S sem3 Sesión 1 - Apuntes Base de datos para concurso PDF

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Estadística InferencialIntervalo de confianza diferencia de MediasEJERCICIOS EXPLICATIVOS En un estudio para determinar el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B con desviaciones estándar de 15 y 10 soles respectivamente. Se toma una muestra al azar de 200 hogares de A arrojando un g...

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Estadística Inferencial Intervalo de confianza diferencia de Medias EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. En un estudio para determinar el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B con desviaciones estándar de 15 y 10 soles respectivamente. Se toma una muestra al azar de 200 hogares de A arrojando un gasto medio de S/. Una muestra al azar de 180 hogares de la ciudad B da un gasto medio de 235. a) Determine un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia del gasto medio en las ciudades A y B. b) ¿Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? 2. En un proceso químico, se comparan dos catalizadores para verificar su efecto en el resultado de la reacción del proceso. Se preparó una muestra de 12 procesos utilizando el catalizador 1 y una de 10 con el catalizador 2, en el primer caso se obtuvo un rendimiento promedio de 85 con una desviación estándar muestral de 4, mientras que el promedio para la segunda muestra fue 81 y la desviación estándar muestral de 5. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias poblacionales, suponiendo que las poblaciones están distribuidas aproximadamente en forma normal, con varianzas iguales. 3. Se registraron los siguientes datos en días, que representan los tiempos de recuperación de pacientes tratados aleatoriamente con dos medicamentos para aliviarlos de graves infecciones en la vesícula: Medicamento 1 Medicamento 2 𝑛1 = 14 𝑛2 = 14  2 =19 𝑋 1 =17 𝑋 2 𝑆2 2 = 1.8 𝑆1 = 1.5 Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia µ 1-µ 2 en el tiempo promedio de recuperación para los medicamentos, suponiendo poblaciones normales con varianzas diferentes.

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Estadística Inferencial

EJERCICIOS DOMICILIARIOS Taller grupal 1. Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de focos, si una muestra de 40 focos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas y una muestra de 50 focos de otra marca dieron una duración media de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente. Taller grupal 2. La siguiente tabla presenta los resultados de dos muestras aleatorias para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos. Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas desconocidas e iguales. VARIABLES MARCA A MARCA B 𝑛 10 8 3.1 2.7 𝑥 0.5 0.7 𝒔 a) construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas. b) Según los resultados, existe suficiente evidencia para afirmar que el nivel de nicotina de ambas marcas es diferente? 3. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se seleccionan 8 ejemplares y cada uno de éstos se somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado: Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados. P. ESTÁNDAR P. NUEVO

446 462

401 448

476 435

421 465

411 458

456 427

427 468

445 447

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95 y 99% para la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados. Rpta: Respuestas: 95%  - 25.65 ≤ μ1 − μ2 ≤ 9.49 99%  - 32.16 ≤ μ1 − μ2 ≤ 15.99

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Estadística Inferencial

EJERCICIOS RESUELTO 1. De todos los Estudiantes de UTP se muestrea a 7 alumnos del curso de Estadística y a 8 alumnos del Curso de Física encontrándose en promedio de notas en la primera práctica calificada (1PC) un 12 y 10.125 respectivamente. Se sabe que de todos los estudiantes de ambos cursos tiene como varianza de sus notas un 1.44 y 2.1 en dicha práctica. calcular el intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de medias entre notas Estadística y Física de la 1PC: Asumir que las notas de ambos cursos siguen una distribución normal. POBLACIÓN

1.Física σ1 2 = 1.44 (conocido)

2. Estadística 𝜎2 2 = 2.1 (𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜)

𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1 − 𝛼 = 0.95 𝛼 = 0.05 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎: 𝑍(1−0.05 = 1.96 2

MUESTRA

1. Física 𝑛1 =30 𝑋1 =12

)

Estadística 𝑛2 = 25 𝑋2 = 11

reeemplzando los datos:

𝑋1 − 𝑋2 − 𝑍(1−𝛼 ) ⋅ √ 2

𝜎1 2 𝜎2 2 𝜎1 2 𝜎2 2   + + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑋1 − 𝑋2 + 𝑍(1−𝛼 ) ⋅ √ 𝑛1 𝑛1 𝑛2 𝑛2 2

12 − 11 − 1.96 ⋅ √

1.44 2.1 1.44 2.1 + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 12 − 11 + 1.96 ⋅ √ + 25 30 25 30 0.288 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 1.712 𝜇1 − 𝜇2 ∈ [0.288 ; 1.712]

Interpretación: con el 95% de confianza, la verdadera diferencia de la nota media entre Estadística y Física se encuentra entre 0.288 y 1.712 NOTA: como el cero no está contenido en dicho intervalo se puede decir que la verdadera nota entre estos cursos es diferente 2. Un alumno de UTP ha estudiado dos muestras de cigarrillos para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos de tamaño 10 en el primero y 8 en el segundo halló una media de 3.1 y 2.7 y una desviación estándar de 0.5 y 0.7 respectivamente. Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas iguales. Problema adaptado a) construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia real de nicotina de las dos marcas. b) ¿Es diferente el contenido medio de nicotina en ambas marcas de cigarro? 3

Estadística Inferencial

POBLACIÓN

1.Marca 1 σ1 2 = ¿? (desconocido)

2. Marca 2 𝜎2 2 = ¿? (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜)

𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1 − 𝛼 = 0.95 𝛼 = 0.05 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎: 𝑇(1−𝛼, 𝑔𝑙) 2

𝑔𝑙 = 10 + 8 − 2  𝑇(0.975, 16)=2.21

MUESTRA

1. Marca 1 𝑛1 =10  𝑋1 =3.1 𝑆1 = 0.5 1 −𝑋2 ) − 𝑇 𝛼 (𝑋 (1− , 2

𝑆𝑃 2 =

2. Marca 2 𝑛2 = 8 𝑋2 = 2.7 𝑆2 = 0.7 √𝑆𝑃 2 ( 𝑔𝑙)

reemplazando los datos:

1 1 1 1 + ) ≤ 𝝁 𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑇(1−𝛼, 𝑔𝑙) √𝑆𝑃 2 ( + ) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 2

(𝑛1 − 1)𝑆1 2 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2

=

(10 − 1)0.52 + (8 − 1)0.72 = 0.355 10 + 8 − 2

1 1 1 1 3.1 − 2.7 − 2.21 ⋅ √0.355 ( + ) ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁 𝟐 ≤ 3.1 − 2.7 + 2.21 ⋅ √0.355 ( + ) 8 10 10 8 −0.225 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 1.025

𝜇1 − 𝜇2 ∈ [−0.225 ; 1.025] Interpretación: Interpretación: con el 95% de confianza, la verdadera diferencia del contenido medio de nicotina de las dos marcas. encuentra entre -0,225 y 1.025 NOTA: como el cero si está contenido en dicho intervalo se puede decir que del contenido medio de nicotina de las dos marcas es igual

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