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Universidad Nacional Autonoma de MexicoFacultad de IngenieríaPractica No. 3Transformada Z y aplicaciones a sistemas de tiempo discretoNombresChavez Vazquez Ernesto Jasso Juarez Hector Alejandro Laguna Avila RicardoProf. Ing. maria Leonor Salcedo UbillaAsignatura: Laboratorio de Señales y SistemasGru...

Description

Universidad Nacional Autonoma de Mexico Facultad de Ingeniería Practica No. 3 Transformada Z y aplicaciones a sistemas de tiempo discreto Nombres Chavez Vazquez Ernesto Jasso Juarez Hector Alejandro Laguna Avila Ricardo Prof. Ing. maria Leonor Salcedo Ubilla Asignatura: Laboratorio de Señales y Sistemas Grupo 15 Brigada 2 Reporte #3 Fecha de entrega 13-11-2021

RÚBRICA DEL REPORTE DE LA PRÁCTICA NO. 3 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ingeniería Eléctrica (DIE) Departamento de Ing. en Control y Robótica

Nombres de los integrantes del equipo No. 2

Chavez Vazquez Ernesto Jasso Juarez Hector Alejandro Laguna Avila Ricardo

Nombre del Laboratorio: Laboratorio Sistemas y Señales Nombre del Profesor: María Leonor Salcedo

Grupo: 15

Item

Excelente

Bueno

Regular

Deficiente

Calidad en la presentación general del reporte

a) Ordenado de acuerdo con el desarrollo de la práctica b ) Imágenes, dibujos, gráficas, fotografías etc. Claras y ordenadas de acuerdo con el desarrollo de la práctica

0.7 puntos

0.4 puntos

0.0 puntos

Carátula

El reporte presenta todos los datos de la lista a) Nombre de la institución b) Departamento c) Asignatura d) Título de la práctica e) Grupo f) Número de brigada g) Nombre de los integrantes de la brigada y espacio para la calificación h) Nombre del profesor 1.0

Falta de uno de los incisos: c, e, f, d

Falta de tres o más datos en la portada

0.5 puntos

0.2 puntos

Si los datos son de otra brigada, grupo o cualquier incongruenci a

1.0 puntos

puntos

i) Fecha de entrega del reporte de la práctica

0.0 puntos

Evaluación y observaciones

Índice

a) Presenta el listado completo del contenido del reporte b) Presenta número de paginado c) Sigue la secuencia lógica 0.5

Falta del inciso b) 0.3 puntos

Falta del inciso c) 0.1 puntos

0.0 puntos

puntos

Objetivos

a) Presenta los objetivos generales b) Presenta los objetivos particulares 0.5 puntos

Procedimiento

a) Enlista de manera completa los materiales y equipo utilizado durante la práctica b) Describe el procedimiento experimental realizado durante la práctica de manera concreta y con sus propias palabras 0.5 puntos

Falta de índice en el reporte

Falta de alguno de los incisos 0.3 puntos

Falta del inciso a) 0.3 puntos

Falta de los objetivos 0.0 puntos

Falta del inciso b) 0.1 puntos

Falta del procedimiento 0.0 puntos

RÚBRICA DEL REPORTE DE LA PRÁCTICA NO. 3 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ingeniería Eléctrica (DIE) Departamento de Ing. en Control y Robótica

Nombres de los integrantes del equipo No. 2

Chavez Vazquez Ernesto Jasso Juarez Hector Alejandro Laguna Avila Ricardo

Nombre del Laboratorio: Laboratorio Sistemas y Señales Nombre del Profesor: María Leonor Salcedo

Item

Excelente

Bibliografía y referencias

a) Presenta bibliografía consultada

Grupo: 15

Bueno

Regular

Falta de bibliografí a 0.0 puntos

0.5 puntos

Introducción

a) Plantea ordenadamente el tema de la práctica b) Presenta una breve investigación sobre el tema de la práctica y presenta las referencias c) No copia el literalmente el texto presentado en el manual (interpreta y sintetiza) 1.0 puntos

Resultados

a) Recopila y ordena los datos obtenidos, presentándolos de manera clara, ordenada, bien identificados y/o en gráficos si es el caso b) Incluye fórmulas y sustituciones empleadas

Deficient e

Falta o deficien cia de uno de los incisos a, b, c, d, e

Presenta copia de los textos consulta dos 0.5 puntos

No presenta introducc ión

Falta o deficienc ia de dos de los incisos a, b, c, d, e

Se detecta la copia a otros alumnos de datos e interpret

0.0 puntos

Evaluación y observaciones

c) Describe los resultados más relevantes en los que apoyará sus conclusiones d) Interpreta y analiza los resultados obtenidos y los asocia con los objetivos de la práctica e) Describe con sus propias palabras

3.0 puntos

1.5 puntos

ación de resultado s 0.0 puntos

los objetivos y si éstos se lograron

f) No copia de otros alumnos los datos obtenidos ni la interpretación y el análisis de otra brigada o grupo 4.0 puntos

Conclusiones

a)Se presentan conclusiones por brigada b)Se presentan conclusiones individuales

Falta del inciso a 0.5 puntos

1.0 puntos

Falta del inciso b para el alumno implicad o 0.5 puntos

Falta de todo tipo de conclusio nes en la práctica 0.0 puntos

INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos asumido que el tiempo es continuo. En otras palabras, el tiempo puede tomar cualquier valor, y esto es generalmente cierto en los sistemas físicos lineales que involucran componentes como condensadores, masas o resistencias. Aunque algunos datos asociados con sistemas físicos son de tiempo discreto, la mayoría de los datos comienzan como datos de tiempo continuo y se vuelven discretos a través de un proceso llamado muestreo. Hay varias formas de representar matemáticamente el proceso de muestreo. Una forma que se usa comúnmente es representar inmediatamente la señal muestreada mediante una serie x [n]. La transformada Z juega un papel vital en el campo de la ingeniería de comunicaciones y la ingeniería de control, especialmente en el procesamiento de señales digitales.

La transformada de Laplace y la transformada de Fourier son las herramientas más eficaces en el estudio de señales de tiempo continuo, mientras que la transformada Z se utiliza en el análisis de señales de tiempo discretas. La aplicación de la transformada Z en análisis discretos es similar a la de la transformada de Laplace en sistemas continuos. Además, la transformada Z tiene muchas propiedades similares a las de la transformada de Laplace. Pero, la principal diferencia es que la transformada Z opera solo en secuencias de argumentos discretos con valores enteros. Dado que ahora tenemos una señal en el dominio del tiempo, deseamos ver qué tipo de análisis podemos hacer en un dominio transformado. Comencemos tomando la Transformada de Laplace de la señal muestreada:

Dado que x [k] es una constante, podemos (debido a la linealidad) llevar la transformada de Laplace dentro de la suma.

Obviamente, esto se ve diferente a las transformadas de Laplace. Por un lado, hay una suma infinita y por el otro estamos acostumbrados a ver funciones en el dominio de Laplace que son las razones del polinomio en la variables, no exponenciales. Para simplificar un poco la expresión, usaremos la notación:

entonces

y

Llamaremos a esto la Transformada Z y la definiremos como ∞

−𝑘

𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥[𝑘]𝑧 𝑘=0

ECUACIONES EN DIFERENCIAS Las ecuaciones en diferencias surgen naturalmente en todas las situaciones en las que existe una relación secuencial en varios valores discretos de las variables independientes. Estas ecuaciones pueden considerarse como contrapartes discretas de las ecuaciones diferenciales. La transformada Z es una herramienta muy útil para resolver estas ecuaciones. Una ecuación en diferencias es una relación entre la variable independiente, la variable dependiente y las sucesivas diferencias de la variable dependiente. El punto clave es que para que una ecuación en diferencias se clasifique como lineal, los términos de la secuencia {𝑦𝑛} surgen solo para la potencia 1 o, más precisamente, el término de subíndice más alto se puede obtener como una combinación lineal de los inferiores.

ÍNDICE Portada…………………………………………………………………………………...1 Rúbrica del Reporte……………………………………………………………………. 2 Introducción…………………………………………………………………………….. 4 Tiempo Discreto…………………………………………………………………. 4 Transformada Z………………………………………………………………….. 4 Importancia en Señales y Sistemas…………………………………….. 4 Cálculo y Definición……………………………………………………….. 5 Ecuaciones en Diferencias…………………………………………………….... 5 Objetivos……………………………………………………………………………….... 7 Generales……………………………………………………………………….... 7 Particulares……………………………………………………………………….. 7 Procedimiento…………………………………………………………………………... 8 Material y Equipo………………………………………………………………... 8 Procedimiento……………………………………………………………………. 8 Actividad 1…………………………………………………………………. Actividad 2…………………………………………………………………. Desarrollo y Resultados………………………………………………………………. Actividad 1…………………………………………………………………. Actividad 1.1…………………………………………………………... . Actividad 1.2……………………………………………………………. Actividad 1.3……………………………………………………………. Actividad 1.4……………………………………………………………. Actividad 1.5……………………………………………………………. Actividad 1.6……………………………………………………………. Actividad 2………………………………………………………………….

8 8 9 9 9 13 16 16 17 18 12

Actividad 2.1……………………………………………………………. Actividad 2.2……………………………………………………………. Actividad 2.3……………………………………………………………. Actividad 2.4……………………………………………………………. Actividad 2.5…………………………………………………………….

19 20 20 22 26

Preguntas de Cierre………………………………………………………. 32 Conclusiones Individuales……………………………………………………………. 33 Gil Márquez Arath Emiliano……………………………………………………. 33 Reyes Mendoza Miriam Guadalupe…………………………………………….33

Conclusiones de Brigada……………………………………………………………... 34 Bibliografía………………………………………………………………………………. 35

OBJETIVOS GENERALES: ● Los alumnos conocerán algunas de las señales básicas y las señales singulares y sus características fundamentales. ● Se establecerá la relación que existe entre señales físicas y su representación matemática mediante el uso de software y adquisición de señales.

PARTICULARES: ● Reconocer la aproximación entre tiempo continuo y tiempo discreto en diversos sistemas. ● Resolver ecuaciones de diferencias a partir de ecuaciones diferenciales. ● Comparación de gráficas para señales en su tiempo continuo y discreto dentro de un periodo de muestreo. ● Encontrar la ecuación en diferencias asociada a un sistema mediante el método de discretización por diferencias finitas. ● Hallar la función de transferencia para un sistema en tiempo continuo y discreto individualmente y mediante la utilización de un diferenciador discreto. ● Visualizar la respuesta al impulso del tiempo continuo y sus aproximaciones en el tiempo discreto. ● Reconocer la estabilidad, comportamiento y polos de un sistema mediante el análisis de sus gráficas o respuestas al impulso. ● Obtener mediante funciones de transferencia en lazo abierto y cerrado la versión en tiempo discreto.

PROCEDIMIENTO MATERIAL Y EQUIPO Para esta práctica fue necesario el uso de una plataforma o software diseñado para poder resolver y obtener resultados de ecuaciones mediante comandos especializados, de igual manera permite generar gráficas de acuerdo con los datos que se quisieran manipular ● Matlab-Simulink R2020b

Matlab-Simulink R2020b Dentro de esta plataforma se tuvo que usar el espacio denominado como “workspace”, en donde por medio de comandos y la digitalización de datos se llegó a la resolución y obtención de gráficas para varios ejercicios dados en la práctica. PROCEDIMIENTO 1. Es posible convertir una señal continua a una señal digital por medio de diferentes métodos, en este caso el método de muestreo, para el cual es necesario tener muestras de dicha señal y tener un periodo 𝑇𝑠 con el cual se va a trabajar. Para la solución de estos problemas contamos con la ayuda de software especializado que en este caso es “Matlab” en donde es posible manejar señales con simples comandos.

2. Al obtener sistemas es posible analizarlos en tiempos continuos, pero en esta práctica nos basaremos en los sistemas de tiempos discretos, los cuales deben cumplir ciertas propiedades de Invarianza en el tiempo, Estabilidad, Causalidad y deben ser lineales para cumplir con el Escalamiento y la aditividad. Para los sistemas en tiempo discreto 𝑛 se encuentras ecuaciones en diferencia las cuales se resuelven mediante la transformada Z y la función de transferencia 𝐻(𝑧) =

𝑌(𝑧) 𝑋(𝑧)

=

𝐵(𝑧) 𝐴(𝑧)

En base a todo esto y en lo visto en prácticas anteriores es posible obtener información del sistema como su estabilidad, respuesta al impulsó y escalón.

DESARROLLO Y RESULTADOS APROXIMACIÓN DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO POR SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

ACTIVIDAD 1 De ecuaciones diferenciales a ecuaciones en diferencias y de función de transferencia en tiempo discreto a función de transferencia en tiempo continuo. Considere un circuito RLC como el mostrado en la Figura 23, cuyo comportamiento, considerando como entrada el voltaje 𝑉𝑔(𝑡) de la fuente y como

salida el voltaje en el capacitor 𝑉𝑐(𝑡), está dado por la ecuación diferencial de segundo orden

2

𝑑 𝑉 (𝑡) 𝑐 2

𝑑𝑡

+

𝑅 𝑑𝑉𝑐(𝑡) 𝐿 𝑑𝑡

Considere que

𝑅 𝐿

+

1 𝐿𝐶

= 1y

𝑉𝑐(𝑡) = 1 𝐿𝐶

1 𝐿𝐶

𝑉𝑔(𝑡),

𝑉𝑐(0) = 𝑉𝑐0

𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑐

'

(0) = 𝑉𝑐0

= 5.

1. Resuelva la ecuación diferencial utilizando los métodos analíticos disponibles en el software especializado que esté utilizando, escriba la solución y grafíquela, muestre los resultados en el siguiente cuadro.

SOLUCION ANALITICA

Resolviendo por coeficientes indeterminados 𝑉𝑐(𝑡)𝐺 = 𝑉𝑐(𝑡)𝐻 + 𝑉𝑐(𝑡)𝑃

Polinomio característico 2

𝑅 𝐿

𝑃(λ) = λ +

2

[(λ + α)2 + β2] 𝑉 (𝑡) = 𝑒 𝐻

1

−2 𝑡

𝑛 2

2

1 𝐿𝐶

−1± 1 −4(1)(5) 2(1)

𝑚1,2 =

𝑐

λ +

= 0→ λ + λ + 5 = 0

=

−1± −19 2

1 2

=−

19 2

±

𝑖

1

=0 ;

(𝐶 cos 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛 = 2, α = 2 , β =

1

19 2

)

𝑡 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛

(

19 2

19𝑖 2

))

𝑡

Solución particular {0 𝑡≤0 1 𝑡≥0 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛 ''

'

𝑉𝑐(0) = 𝑉𝑐 = 𝑉 = 0 𝑐

2

𝑑 𝑉 (𝑡) 𝑐 2

𝑑𝑡

+

𝑑𝑉𝑐(𝑡) 𝑑𝑡

+ 5𝑉 (𝑡) = 5𝑉 (𝑡) 𝑐

𝑔

𝑉𝑐(𝑡)𝑃 = 𝐶3

Sustituyendo 2

𝑑 𝑉 (0) 𝑐

2

𝑑𝑡

+

𝑑𝑉𝑐(0) 𝑑𝑡

+ 5𝐶3 = 5(1)→ 0 + 0 + 5𝐶3 = 5 →𝐶3 = 1 𝑉

𝑉𝐺(𝑡) = 𝑒

1

𝑐(𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟)

( 𝐶 cos 𝑐𝑜𝑠 (

−2𝑡

1

19 2

= 1

)

(

𝑡 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛

19 2

)) + 1

𝑡

Evaluando 𝑡 = 0 𝑉𝑐(0) = 𝑒

1 −2 (0)

(𝐶 cos 𝑐𝑜𝑠 ( 1

(

19 2

(0)

) + 𝐶 𝑠𝑒𝑛( 2

)

19 2

)) + 1

(0)

𝑉 (0) = (1) 𝐶 (1) + 𝐶 (0) + 1 →𝐶 =− 1 𝑐

1

− 𝑡 2

2

1

Derivar 𝑉𝑐(𝑡)𝐻

(𝐶 cos 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡 ) + 𝐶 𝑠𝑒𝑛( 𝑡)) (− 𝑠𝑒𝑛( ) + 𝐶 𝑐𝑜𝑠( 𝑡))

𝑉𝑐'(𝑡)𝐻 = 𝑒 +𝑒

1

1 2

− 𝑡

19 2

1

19 2

19 2

19 2

2

2

19 2

19 2

Evaluando 𝑡 = 0

(cos 𝑐𝑜𝑠 ( (0)) + 𝐶 𝑠𝑒𝑛( (0))) (− 𝑠𝑒𝑛( (0)) + 𝐶 𝑐𝑜𝑠( (0))) (1)(− 1) + ( 𝐶 ) → 𝐶 = → 𝐶 =−

𝑉𝑐'(0)𝐻 =− +𝑒 '

𝑉 (0) =− 𝑐

1

− 𝑡 2

1 2

𝑉 (𝑡) = 𝑒 𝑐

𝐺

1 𝑒 2

1 − 2 (0)

19 2

19 2

19 2 2

19 2

19 2 2

1

−2𝑡

19 2

2

(− cos 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑡) − 19 2

19 2

1

−2

2

2

19 2

1 19

𝑠𝑒𝑛

(

19 2

𝑡

)) + 1

1

19

SOLUCIÓN EN MATLAB DEL CIRCUITO

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

2. Considerando un periodo de muestreo de 𝑇𝑠 = 1 y utilizando el método de discretización mediante diferencias finitas, encuentre la ecuación en diferencias asociada y resuélvala utilizando el método de recurrencia. Compare los resultados gráficos de la versión de tiempo continuo y la de tiempo discreto para diferentes valores del periodo de muestreo (disminúyalo en un punto decimal hasta 𝑇𝑠 = 0. 0001. 2

𝑑 𝑉 (𝑡) 𝑐 2

𝑑𝑡

= 𝑑𝑉

𝑐

𝑑𝑡

(

) 𝑐(

𝑉𝑐(𝑡)−2𝑉 𝑡−𝑇 +𝑉 𝑡−2𝑇 𝑐 𝑠

=

𝑇𝑠

𝑉 (𝑡)−𝑉 (𝑡−𝑇 ) 𝑐

𝑐

𝑇𝑠

𝑠

𝑠

)

…1

…2

Considerando que el tiempo de muestreo es 𝑡 = 𝑛𝑇𝑠…3

Sustituyendo 1, 2 y 3 en la ecuación original

( 𝑠)

(

)

(

𝑉 𝑛𝑇 −2𝑉 𝑛𝑇 −𝑇 +𝑉 𝑛𝑇 −2𝑇 𝑐

𝑐

𝑠

𝑇𝑠

𝑠

𝑐

( 𝑠)

1

2

𝑇

𝑅 𝐿

+

𝑠

( ) 1 𝑇

𝑠

𝑐

)

=

𝐿𝐶

2

𝑠

2

𝑇

𝑠

𝑐

+

1 𝐿𝐶

(

𝑠 2

)

𝑠

𝑇

( )

⎡ ⎥𝑉 𝑛𝑇 − ⎢ 𝑠 ⎥ 𝑐 ⎢ ⎦ ⎣

2+𝑇 2

𝑠

𝑇

𝑠

)

)

𝐿𝐶

( )

𝑐

𝑠

𝑠

( 𝑠)

𝑔

⎤ ⎡ ⎥𝑉 𝑛𝑇 − ⎢ 22 + ⎥ 𝑐 ⎢𝑇 𝑠 ⎣ 𝑠 ⎦ 𝑉 𝑛𝑇 −2𝑇

𝑠

𝑇

𝑉 𝑛𝑇

=

( ) 1 𝑇

𝑅 𝐿

𝑠

( )

⎤ ⎥𝑉 𝑛𝑇 − 𝑇 ⎥ 𝑐 𝑠 𝑠 ⎦

(

)

𝑉𝑔 𝑛𝑇𝑠 𝐿𝐶

𝑠

5𝑇 +𝑇𝑠+1 ⎤

( 𝑠) 𝑐 (

𝑉 𝑛𝑇 −𝑉 𝑛𝑇 −𝑇

Resolviendo:

+ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

(

𝑅 𝐿

+

𝑠

𝑉 𝑛𝑇

+

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

𝑠

(

)

⎤ ⎥𝑉 𝑛𝑇 − 𝑇 + 𝑠 𝑠 ⎥ 𝑐 ⎦

(

𝑉 𝑛𝑇 −2𝑇 𝑐

𝑠

𝑇

2

)

𝑠

𝑠

( 𝑠)

= 5𝑉 𝑛𝑇 𝑔

Normalizando y omitiendo por simplicidad la dependencia con el tiempo de muestra, entonces se obtiene la siguiente ecuación en diferencia 𝑉 [𝑛] − 𝐶 𝑉 [𝑛 − 1] + 𝐶 𝑉 [𝑛 − 2] = 𝑑 𝑉 [𝑛] 𝑐

1 𝑐

2 𝑐

Normalizando para 𝑉𝐶[𝑛], ⎡ ⎢ 𝑉𝑐[𝑛] − ⎢ ⎢ ⎣

2+𝑇

𝑠

2 𝑠

𝑇

2 5𝑇 +𝑇 +1 𝑠 𝑠 2 𝑇 𝑠

[ 𝑛𝑇𝑠] = 𝑛, [𝑛𝑇𝑠 − 𝑇𝑠] = [𝑛 − 1]

⎤ ⎥ ⎥𝑉𝑐[𝑛 − 1] + ⎥ ⎦ ⎡ = ⎢⎢ ⎢ ⎣

0 𝑔

5 2

5𝑇 +𝑇 +1 𝑠 𝑠 2

𝑇𝑠

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

2 𝑠

𝑇

2 5𝑇 +𝑇 +1 𝑠 𝑠 2 𝑇 𝑠

⎤ ⎥ ⎥𝑉𝑐 [𝑛 − 2] ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ 𝑉𝑔[𝑛] ⎥ ⎦

Ecuación en diferencia...