apuntes de ejes con ejercicios resueltos PDF

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**1) Sobre el eje de la figura están montados un engranaje recto G y una polea P. A la polea se le suministra potencia por medio de una correa plana y se toma la potencia del eje por medio del engranaje. El eje está soportado por dos cojinetes rígidos de bolas. Se ha establecido la siguiente informa...

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ejes de transmisión

1) Sobre el eje de la figura están montados un engranaje recto G y una polea P. A la polea se le suministra potencia por medio de una correa plana y se toma la potencia del eje por medio del engranaje. El eje está soportado por dos cojinetes rígidos de bolas. Se ha establecido la siguiente información: - Caballos a transmitir:10 HP.(En condiciones de carga uniforme) - Material para el eje: Acero AISI 1035,laminado en caliente. Límite de fluencia 270 MPa, límite de rotura 500 MPa. - Diámetro de la polea: 250 mm. - Diámetro de paso del engranaje: 250 mm. - Peso de la polea: P = 135 N. - Peso del engranaje: G = 135 N. - Relación de tensiones en la polea: T1 /T2 = 2´5. - Angulo de presión en el engranaje: ö = 20º. - Velocidad de rotación del eje: n = 900 rpm. La polea y el engranaje se montan con un ligero ajuste de presión y se acuñan al eje. Las fuerzas en la correa son perpendiculares al papel. La fuerza tangencial que actúa sobre el engranaje es Wt, perpendicular al plano del papel, y la radial Wr . Se pide proyectar el eje a resistencia mecánica, suponiendo un coeficiente de seguridad de n = 1´5, confiabilidad del 90 % y vida infinita. Estudiar también las deformaciones a flexión.

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Proyectar el eje consiste en determinar su diámetro: Aplicando la ecuación de Soderberg:

Procedimiento: I) DETERMINAR LAS ACCIONES QUE SE EJERCEN SOBRE EL EJE: - Acciones del engranaje. - Acciones de la polea. - Reacciones en cojinetes. II) AL PLANTEAR VIDA INFINITA, EFECTUAR EL DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA: - Como el eje es de sección variable, referir el cálculo para las secciones más desfavorables en cuanto a las solicitaciones actuantes. I) DETERMINAR LAS ACCIONES SOBRE EL EJE: Estas serán debidas a: POLEA 6666 EJE:

Siendo: N = Potencia = 10 HP = 10.746 = 7460 W. DP= Diámetro de la polea = 250 mm.= 250.10-3 m. ù = Velocidad angular = 900 rpm. = (900.2.ð)/60 = 94´25 rad/s. Sustituyendo y operando: T 1 = 1055´37 N. T 2 = 422´15 N. La fuerza total será:T1 + T2 = 1477´5 N. 116

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T = Momento torsor sobre el eje = N/ù = 79´15 N.m. ENGRANAJE 6666 EJE: El diagrama de sólido libre del engrane será:

Siendo: T = Momento torsor del eje = 79´15.

Sustituyendo en la ecuación anterior:

Conocidas las acciones del engranaje y de la polea, nos resta determinar las reacciones en los 117

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cojinetes para pasar a efectuar los diagramas de momentos flectores. REACCIONES EN LOS COJINETES: Como las acciones están contenidas en dos planos perpendiculares, consideraremos de forma independiente las acciones en cada uno de éstos planos.

PLANO Z = 0:

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Sustituyendo y operando: RBX = - 2532´9 N. RAX = 422´14 N. PLANO X = 0:

Sustituyendo y operando: RBZ = 385´24 N. RAZ = 115´24 N. 119

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CONCLUSION: A la vista de los diagramas de momentos flectores obtenidos anteriormente las secciones más desfavorables que se presentan en el eje (sometidas a mayor esfuerzo de flexión originado por el momento flector) serán: * SECCION DEL ENGRANAJE. * SECCION DEL COJINETE DERECHO. Habrá que efectuar el diseño por resistencia a la fatiga para dichas secciones y determinar en cuál la solución es más conservativa. I) SECCION ENGRANAJE:

Siendo: n = Coeficiente de seguridad.= 1´5. T = Momento torsor.

M = Momento flector:

Sy = Resistencia de fluencia. = Para el acero AISI 1035 laminado en caliente: = 270 MPa. Su = Resistencia última de rotura. = Para el acero AISI 1035 laminado en caliente: = 500 MPa. Se = Resistencia a la fatiga.

S’e= Resistencia a la fatiga de una probeta. 120

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= 0´50.Su (Al ser Su # 1400 MPa). = 0´50.500 = 250 MPa. Ka = Factor de superficie. = a.Su b Viniendo tabulados los valores de a y b en la tabla, para laminado en caliente: a = 57´7 b = - 0´718 Ka = 57´7.500-0´718 = 0´67. Kb , Factor de tamaño = 0´8 (Supuesto por el proyectista al desconocerse el diámetro). Kc, Factor de carga. = 1 (Para flexión). Kd, Factor de confiabilidad = 0,897 (para una confiabilidad del 90 %) Ke = Factor de concentración de tensiones. = Habrá que considerar: 1) CAMBIO DE SECCION: Kf1 Y 2) CHAVETERO: Kf2

1) CAMBIO DE SECCION: Considerando: BARRA DE SECCION CIRCULAR EN FLEXION CON ESTRECHAMIENTO Y ENTALLE:

Como:

Suponiendo una sensibilidad a la entalla de q = 1,obtendremos valores conservativos, resultará: Kf1 = 1´8. 2) CHAVETERO: 121

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Si se considera una chaveta en bajada (sled-runner): Kf2 = 1´3. Por tanto:

Aplicando la ecuación de Soderberg:

CONCLUSION:

d = 2´71.10-2 m.

Este valor corresponderá con el diámetro que ha de tener el eje, considerando efectuado el cálculo para la sección del eje donde se encuentra localizada el engranaje.

II) SECCION COJINETE DERECHO:

Procediendo de forma similar a la sección anterior: n = 1´5. T = 79´15 N.m. 122

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M = Momento flector.

Sy = 270 MPa. Su = 500 MPa. Se = Resistencia a la fatiga.

S’e= 250 MPa. Ka = 0´67. Kb = 0´8. Kc = 1. Kd = 0´897. Ke = Factor de concentración de tensiones. = Habrá que considerar: 1) CAMBIO DE SECCIÓN: Kf

1) CAMBIO DE SECCIÓN: Considerando: BARRA DE SECCIÓN CIRCULAR EN FLEXIÓN CON ESTRECHAMIENTO Y ENTALLE:

Como:

Suponiendo una sensibilidad a la entalla de q = 1,obtendremos valores conservativos, resultará: Kf = 1´8.Por tanto:

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Aplicando la ecuación de Soderberg:

CONCLUSION:

d = 3´71.10-2 m .38 mm

Este valor corresponderá con el diámetro que ha de tener el eje, considerando efectuado el cálculo para la sección del eje donde se encuentra situado el cojinete derecho. Luego adoptaremos éste último valor como el definitivo.

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2) El eje de un reductor de velocidad de la figura está proyectado para llevar una polea y un tornillo sinfin. El eje está fabricado con acero AISIC 1040,con un tratamiento térmico para obtener una dureza de 262 BHN y con un acabado por rectificado. La polea somete al eje a una carga radial por flexión de 2800 N. y a un par de 420 N.m. El tornillo sinfin soporta el par y además somete al eje a una carga axial de 14500 N.,que ha de ser soportada por el cojinete de la derecha y a una carga radial de flexión de 1540 N.El eje gira a 60 rpm y ha de tener una vida de 10 horas. Determinar el coeficiente de seguridad para una confiabilidad en el diseño del 90 %. Las propiedades mecánicas del acero, son: Su = 779 MPa. S y = 593 MPa.

Planteamiento: I) DETERMINAR LOS ESFUERZOS ACTUANTES Y LA SECCIÓN MAS DESFAVORABLE. II) EFECTUAR EL DISEÑO POR RESISTENCIA ESTATICA Y A LA FATIGA: - Se obtendrá el valor del coeficiente de seguridad (n) para cada uno de dichos diseños referida a la sección determinada en el apartado anterior. I) DETERMINACION DE ESFUERZOS ACTUANTES Y DE LA SECCION MAS DESFAVORABLE: Determinaremos las reacciones R1 y R2 a partir de las condiciones de equilibrio de la Estática: GF = 0: R1 - 1540 - 2800 + R2 = 0. GME= 0: R1.(0´15 + 0´05 + 0´4 + 0´0762 + 0´127) 125

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- 1540.(0´05 + 0´4 + 0´0762 + 0´127) - 2800.0´127 = 0 Sustituyendo y operando: R1 = 1695´13 N. R2 = 2644´87 N. Representaremos el diagrama de momentos flectores,que tomará en cada una de las secciones del eje los valores señalados:

MA = 0. MB = R1.0´15 = 254´27 N.m. MC = R1.(0´15 + 0´45) - 1540.0´45 = 324´078 N.m. MD = R 1.(0´15 + 0´5262) - 1540.0´5262 = 335´89 N.m. A la vista del diagrama de momentos flectores podemos concluir: - Sección D: Sección en la que el momento flector es mayor. - Sección C: Presenta un resalte inmediatamente a la izquierda de la polea, existiendo por tanto concentración de tensiones; además el valor del momento flector tiene un valor muy próximo al que se presenta en la sección D. Por las razones anteriormente citadas vamos a considerar que la sección mas desfavorable es esta sección C y por tanto a ella vamos a referir el estudio. II1 ) DISEÑO POR RESISTENCIA A LA FATIGA: Aplicando la teoría de la linea modificada de Goodmann:

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Siendo: ó eqa,ó eqm = Componentes alternativa y media,(respectivamente),de la tensión equivalente de VonMises; que en el caso de solicitaciones de flexión y torsión combinadas vienen dadas por:

MOMENTO FLECTOR: - Producirá una tensión normal. - Al invertirse alternativamente por completo, el esfuerzo normal que produce tendrá una componente alternativa (óxa ):

ESFUERZO NORMAL: - Producirá una tensión normal. - Al estar aplicada permanentemente el esfuerzo normal que produce tendrá una componente media(óxm):

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MOMENTO TORSOR: - Producirá un esfuerzo cortante. - Al estar aplicado permanentemente el esfuerzo cortante que produce tendrá una componente media(ô xm):

Por tanto:

Su = Resistencia última a la tensión. = Para acero AISIC 1040 tratado térmicamente hasta una dureza 262 BHN: = 779 MPa. Sy = Resistencia de fluencia. = Para acero AISIC 1040 tratado térmicamente hasta una dureza 262 BHN: 128

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= 593 MPa. Sf = Resistencia a la fatiga para un número de ciclos. = Habrá que determinar sí el estudio de la fatiga se lleva a cabo para el caso de ciclos bajos ó altos; para ello: N = Número de ciclos.

= Determinado a partir de:

Siendo:

Se = Resistencia a la fatiga.

S’e= Resistencia a la fatiga de una probeta. = 0´50.Su (Al ser Su # 1400 MPa.). = 0´5. 779 = 389,5 MPa. Ka = Factor de superficie= a.S ub Viniendo tabulados los valores de a y b para rectificado: a = 1´58 b = - 0´085 Ka = 1´58.779-0´085 = 0´897. Kb = Factor de tamaño.

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Kc = Factor de carga = 1 (Para flexión). Kd =factor de confiabilidad= 0,897 (para una confiabilidad del 90%) Ke = Factor de concentración de tensiones. Habrá que considerar: 1) CAMBIO DE SECCIÓN: Kf1 Y 2) CHAVETERO: Kf2

1) CAMBIO DE SECCIÓN: Considerando: BARRA DE SECCIÓN ESTRECHAMIENTO Y ENTALLE:

CIRCULAR

EN

FLEXIÓN

CON

Como:

Para un acero de 779 MPa de límite de rotura y un radio de acuerdo de 1,6 mm, suponemos una sensibilidad a la entalla de q = 0´8, resultando: Kf1 = 1+q.(K t -1)= 1´8. 2) CHAVETERO: Si se considera un chavetero curvo no recocido, se puede suponer un Kf2 = 1´6. Por tanto: 130

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CONCLUSION: De acuerdo con la linea de Goodman:

II2 ) DISEÑO POR RESISTENCIA ESTÁTICA: Aplicando la teoría de la energía de la distorsión, para el caso que se nos presenta de flexión y torsión combinadas:

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Siendo:

De donde:

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3) Una polea B de 600 mm. de diámetro pesa 445 N; recibe 29´56 HP. a 360 rpm. desde un eje localizado abajo de la polea y a 45º.Un engranaje C de 460 mm. de diámetro de paso pesa 222´5 N. y entrega el 40% de la potencia a otro engranaje situado en la parte superior. Por último, un engranaje E de 300 mm. de diámetro de paso que pesa 111´25 N. entrega el resto de la potencia a otro engranaje situado hacia abajo a la derecha y a un ángulo de 30º respecto de la vertical, tal como se muestra en la figura. Ambos engranajes tienen un ángulo de presión de 20º. El eje está fabricado con un acero aleado AISI 1137 laminado en caliente de límite de fluencia 401 MPa y límite de rotura = 647 MPa. Se pide: Dimensionar el eje para un posible fallo por fatiga, suponiendo un coeficiente de seguridad de 1´5 y una confiabilidad del 90 %. Suponer como dato conocido: F1 /F2 = 3.

a) Determinaremos en primer lugar los distintos valores del par de torsión, así como las cargas sobre polea y engranajes. * El par que recibe la polea B será:

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* El par que absorbe el engranaje C será igual al 40% del par

que recibe la polea B:

* El par que absorbe el engranaje E:

* El par torsor entre B y C: TB = 584´894 N.m. * El par torsor entre C y E: TE = 350´936 N.m. Determinemos las fuerzas: * Para la polea B:

Es decir:

De donde: F1 = 2924´47 N. F2 = 974´823 N. La fuerza total en B: FB = F1 + F2 = 2924´47 + 974´823 = 3899´293 N.

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Vectorialmente, de acuerdo con los ejes de la figura: FB = FB .(Cosá.i - Cosá.k) = 3899´293.(Cos45º.i - Cos45º.k) = = 2757´217.i - 2757´217.k (N). * Para el engranaje C:

Vectorialmente: FC = FC1 + FC2 = 1017´209.i - 370´234.k (N). * Para el engranaje E:

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Vectorialmente: FE = FE1 + FE2 = -1600´362.i + 1907´237.k (N). El diagrama de sólido libre del conjunto se indica en la figura. Todas las fuerzas directamente aplicadas son conocidas, unicamente queda por determinar las reacciones en los cojinetes A y D. Para ello descompongamos las fuerzas en sus proyecciones sobre los planos OXY y OYZ.

PLANO OYZ: - Aplicando las ecuaciones de la Estática: AZ = 2838´733 N. DZ = - 838´271 N. 136

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- Obteniendose el diagrama de flectores:

PLANO OYX: - Aplicando las ecuaciones de la Estática: AX = -2584´445 N. DX = 410´381 N. - Obteniendose el diagrama de flectores de la figura:

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En vista de los resultados,el momento flector máximo se produce en B, su valor es:

El par máximo se producirá también en B, su valor es: T B = 584´894 N.m. Por otro lado,las proporciones del eje son:

Donde: DAB = DCD = D, DBC = 1´25.D, D DE = 0´85.D. Efectuaremos los cálculos para un posible fallo en B y en D; ya que en dichas secciones es donde se produce el momento flector máximo (B) y el mayor cambio de sección (D). SECCION B:

Siendo: n = Coeficiente de seguridad. = 1´5.

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T = Momento torsor en la sección B. = 584´894 N.m. M = Momento flector en la sección B. = 1151´69 N.m. Sy = Límite de fluencia = 401 MPa. Su = Límite de rotura = 647 MPa. Se = Resistencia a la fatiga.

S’e= Resistencia a la fatiga de una probeta. = 0´50.Su (Al ser S u # 1400 MPa ). = 0´50.647 = 323,5 MPa. Ka = Factor de superficie. = a.Su b Viniendo tabulados los valores de a y b para laminado en caliente: a = 57´7 b = - 0´718 = 57´7.647-0´718 = 0´55. Kb = Factor de tamaño = 0´8 (Supuesto por el proyectista). Kc = Factor de carga = 1 (Para flexión). Kd = Factor de confiabilidad = 0,897 (Para una confiabilidad del 90%). Ke = Factor de concentración de tensiones. Habrá que considerar: 1) CAMBIO DE SECCION: Kf1 Y 2) CHAVETERO: Kf2

1) CAMBIO DE SECCION: Considerando: BARRA DE SECCION CIRCULAR EN FLEXION CON ESTRECHAMIENTO Y ENTALLE:

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Como:

Suponiendo una sensibilidad a la entalla de q = 1,obtendremos valores conservativos, resultará: Kf1 = 1´5. 2) CHAVETERO: Si se considera una chaveta tipo curvo, con un: Kf2 = 1´6. Por tanto:

Aplicando la ecuación de Soderberg:

CONCLUSION:

d = 69'19.10-3 m.70 mm. 140

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- Las dimensiones del eje: DAB = D CD = 70 mm. DBC = 1´25.70 = 87´5 mm. DDE = 0´85.70 = 59,5 mm. SECCION D: Aunque las solicitaciones son menores que las de la sección B,es conveniente su estudio porque al existir una mayor concentración de esfuerzos (Ke mayor),el límite de resistencia a la fatiga Se será mayor; como éste último término interviene en el cálculo del diámetro del eje al utilizar la ecuación de Soderberg, es posible que el resultado obtenido fuese superior al calculado en la sección B.

Siendo: n = Coeficiente de seguridad = 1´5. T = Momento torsor en la sección D = 350´93 N.m. M = Momento flector en la sección D.

Sy = Resistencia de fluencia = 401 MPa. Su = Resistencia última de rotura = 647 MPa. Se = Resistencia a la fatiga.

S’e= 323´5 MPa. Ka = 0´55. Kb = 0´8. Kc = 1. (Para flexión). Kd = 0,897 (confiabilidad) Ke = Factor de concentración de tensiones. Habrá que considerar: 1) CAMBIO DE SECCION: Kf

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1) CAMBIO DE SECCION: Considerando: BARRA DE SECCIÓN ESTRECHAMIENTO Y ENTALLE:

CIRCULAR

Como:

Suponiendo una sensibilidad a la entalla de q = 1,obtendremos valores conservativos, resultará: Kf = 1´5. Por tanto:

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EN

FLEXIÓN

CON

ejes de transmisión

Aplicando la ecuación de Soderberg:

CONCLUSIÓN: d = 47'65.10-3 m .48 mm < 59'5 mm obtenido en el cálculo para la sección B. - En vista de los resultados adoptaremos las dimensiones calculadas para un posible fallo en la Sección B.

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4. El eje de la figura gira a 400 rpm y transmite 8kW de potencia y está apoyado por cojinetes de rodamientos an A y D. El eje está impulsado por el engranaje helicoidal C, estando suministrada la potencia y movimiento a través de la carga tangencial W paralela al eje X, las cargas axial y radial son paralelas a los ejes Y, Z, respectivamente, indicándose su valor en función de la carga tangencial W. La potencia se cede a través de la polea B, estando las bandas orientadas según el eje X (en sentido positivo ó negativo), siendo la relación de tensiones de T1 / T2 = 2,5. La componente axial de la carga en el engranaje está contrarrestada por el cojinete A, de manera la reacción en A presenta componente radial y axial y la reacción en D únicamente componente radial. Los radios en todos los acuerdos son de r=0,1d. Determinar el diámetro d para un coeficiente de seguridad de 1,5 para un fallo por fatiga (se recomienda aplicar el método general). Material: acero al carbono AISIC 1035 laminado en caliente, límite de fluencia de 270 MPa, límite de rotura 500 MPa , se supondrá una confiabilidad del 90 %. Suponer un coeficiente de concentración de tensiones en los chaveteros de 1,3. Cálculo del par motriz:

La fuerza tangencial W sobre el engranaje, será:

Las componentes axial y radial de la fuerza , se obtendrán a partir de la figura del enunciado: - Axial: 0,2W = 305,576 N - Radial: 0,36W = 550,038 N A continuación calcularemos las tensiones T1 y T2 en la correa:

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Necesariamente, las bandas tienen que estar orientadas en sentido negativo del eje X, para contrarrestar el momento torsor del engranaje, con esta consideración, representamos el diagrama de sólido libre y los diagramas de momentos:

Para el plano X = 0:

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Cálculo de las reacciones:

De donde Az = 268,228 N y Dz = 281,809 N, MBx = 26,822 Nm, MCx = 80,47 Nm . Para el plano Z = 0:

Cálculo de las reacciones:

De donde Ax = 2956,543 N, Dx = -28,296 N, MBz = 295,654 Nm, MCz =- 4,25 Nm En vista de los resultados, la sección más comprometida será la B, con los siguientes esfuerzos:

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El límite de fatiga en B: Límite ideal: S’e = 0,50 . Su = 0,5.500 = 250 MPa. Los coeficientes modificativos, serán: Ka, acabado superficial. Para: Su = 500 MPa y laminado en caliente: a = 57,7, b = -0,718: Ka = a . S ub = 57,7 . 500 -0,718 = 0,67. Kb, tamaño: Kb = 0,8 (suponemos este valor al desc...