S04. Función inversa - Ejercicios resueltos para tu preparacion de examenes. Espero ayudarte con este PDF

Preview

Summary

Ejercicios resueltos para tu preparacion de examenes. Espero ayudarte con este aporte....

Description

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 FUNCIÓN INYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA B Semana 04

Sesión 07

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1 a) f ( f  (x) )  x , para x  [0 , 9 ] ,

b) f 1 ( f (x) )  x , para x  [  3 , 0] . 1. Dada la función 𝑓 = {(11; 3), (6; 5), (−2; 4), (1; 1), (2; 4)} es f una función inyectiva? Justifica tu respuesta.

9. Determina la función inversa de la función f (x )  4  3x , x  [  2 , 3] . a) f ( f  1(x) )  x ,

Compruebe que:

2. Sea

1 b) f  ( f (x) )  x .

𝑓 = {(1; 3), (𝑎 + 2𝑏; 3), (−5; 4), (−2; 7), (3𝑎 − 2𝑏; 4)}

una función inyectiva. Calcula a.b

10. Sea f una función inyectiva que satisface 1 que f (f (a) )  f (8) , f  (8)  3 . Halle los valores de a y de N , siendo

3. Demuestra que toda función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 es inyectiva

N  4  f (a)  2  f 1 ( f (5)) .

4. Si una función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 es inyectiva . ¿Qué condición debe presentar el dominio? Justifica tu respuesta. 5. Demuestra que la función 𝑓(𝑥) = inyectiva

2𝑥+3 3𝑥+2

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Es inyectiva la función f   (1 ; 3) ,

es

(2 ; 5) , (4 ; 7) , (6 ; 10) , (8 ; 0) ? Si lo es, halle la función inversa f 1 y

6. Sea f la función

las funciones

f   (1 ; 3) , (2 ;  5) ,

, (3 ; 7) , (4 ; 9) , (5 ; 8)  . ¿Existe la

1

1 y f 

.

2. Si f (x)  2x  5 , x  [1 , 6 ,

función inversa f 1 ? , ¿por qué? Si existen, halle las funciones f 1 , 1 1 . y

f

f

determina la función inversa de f . . 3. Demuestra que 𝑓(𝑥) =

f

𝑥+2 2−𝑥

es inyectiva

4. ¿Por qué la función f  (2; 8), (4;  6),

7. Determina la función inversa de la función f (x)  2  3 x  4 ,x  [3 , 12 ] .

(6 ;  2) , (5 ; 4) , (1 ; 8)  no tiene función inversa?

1 Compruebe que f ( f  (a) )  a .

Determina la relación inversa f 1 . 2

8. Indica la función inversa de f (x)  x , x  [  3 , 0] . Compruebe que

5. Indica la función inversa de la función : f (x)  ( x  3) / (x  1) , x  [ 2 , 7 ]

1

Matemática para Ingenieros 1

6. Halle la función inversa de la función

f (x)  2 

5. Halle la función inversa de la función f :

f (x)  x2  6x  11, x  [0, 3] , y

5  x ,x  [  4 , 5 .

1 Compruebe que f (f  (x) )  x , para

pruebe que f

x [ 1 , 2 .

1

( f (x) )  x , x [0, 3] .

6. Halle el menor número real a para que la

7. Dada la función inyectiva

función f (x)  x 2  4x  3 , x  [ a , 5] ,

2

f (x)  x ,

x  [0, 3] , halle la función inversa f 1 .

es inyectiva. Halle la función f be que en este dominio: f

Grafique en un mismo plano ambas funciones. ¿Qué relación geométrica encuentra entre ellas?

1

1

y prue-

( f (x) )  x .

7. Sea f   (1 ; 3) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ;

; 2) , (5 ; 8) , (9 ; 1) , (10 ;  4) ,

8. Dada la función inyectiva f (x)  2  x para x  [0, 9 ] , halle la función inversa

una función inyectiva . Encuentre las fun1 1 ciones f  y ( f 

f 1 . Grafíquelas en un mismo plano y

1

.

compárelas. 8. Sean f   (1 ; 3) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ;

9. Sean f   (1 ; 3) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ;

; 2) ,(5 ; 8) , (9 ; 1) , (10 ; 4) ,

;  2) ,(5 ;  8) , (9 ; 1) , (10 ;  4)  , y

g(x)  2 x  10

, x  [  6 , 6] , dos funciones inyectivas. Halle las funciones

g(x)  2x  10 , x  [  6 , 6] , dos Funciones inyectivas. Halle las funciones

f

y g

1

compuestas g

1 y (f 

.

10. Sean f   (1 ; 3) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ;

9. Si f (x)  (x  3)2  1 , x  [ 1, 5] ,

;  2) ,(5 ;  8) , (9 ; 1) , (10 ; 4)  , y

g(x)  2 x  10 , x  [  2, 2  , ¿exis-

g(x)  2 x  10 , x  [  6 , 6] . 1 Halle las funciones f  y ( g .

ten las funciones inversas de f y de g ? Existe la función inversa de la función suma ( f  g) ? De ser así, halle la función inversa de ( f  g) .

TAREA DOMICILIARIA 1. Demuestre que la función f tal que

f (x) 

1

10. Pruebe que, para x [3, 6] , la función

2

(x  1)  5 , x  [ 2, 4 ] , no

tiene función inversa f gráfica.

1

f (x)  ( x  2) / (x  1) es inyectiva. Si a es el elemento entero que pertenece a

. Trace su

Dom( f

2. Halle la función inversa de la función f: f (x)  (2x  1) / (x  1) ,x  [ 0 , 11 .

f

1

1

) , halle los valores de a , de

( 7 / 3) , y la función inversa f

1

.

1 Compruebe que f  ( f (x) )  x .

RESPUESTAS (TAREA DOMICILIARIA)

3. Sea g(x)  2x  8 , x  [  10, 6] . Halle las funciones g 1 y ( g1

1

.

1. La función f no es inyectiva pues al menos contiene los elementos (0 ; 6) y (2 ; 6) que tienen sus segundas componentes iguales.

4. Sea f una función inyectiva tal que :

f ( f (m) )  f (5) , f 1 (5 )  11 , halle el valor de m así como de A : A  6.f (m)  3. f ( f

Por lo tanto f no tiene función inversa.

1

( 4) ) .

2

Matemática para Ingenieros 1

1

 ( f  g) (x)  2 

10.

a2 ; f f

1

x  1 , para x    1, 8] .

( 7 / 3)  13 / 4 ,

1

(x)  ( x  2) / (x  1) , para x [ 8 / 5 ; 5 / 2 ] .

x 1 1 (x)  , x  [ 1 , 7 / 4 2. f 2x

1 3. g  (x)  (x  8) / 2, x  [  28 , 4] .

( g 1

1

 (x  24) / 4 ,

x  [  28 , 0] . 4. m  11, A  18 . 5.

1 Sí existe función inversa f  :

f 1 (x)  3 

a  2 ; f 1 (x)  2  x  [  7, 2] .

6.

7.

x  2 , x  [ 2, 11] . x  7 , para

f 1   (3; 1), (5; 2), (2 ; 3), ( 2 ; 4), , ( 8 ; 5) , (1 ; 9) , (  4 ; 10)  1

f

8.

g

1

1





 (3; 9) , (2; 1) , (5; 3) , , ( 8 ; 2)  ( 3;  8) , ( 5;  6) , ( 2 ;

;  4) , ( 2 ;  2) , ( 8 ; 0) }

f

1





; 3) , ( 4 ; 4 ) , (1; 5) , ,( 11 / 2 ; 9) , (3 ; 10) }

9. La función f no tiene función inversa porque no es inyectiva. En cambio, las funciones g y ( f  g) sí tienen función inversa:

g 1 (x)  (x  5) / 2 , x  [  9 , 1 2

( f  g) (x)  (x  2)  1 , para los x  [  1, 2 , 3

Matemática para Ingenieros 1...