Resumo 9.3 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES AUTO-ADJUNTOS E CARACTERIZAÇÃO DOS OPERADORES ORTOGONAIS PDF

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Resumo capitulo 9.3 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES AUTO-ADJUNTOS E CARACTERIZAÇÃO DOS OPERADORES ORTOGONAIS...

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˜ DE OPERADORES AUTO-ADJUNTOS 9.3 DIAGONALIZAC ¸AO ˜ DOS OPERADORES ORTOGONAIS E CARACTERIZAC ¸AO O Teorema 9.2.4 define o comportamento , com rela¸c˜ao a diagonaliza¸c˜ao, dos operadores auto-adjuntos. Por exemplo, se T : V 7−→ V for auto-adjunto, dimV = n e T admitir n autovaloes distintos (base de autovetores), ent˜ao T e diagonaliz´avel e seus autovetores (dois a dois) ortogonais (que podem ser normalizados). T ´e diagonaliz´avel e admite uma base ortonormal e ´e caracter´ıstica de operadores auto-adjuntos. Assim, temos:

9.3.1 Teorema: Seja T : V 7−→ V um operador auto-adjunto. Ent˜ao existe uma base ortonormal de autovetores de T. 9.3.2 Exemplos Exemplo 1: Seja T : R3 7−→ R3 o operador linear cuja matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica ´e  −2 [T ] =  0 0

 0 0 6 1 1 6

H´a base ortonormal e autovetores para este operador? Observamos que T ´e um operador auto-adjunto pois a base canˆonica ´e ortonormal (em rela¸c˜ao ao produto interno canˆonico) e a matriz ´e sim´etrica (vide teorema 9.3.1). Calculando os autovalores e autovetores associados temos: Para λ1 = −2, v1 = (1, 0, 0), para λ2 = 7, v2 = (0, 1, 1) e para λ3 = 5, v3 = (0, 1, −1). Como estes autovetores provˆem de autovalores distintos e T ´e auto-adjunto , o teorema 9.2.4 garante que eles s˜ao ortogonais. Ent˜ao (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1) ´e uma base ortogonal de autovetores. Normalizando-os temos: 1 1 {(1, 0, 0), ( √ (0, 1, 1)), ( √ (0, 1, −1))} 2 2 Exemplo 1: Seja T : R3 7−→ R3 o operador linear cuja matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica ´e  2 [T ] =  1 1

 1 1 2 −1 −1 2

De modo an´alogo ao anterior, vemos que T ´e auto-adjunto e portanto tal base existe. Os autovalores e autovetores associados s˜ao: Para λ1 =0, os autovetores s˜ao do tipo (−y, y, y) e o subespa¸co destes vetores tem dimens˜ao 1. Para λ2 =3 os autovetores s˜ao do tipo (y +z, y, z) e o subespa¸co associado tem dimens˜ao 2.

1

Suponhamos que v1 =(-1, 1, 1) tenha sido tomado no primeiro subespa¸co. Como todos os autovetores no segundo s˜ao da forma (y+z ,y , z), observamos que o produto interno de (-1, 1, 1) com qualquer da forma (y+z, t, z) ´e 0. Mesmo sendo LI n˜ao ´e garantido que quaisquer dois vetores de forma (y+z, y, z) sejam ortogonais. Por exemplo , (1, 1, 0) e (1, 0, 1) s˜ao LI mas n˜ao ortogonais. Podemos , por´em, usar o vetor (1, 1, 0) e procurar outro vetor do tipo (y+z, y, z) que seja ortogonal a (1, 1, 0), isto ´e, o produto interno destes deve ser nulo. Isto ´e, y + z + y = 2y + z = 0ouz = −2y Um vetor que satisfa¸ca estas rela¸c˜oes deve ser do tipo (-y, y , -2y), por exemplo, (-1, 1, -2). Temos ent˜ao uma base {(-1, 1, 1), (1, 1, 0), (-1, 1, -2)}; normalizando temos: 1 1 1 {( √ (−1, 1, 1)), ( √ (1, 1, 0)), , ( √ (−1, 1, −2))} 3 2 6 Suponhamos queα seja uma base ortonormal qualquer de V e β a base ortonormal de autovetores dada pelo teorema 9.3.1. Observando [T ]αα e [T ]ββ , β α α α −1 .[T ] β .[I] α α temos [T ]αα = [I]αβ .[T ]ββ .[I]α β β = ([I] β ) β e portanto, [T ] α = ([I]β ) .[T ]β .[I] β pois α e β s˜ao ortonormais. ′

9.3.3 Teorema: Seja T : V 7−→ V um operador linear num espa¸co vetorial V com produto interno . Ent˜ao as condi¸c˜oes abaixo s˜ao equivalentes: a)T ´e ortogonal. b) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Isto ´e, se {v1 , ..., vn } ´e base ortonormal de V, ent˜ao {T v1 , ...., T vn } ´e uma base ortonormal. c) T preserva o produto interno, isto ´e , < T u, T v >=< u, v >. d) T preserva a norma, isto ´e kT vk = kvk. (Este item ´e uma caracteriza¸c˜ao geom´etrica dos operadores ortogonais)

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