Rijeseni zadaci vise matematike uz treci dio repetitorija boris apsen PDF

Preview

Summary

Prof. dr ing. Boris Apsen RIJESENI ZADACI VISE MATEMATIKE UZ TREe l DIO REPETITORIJ A Od dr ing. B. Apsena izašla su ova izdanja u nakladi Tehničke knjige, Zagreb: LOGARITAMSKO RACUNALO REPETITORIJ III izdanje 1952. godine VISE MATEMATIKE, prvi dio IV izdanje 1957. godine I izdanje 1950. godine V iz...

Description

Prof. dr ing. Boris Apsen RIJESENI ZADACI VISE MATEMATIKE UZ TREe l DIO REPETITORIJ A

Od dr ing. B. Apsena izašla su Zagreb:

ova izdanja

LOGARITAMSKO RACUNALO III izdanje 1952. godine IV izdanje 1957. godine V izdaRje 1962. godine vi izdanje 1967. godine VII izdanje 1969. godine REPETITORIJ ELEMENTARNE MATEMATIKE II III IV V VI VII VIII

I II III III

izdanje izdanje izdanje izdanje izdanje izdanje izdanje

1950. 1954. 1958. 1960. 1963. 1965. 1970.

godine godine godine godine godine godine godine

u

nakladi

Tehničke

knjige,

REPETITORIJ VISE MATEMATIKE, prvi dio I izdanje 1950. godine II izdanje 1963. godine III izdanje 1964. godine IV izdanje 1966. godine V izdanje 1969. godine REPETITORIJ VISE MATEMATIKE, drugi dio I II III IV V

izdanje izdanje izdanje izdanje izdanje

1952. 1958. 1964. 1966. 1970.

godine godine gddine godine godine

RIJESENI ZADACI

REPETITORIJ

VISE MATEMATGKE dio 1969. godine dio 1969. godine dio 1967. godine oko 1970. godine

VISE MATEMATIKE, treći dio I izdanje 1958. godine II izdanje 1963. godine III izdanje 1965. godine IV izdanje 1968. godine

Dr ing. BORIS APSEN

r

R?f~ŠENI

ZADACI

VIŠE MATEMATIKE UZ TREĆI DIO REPETITORIJA

VEKTORSKA ALGEBRA. ANALITICKA GEOMETRIJA U PROSTORU. FUNKCIJE DVIJU I VISE PROMJENLJIVIH. VISESTRUKI INTEGRALI I NJIHOVA PRIMJENA • NEPRAVI UITBGRALI. INTEGRALI OVISNI O PARAMETRU • EGZAKTNI D1FERENCIJALI I NJIHOVO INTEGRIRANJE • EGZAKTNE DIFERENCIJALNE JEDNAD2BE • EULEROV MULTIPLIKATOR • KRIVULJE U PRO. STORU. KRIVULJNI I PLOSNI INTEGRALI • VEZA IZMEĐU INTEGRALA RAZLICITIH TIPOVA. VEKTORSKA ANALIZA • ELEMENTI SKALARNOG I VEKTORSKOG POLJA • OPERATORSKI RACUN • SUSTAVI LINEARNIH 'D1FERENCIJALNIH JEDNAD2BI

TEHNICKA KNJIGA ZAGREB.

Tisak:

Izdavačko-!itamparsko preduzeće

"OBOD« -

Cetinje

PREDGOVOR

Nastojeći

da olakšam studij više matematike u prvom redu onim slušačima tehničkih i fakulteta, koji nemaju mogućnosti pohađati sva predavanja i vježbe iz matematike, a također i onim mnogobrojnim tehničkim radnicima, koji bi u vrijeme slobodno od terenskih radova htjelisamoučno proširiti svoje matematičko znanje, sastavio sam ovu zbirku 2adataka, u kojoj sam riješio i potanko rastumačio uz mnogobrojne slike preko 800 zadataka. Dok se većina slušača relativno lako snalazi u gradiVU, koje sam obradio u I i II dijelu Repetitorija, mnogo više teškoća čini razumjevanje i usvajanje gradiva III dijela, pa sam odlučio da kao prvi korak sastavim zbirku zadataka koji bi u stopu pratili gradivo tO& trećeg dijela, odgodivši sastavljanje zbirke rješenih zadataka za prva dva dijela Repetitorija. Sada radim' na toj zbirci. Većina zadataka je uzeta iz poznatih izvrsnih zbirki ruskih autora Bermana, Davidovića, Gintera i dr., pri čemu je pretežni dio tih zadataka potanko obrađen i riješen, dok manji dio . sadrži samo slične zadatke i rezultate za samostalno rješavanje tih zadataka. Očito je da rješavanje zadataka navedenih u zbirci pretpostavlja znanje gradiva I i II dijela Repetitorija i to diferencijalnog i integralnog računa, pri čemu su osobito česti osvrti na tipove integrala navedenih u II dijelu. Na početku svakog poglavlja navedene su formule prema kojima se rješavaju dotični zadaci. Formule su označene brojevima iz III dijela pa se dotično gradivo lako pronađe u Repetitoriju. Preporučam da se iza studija svakog pojedinog poglavlja III dijela odmah prouče i riješe pripadni zadaci iz zbirke. ' prirodoslovno-matematičkih

Na kraju izrazujem iskrenu zahvalnost članovima kolektiva Tehničke knjige i Grafič­ kog zavoda Hrvatske a u prvom redu uredniku ove knjige Ivanu Uremoviću za susretljivost i saradnj\l i meteru Emanuelu Dragojeviću koji pri slaganju veoma složenog gradiva nije štedio trud i znanje da knjiga bude što preglednija. Drage čitaoce molim da mi saopće svoje primjedbe i želje i upozore me na moguće pogreške koje je teško izbjeći kad sam svladavaš tako golem materijal. Moja adresa: Zagreb, Vončinina ul. 8. Zagreb, listopada 1966.

B. Apsen

SADRŽAJ

PREDGOVOR

5

I. VEKTORSKA ALGEBRA I NJENA PRIMJENA A. Vektori i operacije svektorima - formule . Zadaci 1 do 35 . . . . o . . . o. . o . B. Vektorske funkcije skalamog argumenta. DerivaciJe vektora po parametru. Primjene ukinematici - formule o . . . o . . . o Zadaci 36 do 47 . . . . . . . . . . . . . o o o o o o . o C. Analitička geometrija u prostoru uz primjenu vektorske metode formule o o o o .. .0 Zadaci 48 do 96

11 11 13

IL PLOHE - formule o o o A. Plohe drugog reda izražene kanonskim jednadžbam&. (Elipsoid. ID· perboloidi. Paraboloidi. Eliptični stožac.) Zadaci 97 do 110 B. Sfera (kuglina ploha) . Zadaci 111 do 121 o C. St'>Žaste i valjkaste plohe Zadaci 122 do 129 D. Općenite plohe Oo o o o Zadaci 130 do 138 o

60

26 27 32 34

62 62 71

o

III. FUNKCIJE DVIJU I VISE NEZAVISNIH PROMJENLJIVIH A. Parcijalne derivaciJe funkcija dviju i više nezavisnih promjenljivih ao Parcijalne derivacije prvog reda o Zadaci 139 do 147 o o o o o o . ~ bo Parcijalne derivacije viših redova Zadaci 148 do 156 o o o o o o . B. Totalni diferencijali fuilkcija ao Računanje totainih diferencijala prvog i viših redova - formule Zadaci 157 do 166 . o . o o . . '. . . o . o o . . o o o o bo Približno računanje pomoću totalnog diferencijala - formule Zadaci 167 do 176 o o o o o • o o o o o o o o o., o o o o C. Parcijalne derivacIje i diferencijali složenih funkciJa - formule Zadaci 177 do 190 o o o . o o o o o o o o o Do Zamjena promjenljivih u diferencijalnim izrazima Zadaci 191 do 201 o o o o o o o o o o o o o

.71 78 78 82 82

...

87 87 87 87 89 89 91 91 92 94 94 97 98 101 101

7

E. DerIvacUe fUDkcOa zadanih implicitno lparametarskl - formule o Zadaci 202 do 221 o o o . . o . . . . o . . o o o o . . o o o F. Taylorove l Mac Laurlnove formule za funkcije viie promjenljivih - formule o o . . . o . . . . . o . o o . o . . o o o o Zadaci 222 do 234 . . . . . o . . . o o o o o o o o G. Ekstremne vrl.JednoIItl funkol,ja dvi,ju I vile promjenl,jlvih a. Stacionarne tačke funkcije o o o o o o Zadaci 235 do 244 . . . . . . . o o b. Slobodni ekstremi funkcija - ' formule Zadaci 245 do 265 o . . o . . o o . G. Vezani (uvjetni) ekstremi funkcija formule Zadaci 266 do 285 o o . . . o . o o . o . do Najveće i najmanje vrijednosti funkCija u zadanim zatvorenim područjima .., o . • . o . o o o o . . . . o . Zadaci 286 do 292 . . . . o . . o o o o . o o o H. GeoJDetrUske prlm,lene parclja.lnih derivacIja fUDkclja . . o . o . . ao Singularne tačke ravnih krivulja - formule . o . o o o . . o . Zadaci 293 do 301 . o o . o o . o . . . . . o . . • o . . . o bo Ovojnice (anvelope) familija ravnih krivulja ovisnih o jednom parametru - formule . . . . o . . o . o Zadaci 302 do 315a . . o . . . o o . o o o . o • . o o o o o o

OO

104 105

112 113 118 118 118 121 122 131 132 142 142 147 147 147

150 150

VISESTRUKI INTEGRALI IV. DVOSTRUKI INTBGB.ALI . • • . . . ~ . . • . . ... o A. PromJena redosll,jeda Integrlran.ta u dvostrukim integralima i računan,je tih lntegrala - formule . o . o o . o o o . . Zadaci 316 do 361 o . o . . . . . . o o • o o B. Sredn,ja vrl,jednOBt dvostruko. lntegrala - formule . . o o o . " Zadaci 362 do 365 . . . . . . •. . o . o • . . o o . o . . o C. Zam,jena prom,jenl,jlvih u. dvoetruklm intecralima I računan,je tih lntecrala uz tu zamjenu - formule . . • . o . .~ . ao Dvostruki Integrali ti polarnim koordinatama o . . o . o Zadaci 366 do 388 . . . o o . . . . . o . . . , . . . b. Dvostruki Intelran u ellptičkim i opčenitim koordinatama Zadaci 389 do 396a . o . o . o . . . o . . o D. PrImJena dvostrukih lntecrala o . . o o o o o . o o a. Određivanje volumena zadanih tijela - formule Zadaci 397 do 422 . . " . . . . b. Ravni likovi . . • . o .'. o . o . o 1. Povriina ravnih likova - formule .Zadaci 423 do 434 o . . . . . o . 2. Masa nehomogenih ravnih likova - formule Zadaci 435 do 438 . . . . . . . . . o o . . . . o . . . . " 3. Statički momenti i koordinate tdišta ravnih likova - formule Zadaci 439 do M6 . • . . .'. . . 4. Momenti tromosti ravnih likova - formule Zadaci 447 do 456 . . . . . o . o . o . . c. Plohe ........... o . o o . o o . '0 1. Komplanacija (određivanje povrAine) ploha - formule Zadaci 457 do 473 • . o o o . . . . . . o . • • . . 2. Te!išta i momenti tromosti homogenih ploha - formule . o Zadaci 474 do 478 . o o .'. . . . . o o • . . . . • . , . o

'0

'0

8

•

•

158 158 158 179 179 181 181 181 192 192 196 196 196 206 206 207 210 210 212 212 216 216 220 220 220 231 232

~STBUKI

INTEGRALI . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • trostrukih Integra.la - formule . . . . . . . . . . . . . Za9aci 479 do 483 . • . • • .. • . • . . " • . . • • . • • . B. zamjena promjenljivih u trostrukim integralima i nhDaa.le. tih Intecrala uz tu zamjenu - formule .• Zadaci 484 do 495 . • • . • . . • . Co PrImjena trostrukih Iniepala . . . o . a. Određivanje obujma tijela - formule Zadaci 496 do 512 • . . . . • . . b. Određivanje mase nehomogenih tjelesa - formule Zadaci 513 do 519 . . . • • • • . • • • • o . . c. Određivanje statičkih momenata tjelesa - formule Zadaci 520 do 522 o • . . . . . . d. Određivanje telišta tjelesa - formule . o ... . . . Zadaci 523 do 534 . . • o . . . . . . . . . . . e. Određivanje momenata tromosti tjeleSa - formule Zadaci 535 do 546 o . . . . . . . . . . A.

Rač1llllUlje

VJ. NEPRAVI VlSESTBUKI INTEGRALI A. Nepravi dvostruki integraIi . Zadaci 547 do 557 . . B. Nepravi trostrUki IntegraIt Zadaci 558 do 561 . . VIL

formule

237 237 237

23t 240245 24~

245 254 254 25B

258' 25t 280

267 268 276

276 276 282 282:

BRIVIRANJB I INTEGRIRANJE INTEGRALA PO PARAMBTBUformule ........ o ..................... . Zadaci 562 do 568 . . . . . . • • . . . . .

285 285

VUI. EGZAKTNI DIFERENCUALI I NJmOVO INTEGRIRANJE - formule Zadaci 569 do 581 . . . . • . • • . • . . . o. . . • . . .

28t 290'

GZAKTNE DIFBRENCUALNE JEDNADZBB. EULEROV MULTI..-.............TOR - formule . . Zadaci 582 do 595 • . . . • • • o • . . o . •

294 29&

'0

•

•

•

•

•

•

•

300

X. KRIVULJE U ,PROSTORU . . . A. Jednadlbe tangente inonnalne ravnine- formule B. DUU1na luka krivuUe - formule . . . . . .'. . . C. JednadlbaoaJmlacione ravnine u taal ~ parametra to D. Elementi krlvuUe u wki parametra so - formule . . . . . E. Prostorna· krivulja zadana u vektonkom obliku - formule F. Primjena uklnematlci - formule . . . . . . . . . , . Zadaci 596 do 627 . . . . . . . . . . . . . . . . • .

·300

301 301 30% 302 302'

Đ

XI. KRIVULJNI (LINIJSKI) INTEGRAL! . . . . . . . . . • . . A. KrIvuljni Iniepali po du1jlni 8 krlvuUe k - formule a. Računanje krivuljnih integraIa . . . • Zadaci 628 do 843 . • • . . • . • ~. b. Primjena krivuljnih integrala uzetih po duljini krivulje Zadaci 644 do 660 . . . . . . . . . . . . . B. KrlvuUni Intepall po koordinatama - formule . . . '. a. Računanje krivuljnih integrala . • . . . . . . . . Zadaci 661 do 678 • • . • • • : • • • o • . • . b. Primjena. Određivanje radnje sile uzdu! krivuijek Zadaci 679 do 685 . . ; . . . . . . . . . . . . •.

•

303: 32(); .'

320 322: 322

32'1 327 334

335·

335342 342

9

\J XI

C. Krivulini iniegrali izraza koji predočuju totalne' diferenciJa]e neklIl funkcija - formule . . . . . . Zadaci 586 do '696 . . . . . • . . . . . .

347 348

PLOSNI INTEGRALI , . . . . . . . . . A. Plošni integrali po površini S plohe - formule Zadaci 697 do 704 B. PlOŠni integrali po koordinatama - formule Zadaci 705 do 717

351 351 352 356 356

o

o

•

•

'.

o

o

o

o

o

•

•

o

•

•

o

o

o

o

o

.,

o

o

o

•

VEZA IZMEDU INTEGRALA RAZLICITIH TIPOVA • GREENOVA FORMULA Zadaci 718 do 729

366 366

V STOKESOVA FORMULA Zadaci 730 do 732

374 375

o

" FORMULA GREEN-GAUS-OSTROGRADSKOG Zadaci 733 do 745 o

•

o

•

o

o

•

o

o

•

379 379

o

VEKTORSKA ANALIZA. ELEMENTI TEORIJE POLJA XVI~~ALARNO POLJE -

A Gradijent skalarnog polJa Zadaci 746 do 760 B. Usmjerena derivacija 'o Zadaci 761 do 777 C. Nivo-plohe polja Zadaci 778 do 780 D. Kut dviju ploha Zadaci 781 do 785

o

o

385 386 386

formule

o

o

o

o

o

o

o,

390

390 395 395 39.5 395

o

XVII. VEKTORSKO POLJE A. Vektorske krivulJe;... formule Zadaci 786 do 789 B. Divergencija i rotor vektorskoc polja, odnosno polja sUa. Selenoidaina i potencijalna polja - formule . . Zadaci 790 do 797 C. Odredivanje potencijala "konzenativnih polja. SUDice l ~a polja SUa - formule . Zadaci 798 do 811 . . . . . . . . . . . . • . . D. talni tok i cirkulacija vektonkoc polja - formule a. Ravno vektorsko polje . . . . • . . .'. . . . . . Zadaci 812 do 817 . . . b. Prostorno vektorsko polje Zadaci 818 do 837 . . .

(j

o

•

•

o

•

•

•

•

o

o

•

o

•

o

o

o

o

•

•

•

•

•

:

o

o

•

o

o

o

•

•

•

•

•

•

•

•

•

o

•

•

o

•

•

•

o

•

•

"

•

o

o

•

•

•

•

o

o

o

•

•

•

•

•

•

400

•

o

o

•

•

•

•

•

401 404

•

404

~

410 411 411

413 413 424 426

, XVID. OPERATORSKI RACUN - formule Zadaci 838 do 848 .

e

o

•

•

•

SUSTAVI LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNADZBI S KON-, STANTNIM KOEFICIJENTIMA • . . . . .'. . . . . . . . . . . . . Zadac~ 849 do 866 .

10

o

•

•

•

398 398 399

•

•

•

•

.'.

'.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

429 429

I. VEKTORSKA ALGEBRA I NJENA PRIMJENA

A. Vektori i operacije svektorima Formule (1)

V=V'V o

(2)

T

+ VXl + yi + Zi

=

(3)

X

cosex=r

y.

(4)

cos~=­ T

z cosY=r cos· ex

Skalami produkt

+ cos' ~ + COSi Y =

(~)

1

;b

--

a

. ; ; = a b cos cp

bil = b cos cp = ab = ag b;

ab = a cos cp akoje

;.lb

~11)

=

-- =

ab -b-

-bo a

(12)

(l2b) . (13) (IS)

11

(16)

(17) (18)

Vektorski produkt; x

;b

cib .

(19)

a b sin !JI = S paralelograma

(20)

COS !ji

=

b

Ia x b I =

-;;xb1.-;;i ;xb1.b; I; x b I = -; x

(20)'

a b, ako je -;;

b = O ako

1. b

(22)

b kolinearni

su -; i

(23)

axa=O

(24) (25) (26) (26a)

-i j

;xb=

a", a1/ a. b

'"

sin !ji

=

k

b/I

(27a)

b.

I; X b"1

(28)

ab

Višestruki produkti vektora a)

(;b) -; == (a b cos !JI) -; = vektor.

b) Trostruki skalarm produkt (-; x (; x

b) -; =

b) -; =

a b sin !JI •. e cos ljI = V paralelopipeda

O uvjet komplanarnosti vektora ;;

b i -;

(30) (30) (30a)

12

(; x

ih';;=

a", b",

all bil

a. b.

c'"

cII

C.

(31)

(; xf)7= (h x 7); = (;x ;)1 = (~17) = ;1-;

(3la)

e) Trostruki vektorski produkt

; x (b x -;)

=

b(ac) - c(ab)

(32)

;(b~\

(32a)

(bd) -(b7) (;id).

(33)

• (; x b) x -; = b(;;-;) -

d) Cetverostruki skalarni produkt

(-; x b) (-; x d) = (-;-;) e) Cetverostruki vektorski produkt

. (34)

(39)'

vektor dodijeljen pravcu x - Xl Y - YI Z - Zt -a- = -b- = -c(47),

.;=A7+B7+Ck vektor normale za ravninu A

X

+ By + Cz + D = O. Zadaci

l. Vektori A B = a i A D

=b

čine

dvije stranice paralelograma AB CD. Izrazi

pomoću

a i b vektore M A, M B, M C i M D, gdje je M sjeciite dijagonala paralelograma. Prema slici 1:

•

S

·A~;;:-·-I1--0----="C

Slika l.

AC=a+b, DB=a-b pa jo

--,-

MA=

;+b

--2-·-'

-MB

-

---a-b

= --r-r'.

AM= ;+~, 2 -MD=

-;-b

b-;

--2-=--2-'

13

2. Tri vektora A B posebno

pomoću

= c, B

C

=a

i CA

=

b

čine

stranice 6. A B C. Izrazi

pomoću

a, b i c i

a i b težišnice trokuta: A M, B N iC P.

Kako je prema slici 2.

BM=~ 2 iz 6. A Al B slijedi -->

a

-+

AM=c+

Z

ili iz 6.AAIC: -~

(~a)

AAl=-b+ Z

·

Iz 6. B C N slijedi:

e /:-------;.c

A~--------~------~~B

B

Slika 2.

Slika 3.
...