Vector Tangente Unitario y Vector Normal Principal PDF

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Cálculo Vectorial Universidad Tecnológica de Querétaro M. en C. Pablo Enrique Moreira Galván Ejercicio El movimiento de una partícula esta dado por ~r (t) = (3 cos 2t, 3 sin 2t), calcular 1. El vector velocidad r~′ (t) y calcular r~′ ( 6π ) 2. El vector aceleración. 3. ¿Qué figura geométrica describe el movimiento? y hallar la longitud de curva si t ∈ [0, π]. 4. Demostrar que el vector aceleración y el vector velocidad son perpendiculares. ¿Hacia donde apunta el vector velocidad y aceleración?

Vector Tangente Unitario y Vector Normal Principal Definición Un vector ~v se dice unitario, si su norma es 1, es decir, k~v k = 1. Para analizar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva se utilizan los vectores. En particular, la función vectorial continua ~r (t) : R 7−→ Rn sirve como modelo matemático para describir el movimiento. Para analizar este movimiento, que por lo general se limita a un plano, es necesario conocer la posición de la partícula en todo momento. Esta posición esta dada por el vector de posición o trayectoria ~r (t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t))

(1)

Dada una curva r~′ (t) es un vector que es tangente a la trayectoria

Dada una curva ~r (t), el vector tangente unitario T es otra función vectorial asociada a la trayectoria y está definida por: r~′ (t) T (t) = (2) kr~′ (t)k siempre que k~r′ (t)k no se anule.

Cálculo Vectorial

Obsérvese que

  ~r′ (t)  1  kT (t)k =  kr~′ (t)k = 1  =  k~r ′ (t)k kr~′ (t)k

Ejercicio Sean ~r (t) y ~l(t) dos trayectorias en Rn . Demostrar que   d ~r (t) · ~l(t) = r~′ (t) · ~l(t) + ~r (t) · l~′ (t). dt Ejercicio Demostrar que si ~r (t) es una función vectorial tal que k~r (t)k es constante, entonces r~′ (t) es perpendicular a ~r (t). Si T ′ 6= 0, el vector unitario que tiene la misma dirección que T ′ se llama Normal principal a la curva y se designa por N (t), así pues N (t) es una nueva función vectorial asociada a la curva siempre que kT ′ (t)k = 6 0 y esta dada por la ecuación N (t) =

T ′ (t) . kT ′ tk

(3)

Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva ~r (t) determinan un plano llamado osculador de la curva, algo importante de este plano es que si la curva es plana, es decir, esta contenida en un plano, entonces el plano osculador coincide con éste. Ejemplo Si la trayectoria de un objeto es ~r (t) = (t, t2 ), calcular T y N .

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