Resumo - Oscilações mecânicas PDF

Preview

Summary

Resumo sobre o tema "Oscilações Mecânicas", abordado na disciplina de Física Óptica, Termologia e Fluídos....

Description

UNIVATES Física óptica e ondas Resumo de aula Oscilações Mecân nicas OBJETIVOS DE APRENDIZAGE EM DESSA UNIDADE: Nesse estudo, você deverá aprend der: 1 – como descrever oscilações em termos de suas propriedades físicas s: amplitude, período, frequência e frequência angular. 2 – como fazer cálculos com movim mento harmônico simples, um tipo importa ante de oscilação. 3 – Diferenciar oscilações em gera al dos osciladores harmônicos simples. 4 – aplicar os conceitos de energia a mecânica para analisar o MHS. 5 – Como aplicar os conceitos do MHS M a diferentes situações físicas. 6 – como analisar o movimento de dois tipos de MHS: pêndulo simples e oscilador massa-mola. 7 – Como analisar uma oscilação amortecida. a 8 – Quais as características das forças atuantes nas oscilações em geral. 9 – Quais as condições para produ uzir o efeito de ressonância. 0 – Características básicas das oscilações:  Movimentos que se repete em indefinidamente: vibração de um cristal de quartzo em um relógio; oscilação do pênd dulo de um relógio mecânico, vibrações so onoras produzidas por um trompete ou flauta, osc cilações produzidas pelos pistões no motor de um automóvel.  Um corpo que executa um m movimento periódico encontra-se sempre em uma posição de orça ou torque que o equilíbrio estável. Q uand do deslocado dessa posição, surge uma fo faz retornar à posição de equilíbrio. e  Quando o corpo atinge (no ovamente) esse ponto, entretanto, pelo fato o de haver acumulado energia cinética , ele o ultrapassa, parando em algum ponto do o outro lado e sendo novamente impelido para aa posição de equilíbrio.  Uma oscilação ocorre somente quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para sua posição de d equilíbrio. uradora pode depender do deslocamento xx do corpo oscilante de  Geralmente, a força restau diferentes modos.  O caso mais simples de oscilação (MHS) ocorre quando a força restauradora, Fx é diretamente proporcional ao deslocamento x a partir da posiçã ão de equilíbrio. Você consegue visualizar exemp plos? Então, anote-os... I. Osciladores G Energia (Revisar: Força; Energia Mecânica, Energia Cinética, Energia Potencial Gravitacional, Potencial Elástica; Trabalho e tran nsformações de energia).

Movimentos oscilatórios periódicos são aqueles que se repetem de tempos em tempos. Um oscilador periódico é qualquer r sistema que apresenta movimento oscilatório. Exemplos; batimentos cardíacos, estações do ano; relógio de pêndulo, vibrações de átomos no estado sólido, corrente alternada. onsidera-se que ocorreu uma oscilação com mpleta no momento em Para qualquer oscilador, co que ele acabou de passar por todos os pontos de sua trajetória por duas vezes, ou seja, é um movimento de vai-e-vem completo. Vejamos alguns exemplos de d osciladores periódicos mecânicos: Pêndulo simples

sistema massa-mola B

A

A

B’

lâmina vibrante B’ A

t=

A B

A

A A O Pêndulo descreverá uma oscilação completa quando, partindo do ponto A, percorrer toda a trajetória, até o ponto B, e retornar ao ponto A.

B O sistema massa -mola descreverá uma oscilação completa quando, partindo do ponto B’, percorrer toda a trajetória, até o ponto B, e retornar ao ponto B’.

A lâmina a vibrante descreverá uma oscilação completa quando, partindo do ponto B’, percorrer toda a trajetória, até o pontto B, e retornar ao ponto B’.

1

2. Energia dos osciladores Para que um oscilador passe a oscilar é necessário que lhe seja fornecida uma certa quantidade de energia: a. Pêndulo simples (veja figura ao lado): quando uma força desloca a massa suspensa de sua posição de equilíbrio (C) até a posição A, lhe é fornecida uma certa quantidade de energia potencial gravitacional (Eg), pois ele certamente ficará a uma altura ligeiramente acima da posição C. Quando a massa é abandonada, a quantidade de Eg que estava armazenada vai diminuindo e, na medida em que retorna à posição C, vai se transformando em energia de movimento - energia cinética Ec (Lembre: Eg=mgh e EC =

2

mv ). A massa suspensa retorna à 2

A

B

∆h C

sua posição de equilíbrio C com certa velocidade, na qual ainda possui energia (E C), que, a partir deste momento volta a se transformar gradativamente em energia potencial, até que novamente se encontra apenas na forma de Eg . Se não houver dissipação da energia a soma das energias Ec e E g (Energia Mecânica EM=Eg +Ec) permanece constante em qualquer ponto, portanto, quando a massa do pêndulo atinge a posição B, tem novamente toda a Eg que possuía em A. O ciclo de transformação de energia se repete a cada meia oscilação (de A para B, de B para A,...). Toda vez que ocorrem transformações de energia mecânica, estas se devem à existência de uma força. No caso do pêndulo a força gravitacional (P=m.g) é a responsável pelas oscilações e, portanto, pelas transformações de energia ocorridas. (FIGURA). b. Sistema massa-mola: a idéia das causas das oscilações ocorrerem é exatamente a mesma que no pêndulo simples, porém, se a oscilação ocorrer em uma linha horizontal, as energias envolvidas são a potencial elástica (Ee) e a energia cinética (Ec). (Lembre que Ee depende da deformação da mola, x, e da constante elástica da mola, k, de forma que Ee= k. x 2 ). 2 Analisemos a figura do oscilador massa-mola ao lado. Em I, o I sistema se encontra em sua posição de equilíbrio, C. Uma força fornece energia elástica ao sistema, esticando a mola até a II posição A, em II. Quando o sistema é abandonado a Ee armazenada começa a se transformar em Ec devido à força III exercida pela mola no bloco (a força elástica é dada por F=k. x) , pois está esticada (se não há dissipação a EM também IV permanece constante). Quando o sistema passa pela posição de equilíbrio toda a Ee se transformou em Ec, em (III), portanto o sistema permanece em movimento. Mas a partir desta posição a A C B E c, volta a se transformar em Ee gradativamente, devido novamente à força exercida pela mola que, então, está sendo comprimida, até que, em B (IV), toda a energia é novamente elástica, e assim sucessivamente. Generalizando: para qualquer oscilador considerado teremos ao menos duas energias alternando-se - a energia cinética e ao menos um tipo de energia potencial -, devido à existência de uma força (ou mais). OBS: Em situações macroscópicas reais a energia total do sistema vai gradativamente sendo reduzida por forças dissipativas, como a força de atrito, a resistência do ar, entre outras. O movimento oscilatório é, portanto, amortecido. Neste caso o período de oscilação praticamente não sofre alterações, mas a amplitude gradativamente diminui. 3. Características das oscilações Podemos identificar alguns aspectos que caracterizam e diferenciam as oscilações de um oscilador:

2

a) AMPLITUDE: (A) é a máxima distância do oscilador até o ponto de equilíbrio. Analisando a energia dos osciladores, nos exemplos dados acima, podemos perceber que a amplitude está diretamente relacionada com a quantidade de energia do oscilador. Se um oscilador oscila em torno de uma posição de equilíbrio C indo de A para B e vice-versa, A amplitude do movimento é o máximo deslocamento (lembre: deslocamento, não distância percorrida!) de A a C e de C a B. Se é um deslocamento é medido em metros no SI.

A

A A

C

A

C

A

B

A

b) PERÍODO (T): é o tempo gasto em uma oscilação completa (sair de A ir até B e retornar a A). Para osciladores periódicos o período é constante. Como é um intervalo de tempo, no SI é medido em segundos. c) FREQÜÊNCIA (f): é o número de oscilações realizadas pelo oscilador em uma unidade de tempo. Se a unidade é segundo, vemos quantas oscilações realiza em um segundo, se é minuto vemos em um minuto,... No SI sua unidade é oscilações por segundo: 1oscilação 1 -1 s 1hertz 1Hz . segundo s d) Relação entre período e freqüência: Se período é o tempo gasto em uma oscilação, para qualquer oscilador periódico, considerando o SI, ocorre uma oscilação em T segundos. Se freqüência é o número de oscilações que ocorrem em uma unidade de tempo, ainda no SI, ocorrem f oscilações em 1 segundo. Então, para obtermos a relação entre T e f, podemos montar a seguinte regra de três: 1 oscilação

_________ T segundos

f oscilações _________ 1s Resolvendo esta regra de três, obtemos a relação entre freqüência e período:

1 T

f=

4. De que depende o período de um pêndulo simples: Realizando-se experimentos simples com pêndulos, é possível perceber que: Mesmo mudando a massa suspensa no pêndulo, sem mudar seu comprimento, o período deste não se altera, desde que tenhamos PEQUENAS OSCILAÇÕES (deslocamento angular de ≈15° no máximo). Se o comprimento é alterado, o período muda de forma que T

l . Isto significa que se

l

aumenta x vezes o período aumenta x vezes. Considerando as forças que levam o movimento do pêndulo a ocorrer (força gravitacional) podemos realizar o seguinte raciocínio: Quando o campo gravitacional aumenta, a força aumenta na mesma proporção ( F g ⇒ pois P m.g ); A quantidade de energia transformada será maior para a mesma diferença de altura, pois o trabalho realizado será tanto maior quanto a força for maior (W=F.d.cosθ  W F ); Se a energia é maior, então a energia cinética máxima é maior e a velocidade máxima também será maior, mas não na mesma proporção, pois a energia cinética aumenta com o quadrado da velocidade (E c

1 2 m.v⇒ 2

Ec

v2⇒ v

E ). Então a velocidade aumentará a

raiz quadrada do número de vezes que a energia aumentou.

3

Se a velocidade máxima aumenta, a velocidade média aumenta na mesma proporção, então o tempo para que o oscilador percorra a trajetória da oscilação será menor (vm

d⇒ t t

1 ). vm

Portanto é razoável concluir que o período deve diminuir. Seguindo a seqüência de proporções verificamos que o período diminui com a raiz quadrada do aumento de g, ou seja: T

1 g

Isto significa que se temos um campo gravitacional x vezes maior que o da Terra, teremos um período x vezes menor neste local, e vice versa. l . A partir desta relação de proporção, ao medir o g

Juntando as duas proporções temos T

comprimento do pêndulo, l , o período do movimento, T, e se for conhecido o campo gravitacional local, encontramos a constante de proporcionalidade:

T 1

constante .

g Escolhendo um pêndulo qualquer e realizando as medidas podemos determinar o valor da constante, que será 2π. Assim o período do pêndulo simples seráT

2

l . g

5. De que depende o período de um oscilador massa-mola: Lembremos que a força exercida por uma mola é dada pela constante elástica da mola e pela elongação que foi causada: Fe=k∆x Quando a massa acoplada à mola aumenta, a força exercida pela mola não sofre alterações para as mesmas elongações. Pensando na segunda Lei de Newton, podemos concluir que as variações de velocidade provocadas na massa serão menores. Assim a velocidade média de oscilação também será menor e o período de oscilação aumenta. Realizando medidas simples

m. obtemos a seguinte proporcionalidade: T Mantendo-se a massa constante e mudando a mola do oscilador, verificamos que molas que têm maior constante elástica k, oscilam com um período menor, pois como a massa é a mesma, para uma mola mais rígida com a mesma elongação, teremos uma força maior. Se a força exercida sobre uma mesma massa é maior, pela segunda lei de Newton, teremos maiores variações de velocidade, portanto a velocidade média de oscilação aumenta e o período diminui. Realizandose medidas simples pode-se obter a seguinte proporcionalidade:T Juntando-se as duas proporcionalidades teremos:T

1 . k

m . k

Similarmente ao que fizemos para o pêndulo simples podemos determinar a constante de proporcionalidade, que é também 2π, portanto o período de um oscilador massa-mola é dado por:

T

2π m k

II - Movimento harmônico simples (MHS): movimento que ocorre sempre que uma força restauradora, que atua sobre uma partícula deslocada de sua posição de equilíbrio, é proporcional ao deslocamento. Isto quer dizer que o valor da força varia linearmente com o deslocamento x e o oscilador é chamado oscilador harmônico simples (MHS). Vamos trabalhar apenas um exemplo de MHS, o sistema massa-mola, no qual, como já vimos anteriormente, a força restauradora é dada, em módulo, por F=k. x. No MHS, a freqüência e o período independem da amplitude. Um objeto está em MHS se sua coordenada de posição varia senoidalmente com o tempo.

4

II-1. Equações Horárias no MHS 2.1. Equação horária da posição no MHS. Para que um sistema passe a oscilar é preciso que lhe seja fornecida uma certa quantidade de energia, levando-o a apresentar um deslocamento inicial a partir de sua posição de equilíbrio. Se o sistema for do tipo massa-mola, oscilando ao longo de um eixo horizontal x, a força deve ter, no mínimo, o mesmo módulo que a força exercida pela mola em cada posição, Fe=k.x, e a energia

k. x 2 armazenada será a energia potencial elástica, (Ee = 2 ).

-x m

xm

x=0

Eixo x

t=0

Quando o oscilador é abandonado, no instante t=0, a partir da posição x=x m , passa a oscilar de forma que, no instante t=T/4 passa pela posição x=0, no instante t=T/2 passa pela posição x=-x m, no instante t=3T/4 passa pela posição x=0 novamente e, por fim, quanto t=T retorna à posição x=xm. Podemos construir um gráfico de posição em função do tempo (x x t) para x=f(t): x +xm 0

t

-xm T/4

T/2

3T/4

T ...

Rebuscando os conhecimentos da trigonometria, vemos que este gráfico é muito semelhante ao da função co-seno: cos +1 0 -1 /2

Considerando que

3 /2

2

...

pode ser escrito em função de t, podemos considerar que: x(t)=f1(t)  x(t)=xm.cos onde =f 2(t)

Como encontrar a equação que descreve dois gráficos apresentados acima:

em função do tempo? Podemos comparar os t T

2 Fazendo uma regra de três teremos:

2 .t

.T

⇒

2 .t T 5

Para conferirmos se a relação corresponde à situação basta substituir t conforme no gráfico de posição e comparar a posição com a função co-seno para o ângulo obtido: t T

Equivale a

T/2

Equivale a

T/4

Equivale a

3T/4

Equivale a

2 .T T 2 T 2 . 2 T T 2 . 4 T 2 3T 2 . 3 4 T 2

Como os valores conferem para as respectivas posições nos dois gráficos, a função horária de posição para o MHS pode ser escrita como:

2 x=x máx.cos ( T

2 Para um mesmo MHS o valor T denominada frequência angular, :

.t

)

é sempre o mesmo, é uma constante deste movimento

2 T Se o oscilador é um sistema massa-mola, a frequência angular, determinada por:

2 T

mas T

2

m

2

então 2

⇒ m

, pode também ser

m

Assim, a função horária para a posição de um MHS é escrita como: x=xmáx.cos ( t) Podemos ainda acrescentar um termo para considerar que se pode começar a estudar o movimento oscilatório quando o OHS estiver em uma posição diferente de xm. Neste caso é preciso utilizar um ângulo de fase (ou constante de fase, ou defasagem), φ, que indica, em unidades de ângulo, o quanto o oscilador estaria deslocado da posição esperada para t=0, x m. equação horária para a posição de um OHS. x=xm.cos ( t+φ) Pode-se verificar que, se a defasagem é nula, no momento t=0 a posição é x(0)=x m , pois cos0°=1. Esta seria a condição inicial para a posição de um OHS em um movimento sem defasagem. 2.2. Equação horária da velocidade no MHS. A velocidade é definida como uma taxa de variação de posição no tempo:

r v

r dx dt 6

Se a posição da massa de um oscilador harmônico simples varia no tempo com a equação deduzida acima: x(t)=xmáx.cos ( t+φ) então para encontrar a função horária da velocidade basta derivar esta equação no tempo: d (x m .cos( . t dt

v(t)

))

Utilizando uma tabela de derivações obtemos:

v(t)

.x máx .sen ( .t

)

Se um oscilador inicia seu movimento na posição x=xmáx,, o deslocamento a partir da posição de equilíbrio é o máximo possível. A condição inicial para a velocidade é que seja nula em t=0, pois toda energia está sob a forma de energia potencial. Aplicando-se a condição inicial para a velocidade à equação acima, vemos que ela fica satisfeita, pois sen0°=0. Também é possível identificar o máximo valor da velocidade analisando a função horária obtida. Sempre que sen( t+φ)=1 a velocidade será máxima e igual a v=- .x m. Verifique que isso ocorre exatamente quando a posição é zero, onde sabemos que a energia potencial é mínima (E p=0) e a energia cinética é máxima. 2.3. Equação horária da aceleração no MHS. A aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade no tempo:

dv dt

a

d2x dt 2

Novamente poderemos utilizar uma tabela de derivações para encontrar a função horária da aceleração a partir da função horária da velocidade:

a(t)

dv

d

dt

dt

(

.x m.sen( . t

))

Assim a função horária da aceleração será:

2

a(t)

.x m.cos ( . t

)

Analisando a equação obtida, e lembrando que quando sen =1cos =0 e vice versa:

amáx

2

.xm .cos ( .t

neste caso v e

x

)

2

2

.xm .1

.xm a mín

2

.xm .cos ( .t

neste caso v

.x m.0 0

e

x m .1 x m

x

. x m. 1

)

2

.x m .0 0

.x m

x m .0 0

Vemos que a aceleração será máxima quando a posição for máxima (máximo deslocamento fornecerá a maior força e, conseqüentemente a maior aceleração), justamente nos locais em que a velocidade é nula! E quando a velocidade é máxima a aceleração é nula. Pense nisto... 3. Equações para energia no MHS 3.1. Equação para energia cinética A energia cinética é dada por: E

m.v 2 . Mas a velocidade varia no tempo conforme a 2

.xm .sen ( .t ) equação: v(t) Substituindo a equação horária da velocidade na equação da energia cinética, poderemos encontrar a energia cinética em qualquer instante, sem precisar calcular previamente o valor da velocidade:

7

m.(

Ec

)) 2

.xm .sen( .t 2 2

m.ω 2.x m .sen 2 ( .t 2

Ec

κ m

Lembremos que ω

)

então m.

2

=m.(

κ 2 m. k )= m m

k

Portanto

Ec

k.x m2 .sen 2 ( . t 2

)

3.2. Equação para energia potencial elástica k.x 2 A energia potencial elástica é dada por: E mas a posição do oscilador varia no tempo 2 ) conforme: x(t) x m.cos( .t Substituindo a equação horária da posição na equação da energia potencial elástica, poderemos encontrar a energia potencial elástica em qualquer instante, sem precisar calcular previamente o valor da posição no momento de interesse:

Ee

k.(x m.cos( .t 2

Ee

k....