 C = 30,0 μC. (e) A diferença de potencial entre os terminais de C2 é V2 = V – V1 = 20,0 V – 10,0 V = 10,0 V. (f) A carga do capacitor C2 é q2 = C2V2 = (2,00 μF)(10,0 V) = 2,00 × 10–5 C = 20,0 μC. (g) Como a diferença de potencial V2 é dividida igualmente entre C3 e C5, a diferença de potencial entre os terminais de C3 é V3 = V2/2 = (10,0 V)/2 = 5,00 V. (h) q3 = C3V3 = (4,00 μF)(5,00 V) = 2,00 × 10–5 C = 20,0 μC. 16. Podemos determinar as capacitâncias a partir da inclinação das retas do gráfico da Fig. 25-32a. Assim, C1 = (12 μC)/(2,0 V) = 6,0 μF, C2 = (8 μC)/(2,0 V) = 4,0 μF e C3= (4 μC)(2,0 V) = 2,0 μF. A capacitância equivalente dos capacitores 2 e 3 é C23 = 4,0 μF + 2,0 μF = 6,0 μF Como C23 = C1 = 6,0 μF, a tensão da bateria é dividida igualmente entre o capacitor 1 e os capacitores 2 e 3. Assim, a tensão entre os terminais do capacitor 2 é (6,0 V)/2 = 3,0 V e a carga do capacitor 2 é (4,0 μF)(3,0 V) = 12 μC. 17. A diferença de potencial inicial entre os terminais de C1 é V1 =

CeqV ( 3,16µ F)(100,0 V) = 21,1V. = C 1 + C 2 10,0 µ F + 5,00 µ F

Assim, (b) ∆V1 = 100,0 V – 21,1 V = 78,9 V e (a) ∆q1 = C1∆V1 = (10,0 μF)(78,9 V) = 7,89 × 10–4 C = 789 μC. 18. Como a tensão entre os terminais de C3 é V3 = (12 V – 2 V – 5 V) = 5 V, a carga de C3 é q3 = C3 V3 = 4 μC. (a) Como C1, C2 e C3 estão ligados em série (e, portanto, têm a mesma carga), C1 =

4 µC = 2,0 µF. 2V

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(b) Analogamente, C2 =

4µC = 0,80 µ F. 5V

19. (a) e (b) A carga de C3 é q3 = 12 μC – 8,0 μC = 4,0 μC. Como a carga de C4 é q4=8,0 μC, a tensão entre os terminais de C4 é q4/ C4 = 2,0 V. A tensão entre os terminais de C3 é V3 = 2,0 V e, portanto, C3 =

q3 = 2,0 µ F. V3

C3 e C4 estão em paralelo e são equivalentes a um capacitor de 6,0 μF em série com C2; como C2=3,0μF, a Eq. 25-20 nos dá uma capacitância equivalente de (6,0μF)(3,0μF)/(6,0 μF) + (3,0 μF) = 2,0 μF em série com C1. Sabemos que a capacitância total do circuito (no sentido de que é a capacitância “vista” pela bateria) é 12 µC 4 = µF. Vbateria 3

Assim, de acordo com a Eq. 25-20, 1 1 3 + = C1 2µ F 4 µF

⇒

C1 = 4,0 µF.

20. Um capacitor desse tipo, com n placas fixas e n placas móveis, pode ser considerado um conjunto de 2n –1 capacitores em paralelo, com uma distância d entre as placas. A capacitância é máxima quando as placas móveis estão totalmente introduzidas entre as placas fixas, caso em que a área efetiva das placas é A. Assim, a capacitância de cada capacitor é C0 = ε0A/d, e a capacitância total do conjunto é C = (n - 1)C 0 =

(n -1) ε0 A (8 -1)(8,85 ×10 -12 C 2 /N ⋅m 2)(1, 25 ×10 -4 m 2) = d 3, 40×10- 3 m

= 2, 28×10- 12F = 2,28 pF.

21. PENSE Depois que as chaves são fechadas, os capacitores ficam ligados em paralelo e são submetidos à mesma diferença de potencial. FORMULE A diferença de potencial entre os pontos a e b é dada por Vab = Q/Ceq, em que Q é a carga total do sistema e Ceq é a capacitância equivalente. ANALISE (a) A capacitância equivalente é Ceq = C1 + C2 = 4,0 × 10–6 F. A carga total é a soma das cargas iniciais dos dois capacitores. A carga inicial do capacitor 1 é

e a carga inicial do capacitor 2 é

Como os capacitores foram ligados com polaridades opostas, a carga total da combinação é

A diferença de potencial é

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(b) A nova carga do capacitor 1 é q′1 = C1Vab = (1,0 × 10–6 F)(50 V) = 5,0 × 10–5 C. (c) A nova carga do capacitor 2 é q′2 = C2Vab = (3,0 × 10–6 F)(50 V) = 1,5 × 10–4 C. APRENDA A diferença de potencial final, Vab = 50 V, é igual à metade da diferença de potencial inicial, e as cargas finais dos capacitores são iguais à metade das cargas iniciais. 22. Não podemos usar a lei de conservação da energia porque, antes que o equilíbrio seja atingido, parte da energia é dissipada na forma de calor e de ondas eletromagnéticas. Entretanto, a carga é conservada. Assim, se Q = C1Vbat = 100 μC e q1, q2 e q3 são as cargas armazenadas nos capacitores C1, C2 e C3 depois que a chave é acionada para a direita e o equilíbrio é atingido, temos Q = q1 + q2 + q3. Como C2 e C3 têm o mesmo valor e estão ligados em paralelo, q2 = q3. Os dois capacitores estão ligados em paralelo com C1, V1 = V3 e, portanto, q1/C1 = q3/C3 e q1=q3/2. Assim, Q = (q3 /2) + q3 + q3 = 5q3 /2,

o que nos dá q3 = 2Q/5 = 2(100 μC)/5 = 40 μC e, portanto, q1 = q3/2 = 20 μC. 23. A capacitância equivalente é C123 = [(C3)-1 + (C1 + C2)-1]-1 = 6 μF. (a) A carga que passa pelo ponto a é C123 Vbat = (6 μF)(12 V) = 72 μC. Dividindo por e = 1,60 × 10-19 C, obtemos o número de elétrons, N = 4,5 × 1014, que se movem para a esquerda, em direção ao terminal positivo da bateria. (b) Como a capacitância equivalente de C1 e C2 é C12 = C1 + C2 = 12 μF, a tensão entre os terminais da capacitância equivalente (que é igual à tensão entre os terminais de C1 e à tensão entre os terminais de C2) é (72 μC)/(12 μF) = 6 V. Assim, a carga armazenada em C1 é q1 = (4 μF)(6 V) = 24 μC. Dividindo por e, obtemos o número de elétrons, N1 = 1,5 × 1014, que passam pelo ponto b, em direção ao capacitor C1. (c) A carga armazenada em C2 é q2 = (8 μF)(6 V) = 48 μC. Dividindo por e, obtemos o número de elétrons, N2 = 3,0 × 1014, que passam pelo ponto c, em direção ao capacitor C2. (d) Finalmente, como C3 está em série com a bateria, a carga de C3 é igual à carga que passa pela bateria (e também pela chave). Assim, N3 = N1 + N2 = 1,5 × 1014 + 3,0 × 1014 = 4,5 × 1014 elétrons passam pelo ponto d, em direção aos capacitores C1 e C2. (e) Os elétrons estão se movendo para cima ao passarem pelo ponto b. (f) Os elétrons estão se movendo para cima ao passarem pelo ponto c. 24. De acordo com a Eq. 25-14, as capacitâncias são C1 =

2πε 0L1 2π (8,85× 10- 12 C2 /N⋅ m2 )(0,050 m) = = 2,53 pF ln(b1/a 1) ln(15 mm/5,0 mm)

C2 =

2πε 0L 2 2π (8,85× 10-12 C2 /N ⋅ m2 )(0,090 m) = = 3,61 pF. ln(b2 /a 2) ln(10 mm/2,5 mm)

Inicialmente, a capacitância equivalente é CC 1 1 1 C1 + C2 (2,53 pF)(3, 61 pF) = + = ⇒ C 12 = 1 2 = = 1, 49 pF 2,53 pF + 3, 61 pF C12 C1 C2 C1C2 C1 +C2

e a carga dos capacitores é (1,49 pF)(10 V) = 14,9 pC.

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Se o capacitor 2 é modificado da forma descrita no enunciado, temos C ′2 =

2πε0 L2 2π (8,85× 10-12 C2 /N⋅ m2 )(0,090 m) = = 2,17 pF. ln(b′2 /a 2 ) ln(25 mm/2,5 mm)

A nova capacitância equivalente é C12 ′ =

C1C′2 (2,53 pF)(2,17 pF) = =1,17 pF C1 + C2′ 2,53 pF +2,17 pF

e a nova carga dos capacitores é (1,17 pF)(10 V) = 11,7 pC. Assim, a carga transferida pela bateria em consequência da modificação é 14,9 pC – 11,7 pC = 3,2pC. (a) Como o número de elétrons que passam pelo ponto P é igual à carga transferida dividida por e, temos N=

3, 2 ×10 -12C = 2,0 ×10 7. 1,6× 10 -19 C

(b) Os elétrons transferidos pela bateria se movem para a direita na Fig. 25-39 (ou seja, na direção do capacitor 1), já que as placas positivas dos capacitores (as que estão mais próximas do ponto P) se tornaram menos positivas com a modificação. Uma placa metálica fica positiva quando possui mais prótons do que elétrons. Neste problema, com a modificação, parte dos elétrons “voltou” para as placas positivas dos capacitores, tornando-as menos positivas. 25. A Eq. 23-14 pode ser aplicada aos dois capacitores. Como σ = q/A, a carga total é qtotal = q1 + q2 = σ1 A1 + σ2 A2 = εo E1 A1 + εo E2 A2 = 3,6 pC. 26. Inicialmente, os capacitores C1, C2 e C3 formam um conjunto equivalente a um único capacitor, que vamos chamar de C123. A capacitância deste capacitor é dada pela equação C +C 2 + C3 1 1 1 = + = 1 . C123 C1 C2 +C3 C1 (C2 + C3 )

Como q = C123V = q1 = C1 V1, temos V1 =

q1 q C123 C2 + C3 V= V. = = C1 C1 C1 C1 + C2 + C3

(a) Quando C3 → ∞, a expressão apresentada se torna V1 = V. Como, de acordo com o enunciado, V1 → 10 V neste limite, concluímos que V = 10 V. (b) e (c) De acordo com o gráfico da Fig. 25-41c, V1 = 2,0 V para C3 = 0. Nesse caso, a expressão apresentada nos dá C1 = 4C2. O gráfico mostra ainda que, quando C3 = 6,0 μF, V1 = 5 V = V/2. Assim, V1 1 C2 + 6,0 µ F C2 + 6,0 µ F = = = , V 2 C1 + C2 + 6,0 µ F 4 C1 + C2 + 6,0 µF

o que nos dá C2 = 2,0 μF e C1 = 4C2 = 8,0 μF. 27. (a) Com apenas a chave S1 fechada, os capacitores 1 e 3 estão em série e, portanto, suas cargas são iguais: q1 = q3 =

C1 C3V (1,00 µ F)(3,00 µF)(12,0 V) = =9,00 µC. C1 + C3 1, 00 µF + 3,00 µF

(b) Como os capacitores 2 e 4 também estão em série,

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q2 = q4 =

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C 2C 4V (2,00 µF)(4, 00 µF)(12, 0 V) = =16,0 µC. 2,00 µF + 4,00 µF C2 + C4

(c) q3 = q1 = 9,00 μC. (d) q4 = q2 = 16,0 μC. (e) Quando a chave 2 é fechada, a diferença de potencial V1 entre os terminais de C1 se torna igual à diferença de potencial entre os terminais de C2 e é dada por V1 =

C3 + C4 (3,00 µF + 4,00 µF)(12,0 V) =8, 40 V. V= 1, 00 µ F + 2,00 µ F + 3,00 µF + 4,00 µF C1 + C2 + C3 + C4

Assim, q1 = C1V1 = (1,00 μF)(8,40 V) = 8,40 μC. (f) q2 = C2V1 = (2,00 μF)(8,40 V) = 16,8 μC. (g) q3 = C3(V – V1) = (3,00 μF)(12,0 V – 8,40 V) = 10,8 μC. (h) q4 = C4(V – V1) = (4,00 μF)(12,0 V – 8,40 V) = 14,4 μC. 28. Os capacitores 2 e 3 podem ser substituídos por um capacitor equivalente cuja capacitância é dada por 1 1 1 C 2 + C3 = + = ⇒ Ceq C2 C3 C2 C3

Ceq =

C 2C3 . C2 + C3

A carga do capacitor equivalente é a mesma dos capacitores originais, e a diferença de potencial entre os terminais do capacitor equivalente é q2/Ceq. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor 1 é q1/C1. Como a diferença de potencial entre os terminais do capacitor equivalente é igual à diferença de potencial entre os terminais do capacitor 1, q1/C1 = q2/Ceq. Quando a chave S é deslocada para a direita, parte da carga do capacitor 1 é transferida para os capacitores 2 e 3. Se q0 era a carga original do capacitor 1, a lei de conservação da carga nos dá q1 + q2 = q0 = C1V0, em que V0 é a diferença de potencial original entre os terminais do capacitor 1. (a) Resolvendo o sistema de equações q1 q2 = C1 Ceq q1 + q2 = C1V0,

obtemos q1 =

C12V0 C12V0 C12( C2 + C3 ) V0 . = = C eq + C1 C2 C3 C 1C 2 + C1C3 + C2C3 + C1 C 2 + C3

Substituindo por valores numéricos, obtemos q1 = 32,0 μC. (b) A carga do capacitor 2 é q2 = C1 V0 - q1 =(4, 00 µF)(12,0 V) -32, 0 µC =16, 0 µC.

(c) A carga do capacitor 3 é igual à do capacitor 2: q3 = q2 = 16,0 μC.

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29. A energia armazenada por um capacitor é dada por U = CV2/2, em que V é a diferença de potencial entre os terminais do capacitor. Vamos converter para joules o valor da energia dado no enunciado. Como 1 joule equivale a 1 watt por segundo, multiplicamos a energia em kW ∙ h por (103 W/kW)(3600 s/h) para obter 10 kW ∙ h = 3,6 × 107 J. Assim, C =

2U 2(3, 6 × 107 J) = = 72F. V2 (1000V) 2

30. Como V é o volume de ar, a energia armazenada, de acordo com as Eqs. 25-23 e 25-25, é dada por 1 1 U = uV = ε0 E 2V = (8,85× 10- 12 C 2/N⋅ m 2)(150 V m) 2(1, 00 m 3) 2 2 = 9,96 × 10- 8 J = 99,6 nJ.

31. PENSE A energia elétrica total é a soma das energias elétricas armazenadas nos dois capacitores. FORMULE A energia armazenada em um capacitor carregado é dada por

Como os dois capacitores estão ligados em paralelo, a diferença de potencial V entre as placas dos capacitores é a mesma, e a energia total é

ANALISE Substituindo os valores conhecidos, obtemos

APRENDA A energia armazenada em um capacitor é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor. 32. (a) A capacitância é C=

ε 0A d

=

(8,85 ×10 -12 C 2 /N ⋅m 2)(40 ×10 -4m 2) = 3,5 ×10 - 11F =35pF. 1,0× 10 - 3m

(b) q = CV = (35 pF)(600 V) = 2,1 × 10–8 C = 21 nC. (c) U = CV2/2 = (35 pF)(21 nC)2/2 = 6,3 × 10-6 J = 6,3 μJ. (d) E = V/d = (600 V)/(1,0 × 10–3 m) = 6,0 × 105 V/m = 0,60 MV/m. (e) A densidade de energia (energia por unidade de volume) é u=

6,3× 10- 6 J U = = 1,6 J m3 . Ad (40 × 10 4 m2 )(1,0×10-3 m)

33. Como E = q/4πε0R2 = V/R, temos 2

u=

2

 8000V  1 ε 2 1 ε V  1 3 E = 0   = (8,85× 10 -12 C2 /N⋅ m2 )   = 0,11 J/m . 2 0 2 R 2  0,050 m 