S14.s1- Separata-Derivación implícita Ecuación de la tangente y la normal a una curva PDF

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CALCULO DIFERENCIAL DERIVADAS IMPLICITAS : ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL Semana 14

Sesión 27

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Determine la derivada dy/dx de 𝑥 3 + 𝑦 3 = 28 2. Sea 𝑦 = 3𝑚2 − 3𝑚 + 2; 𝑚 = log 𝑡 −

𝑡2

𝑥+1

𝑡 = 𝑥−2. Halle

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcula :

𝑑𝑥

𝑑𝑦

en cada uno de los siguientes

𝑥 𝑎) 𝑥𝑦 2 − = 1 𝑦 𝑏) √3𝑥 + √5𝑦 = 𝑥 2 − 𝑦 2 casos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥

3. Calcule la derivada dy/dx por derivación implícita de la expresión 𝑥 0,5 + 𝑦 0,5 = 9 4. Derive respecto a x la función 𝑥 3 . 𝑦3 − 𝑥 = 𝑦 5. Derive respecto a x la función 𝑒 𝑥+𝑦 + 𝑥 3 = 3𝑦 6. Derive respecto a x la función 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑦 − 𝑥) + 𝑥

𝑑𝑦

2. Determina : en cada uno de los 𝑑𝑥 siguientes casos: 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑎) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) √2

√2

𝑏) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 ))

3. Compruebe que 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 ) satisface la ecuación diferencial: 𝑑2 𝑦

(1 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥2 = 𝑥

7. Derive respecto a x la función 𝐿𝑛(𝑥 2 𝑦) + 1 = 𝑥𝑦 2

4. Determine :

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥

− 𝑚2

en cada uno de los

siguientes casos: 𝑎) √2𝑥𝑦 −

𝑥

=2 √3𝑦 𝑏) 𝑥𝑦 − 3𝑦𝑥 3 = 4𝑥 3 𝑦

8. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 𝑥 4 + 𝑦 3 = 17 en los puntos donde la ordenada es igual a 1 9. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva: 𝑥 3 + 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 = 11, en los puntos donde la ordenada es igual a 1 10. Determine las ecuaciones de las rectas normales a la curva 𝑥 3 + 𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 = 4 en los puntos donde la ordenada es igual a 2

5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 𝑥 3 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 = 8 en los puntos donde la ordenada es igual a2 6. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 𝑥 3 𝑦 3 − 2𝑥 + √𝑦 + 2 = 2 en los puntos donde la ordenada es igual a 2

1

Matemática para Ingenieros I

TAREA DOMICILIARIA 1. Calcule la derivada dy/dx por derivación implícita de la expresión 𝑥 5 + 𝑦 5 = 𝑥𝑦 + 4 2. Derive respecto a x la función 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 3. Derive respecto a x la función 𝑒 𝑥+𝑦 + 𝑥 3 = 3𝑦

4. Calcule

𝑑𝑦 𝑑𝑥

en cada uno de los

siguientes casos:

𝑥 𝑎) 𝑦 = (𝑥 + 𝑎)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (√ ) − √𝑎𝑥 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑏) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑎 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑦

5. Encuentre 𝑑𝑥 si

𝑥 2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) 𝑥 2

6. Usando derivadas implícitas hallar 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

3𝑎2 𝑥 − 𝑥 3 ) 𝑎3 − 3𝑎𝑥 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

Matemática para Ingenieros I...