Sistemas de Control en Tiempo Discreto, 2da Edicion - Katsuhiko Ogata.pdf PDF

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SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO Segunda edición

Katsuhiko O gata U n iv ersity o f M in n e s o ta TRADUCCIÓN:

JOSE GUILLERMO ARANDA PÉREZ Jefe del Area de Control Universidad La Salle

FRANCISCO RODRÍGUEZ RAMÍREZ Ingeniero Mecánico Electricista Facultad de Ingeniería de la UNAM

GABRIEL SÁNCHEZ GARCÍA Ingeniero Mecánico Electricista UNAM REVISOR TÉCNICO:

JOSÉ GUILLERMO ARANDA PÉREZ Ingeniero Mecánico Electricista Universidad La Salle

FRANCISCO RODRÍGUEZ RAMÍREZ

6104968779

PREN TICE HALL HISPANOAM ERICANA, S.A. M ÉX IC O • N UEVA Y O R K • BO G O TÁ • L O N D R E S • S Y D N E Y P A R ÍS • M UN ICH • TO RO N TO • N U EVA D ELH I • TO KIO S IN G A P U R • R ÍO D E JA N E IR O • Z U R IC H

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EDICION EN ESPAÑOL PRESID EN TE DE LA D IVISIO N LATIN O .AM ERICANA DE SIM O N & SCHUSTER DIRECTO R G EN ERA L: DIRECTO R DE EDICIO NES: G EREN TE D IVISIO N UN IV ERSITA RIA : G EREN TE ED ITO RIAL: EDITOR: G EREN TE DE EDICIO N ES: SUPERVISO R DE TRADUCCION: SU PERVISO R D E PRODUCCION:

RAYM UN D O CRUZADO G O N ZA LEZ M O ISES PER EZ ZA V A LA ALBERTO SIERRA OCHOA EN RIQ U E IV A N G A RC IA H ER N A N D EZ JO SE TOM AS PER EZ BO N ILLA LU IS GERARDO CEDEÑ O PLA SC EN C IA JU LIA N ESC A M ILLA LIQ U ID A N O JO A Q U IN RAM OS SA N TA LLA ENRIQ UE GARCIA CARMONA

EDICIÓN EN INGLÉS: Editorial/production supervisión: Cover design: Karen Production coordinator:

Lynda Griffiths/TKM Productions Salzbach David Dickey/Bill Scazzero

OGATA: Sistemas de control en tiempo discreto 2a edición Traducido del inglés de la obra: D1SCRETE T IM E C O N TRO L S Y S T E M S A ll Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice Hall Inc. Todos los Derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prentice Hall/Inc. A ll rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmited in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying recording or by any information storage retrieval system, without permission in writing form the publisher. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio ó método sin autorización por escrito del editor. Derechos reservados © 1996 respecto a la primera edición en español publicada por P R E N T IC E H A L L H ISPA N O A M ER IC A N A S.A. Enrique Jacob 20, Col. El Conde 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. De México ISBN 968-880-539-4 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524 Original English Language Edition Published by Prentice Hall Inc Copyright © M C M X C V all Rights Reserved ISBN 0-13-034281-5

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PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A. CALZ. CHABACANO No. 65 LOCALA COL. ASTURIAS, DELEG. CUAUHTEMOC, D.F. C.P. 06850

2000

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Impreso en México/Printed in México

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1996

□

Contenido

P ró lo g o

ix

C apítulo 1 Introducción a los siste m a s de control en tiem po discreto 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5

1

INTROD UCCIÓN, 1 SISTEM AS DE CONTROL DIGITAL, 5 CUANTIFICACIÓ N Y ERRORES DE CUANTIFICACIÓN, 8 SISTEMAS DE A D Q U ISIC IÓ N , C O N V ER SIÓ N Y DISTRIBUCIÓN DE DATOS, 11 C O M ENTARIO S FINALES, 20

C apítulo 2 La tra n sfo rm a d a z 2'1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7

23

INTROD UCCIÓN, 23 LA TRANSFORM ADA z, 24 TRANSFORM ADA z DE FU N C IO N ES ELEMENTALES, 25 PROPIEDADES Y TEOREMAS IMPORTANTES DE LA TRANSFORM ADA z, 31 LA TRANSFORM ADA z INVERSA, 37 M ÉTODO DE LA TRANSFORM ADA z PARA LA SO LU C IÓ N DE EC U A C IO N ES EN DIFERENCIAS, 52 C O M ENTARIO S FINALES, 54 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SO LU CIO N ES, 55 PROBLEMAS, 70

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vi

C o n te n id o

C apítulo 3 A n álisis en el plano z d e sistem as de control en tiem po discreto

74

3-1

INTROD UCCIÓN, 74

3-2

MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS Y RETENCIÓN DE DATOS, 75

3-3

CÁLCULO DE LA TRANSFORM ADA z MEDIANTE EL M ÉTODO DE LA INTEGRAL DE C O N V O LU C IÓ N , 83

3-4

REC O N STRUC C IÓ N DE SEÑALES O RIGINALES A PARTIR DE SEÑALES MUESTREADAS, 90 LA FU N C IÓ N DE TRANSFERENCIA PULSO, 98 REALIZACIÓN DE CONTROLADORES DIGITALES Y FILTROS DIGITALES, 122 PROBLEMAS DE EJEMPLOS Y SO LU CIO N ES, 138 PROBLEMAS, 166

3-5 3-6

Capítulo 4 D iseño d e siste m a s de control en tiem po discreto m edian te m étodos co n ven cio n ales 173 4-1

INTRODUCCIÓN, 173

4-2 4-3

C O RRESPO N D EN C IA ENTRE EL PLANO-s Y EL PLANO-z, 174 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO EN EL PLANO-z, 182 ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS TRANSITORIA Y EN ESTADO PERMANENTE, 193 D ISEÑ O BASADO EN EL M ÉTODO DEL LUGAR G EO M ÉTRIC O EN LAS

4-4 4-5 4-6 4-7

RAÍCES, 204 D ISEÑ O BASADO EN EL M ÉTODO DE Y RESPUESTA EN FRECUENCIA, 225 M ÉTODO DE D ISEÑ O ANALÍTICO, 242 PROBLEMAS DE EJEM PLO Y SO LU CIO N ES, 257 PROBLEMAS, 288

C apítulo 5 A n á lisis en el espacio de e sta d o 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

293

INTROD UCCIÓN, 293 REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO, 297 SO LU C IÓ N DE LAS EC U A C IO N ES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO, 302 MATRIZ DE TRANSFERENCIA PULSO, 310 DISCRETIZACIÓN DE LAS EC U A C IO N ES EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO C O N TIN U O , 312 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LIAPUNOV, 321 PROBLEMAS DE EJEM PLO Y SO LU CIO N ES, 336 PROBLEMAS, 370

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vii

C o n te n id o

Capítulo 6 Ubicación de polos y diseño de o b se rv a d o re s

377

6-1 6-2 6-3

INTROD UCCIÓN, 377 CO NTRO LABILIDAD, 379 OBSERVABILIDAD, 388

6-4

TRA N SFO RM A CIO N ES ÚTILES EN EL ANÁLISIS Y D ISEÑ O EN EL ESPACIO DE ESTADOS, 396 D ISEÑ O VÍA U BIC A C IÓ N DE POLOS, 402

6-5 6-6 6-7

OBSERVADORES DE ESTADO, 421 SISTEM AS DE SEG UIM IEN TO , 460 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SO LU CIO N ES, 474 PROBLEMAS, 510

Capítulo 7 Enfoque de ecuacion es polinom iales p a ra el diseño de siste m a s de control

517

7-1 7-2

INTROD UCCIÓN, 517 LA EC U A C IÓ N DIOFANTINA, 518

7-3 7-4

EJEM PLO ILUSTRATIVO, 522 EN FO Q U E DE EC U A C IO N ES POLINO M IALES PARA EL D ISEÑ O DE SISTEM AS DE CONTROL, 525 D ISEÑ O DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE EL AC O PLA M IEN TO A UN MODELO, 532 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SO LU CIO N ES, 540 PROBLEMAS, 562

7-5

Capítulo 8 S iste m a s de control óptim o cuad rático s 8-1 8-2 8-3 8-4

566

IN TRO D UCCIÓ N , 566 CONTROL ÓPTIMO CUADRÁTICO, 569 CONTROL ÓPTIMO CUADRÁTICO EN ESTADO ESTACIONARIO, 587 CONTROL ÓPTIMO CUADRÁTICO DE UN SISTEM A DE SEG U IM IEN TO , 596 PROBLEMAS DE EJEM PLO Y SO LU CIO N ES, 609 PROBLEMAS, 629

A p én d ice A A n á lisis v e cto r y m atrices

633

A-l

DEFIN ICIO NES, 633

A-2 A-3

DETERMINANTES, 633 IN V ERSIÓ N DE MATRICES, 635

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viii

C o n te n id o

A-4

REGLAS DE O PER A C IO N ES C O N MATRICES, 637

A-5 A-ó

VECTORES Y ANÁLISIS VECTORIAL, 643 VALORES PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y TRA N SFO RM A CIO N ES DE SIMILITUD, 649

A-7 A-8

FORM AS CUADRÁTICAS, 659 PSEUDOINVERSAS, 663 PROBLEMAS DE EJEM PLO Y SO LU CIO N ES, 666

A p én d ice B T e o ría d e la tra n sfo rm a d a z

681

B-l B-2 B-3

INTROD UCCIÓN, 681 TEOREM AS ÚTILES DE LA TRANSFORM ADA z, 681 TRA N SFO RM A CIÓ N INVERSA z Y EL M ÉTODO DE LA INTEGRAL DE

B-4

INVERSIÓN, 686 M ÉTODO DE LA TRANSFORM ADA z MODIFICADA, 691 PROBLEMAS DE EJEM PLO Y SO LU CIO N ES, 697

A p én d ice C D iseño po r ubicación de polos cuando la se ñ al d e control e s un ve cto r C-l C-2 C-3

INTROD UCCIÓN, 704 D ISC U SIÓ N PRELIMINAR, 704 D ISEÑ O POR U BIC AC IÓ N DE POLOS, 707 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SO LU CIO N ES, 718

B ib lio g ra fía

índice

730

735

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704

Prefacio

En este libro se presenta un tratamiento entendible sobre el análisis y diseño de sistemas de control en tiempo discreto. E l libro se escribió para utilizarse como texto para los cursos sobre sistemas de control en tiempo discreto o de control digital que se imparten ya sea en el último año de licenciatura o en el primer año de posgrado para estudiantes de ingeniería. En esta segunda edición, parte del material de la primera edición se ha omitido y se añadió material nuevo a lo largo del libro. La característica más significativa de esta edición es el tratamien­ to amplio acerca del diseño mediante ubicación de polos con observadores de orden reducido a través del enfoque en el espacio de estados (véase el capítulo 6) y el enfoque de ecuaciones polinomiales (véase el capítulo 7). En este libro todo el material se presenta de manera que el lector pueda seguir fácilmente todas las discusiones. Se incluye la información necesaria para entender los temas que se presentan (tal como la prueba de teoremas y los pasos que se siguen para la obtención de las ecuaciones importan­ tes relacionadas con el diseño de observadores y la ubicación de polos) con el fin de facilitar la comprensión de éstos. Los antecedentes teóricos para el diseño de sistemas de control se discuten en forma detallada. Una vez que se han entendido los aspectos teóricos, el lector puede utilizar ventajosamente M A T LA B para obtener las soluciones numéricas que involucran varios tipos de operaciones con matrices y vectores. Se supone que el lector está familiarizado con el material que se presenta en el libro del mismo autor Solving Control Engineering Problems with MATLAB (editado por Prentice-Hall) o su equivalente. Los requisitos para el lector son un curso introductorio de sistemas de control, un curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y estar familiarizado con M A T LA B (si el lector no está familia­ rizado con M A T LA B, éste se puede estudiar paralelamente).

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X

Prefacio

Debido a que este libro está escrito desde el punto de vista de ingeniería, la presentación del material hace énfasis en los conceptos básicos y evita de una manera cuidadosa los desarrollos matemáticos complejos. Todo el texto se ha organizado con el fin de presentar la teoría de control en tiempo discreto en una forma gradual. El libro está organizado en ocho capítulos y tres apéndices. Está formado como sigue: en el capítulo 1 se da una introducción a los sistemas de control en tiempo discreto. El capítulo 2 presenta la teoría de la transformada z necesaria para el estudio de los sistemas de control en tiempo discreto. En el capítulo 3 se discute el análisis en el plano z de los sistemas en tiempo discreto, en el que se incluye el muestreo mediante impulsos, la retención de datos, el teorema de muestreo, la función de transferencia pulso y los filtros digitales. E l capítulo 4 trata el diseño de sistemas de control en tiempo discreto mediante métodos convencionales. Este capítulo incluye el análisis de estabilidad de siste­ mas en lazo cerrado en el plano z, el análisis de las respuestas transitoria y en estado estacionario y el diseño basado en el método del lugar geométrico de las raíces, el método de respuesta en frecuencia y el método analítico. E l capítulo 5 presenta el análisis en el espacio de estados, incluyendo la representación de sistemas en tiempo discreto en dicho espacio, la matriz de transferencia pulso, un método de discretización y el análisis de estabilidad de Liapunov. En el capitulo 6 se discute el diseño por ubicación de polos y el diseño de observadores. Este capítulo contiene discusiones sobre controlabilidad, observabilidad, ubicación de polos, observadores de estados y sistemas de seguimiento. El capítulo 7 trata el enfoque de ecuaciones polinomiales en el diseño de siste­ mas de control. En este capítulo primero se estudia la ecuación Diofantina y entonces se pre­ senta el enfoque de ecuaciones polinomiales para el diseño de sistemas de control. Por último, se diseñan sistemas de control mediante el acoplamiento a un modelo utilizando el enfoque de ecuaciones polinomiales. E l capítulo 8 presenta el control óptimo cuadrático. Se estudian los problemas de control óptimo cuadrático tanto de dimensión finita como infinita. Este capítulo concluye con un problema de diseño basado en el control óptimo cuadrático resuelto con M A TLA B. El apéndice A presenta un resumen del análisis con matrices y vectores. En el apéndice B se dan los teoremas útiles de la teoría de la transformada z que no se presentaron en el capítulo 2, el método de la integral de inversión y el método de la transformada z modificada. En el apéndice C se discute el problema de diseño por ubicación de polos cuando la señal de control es una cantidad vectorial. Los ejemplos se presentan en puntos estratégicos a lo largo del libro para que el lector tenga un mejor entendimiento de los temas que se discuten. Además se proporciona un buen número de problemas resueltos (problemas A ) al final de cada capítulo, excepto en el capítulo 1. Estos proble­ mas representan una parte integral del texto. Se sugiere que el lector los estudie cuidadosamente para obtener un entendimiento profundo de los temas discutidos. Además, se presentan muchos proble­ mas propuestos (problemas B ) para que se utilicen como tarea o problemas de examen. La mayoría del material que se presenta en este libro se ha probado en clases en el último curso sobre sistemas de control a nivel licenciatura y el primero a nivel posgrado en la Universidad de Minnesota. Todo el material de este libro se puede cubrir en dos trimestres. En un curso de un semestre, el instructor tendrá cierta flexibilidad para seleccionar los temas a tratar. En un curso trimestral, es

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posible cubrir una buena parte de los primeros seis capítulos. Este libro también puede servir para ingenieros que deseen estudiar la teoría de control en tiempo discreto. Se debe dar reconocimiento a mis exalumnos, quienes resolvieron todos los problemas resuel­ tos (problemas A ) y los problemas propuestos (problemas B ) e hicieron un buen número de comen­ tarios constructivos acerca del material contenido en este libro.

Katsuhiko Ogata

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I Introducción a los sistem as de control en tiempo discreto

1-1 IN TRO D U C C IÓ N En arios recientes se ha incrementado el uso de controladores digitales en sistemas de control. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el desempeño óptimo — por ejemplo, en la forma de productividad máxima, beneficio máximo, costo mínimo o la utilización mínima de energía. Recientemente, la aplicación de control por computadora ha hecho posible el movimiento “ inteligente” en robots industriales, la optimización de economía de combustible en automóviles y el refinamiento en la operación de enseres y máquinas de uso doméstico, tales como hornos de microondas y máquinas de coser, entre otros. La capacidad en la toma de decisiones y la flexibilidad en los programas de control son las mayores ventajas de los sistemas de control digital. La tendencia actual de controlar los sistemas dinámicos en forma digital en lugar de analógica, se debe principalmente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo y a las ventajas de trabajar con señales digitales en lugar de señales en tiempo continuo.

Tipos de señales. Una señal en tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo continuo de tiempo. La amplitud puede tener un intervalo continuo de valores o solamente un núme­ ro finito de valores distintos. E l proceso de representar una variable por medio de un conjunto de valores distintos se denomina cuantificación y los valores distintos resultantes se denominan valores cuantificados. La variable cuantificada sólo cambia en un conjunto finito de valores distintos. Una señal analógica es una señal definida en un intervalo continuo de tiempo cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. La figura l- lo ) muestra una señal analógica en tiempo continuo y la figura 1-1b) una señal cuantificada en tiempo continuo (cuantificada sólo en amplitud).

1

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2

Introducción a los sistemas de control en tiempo discreto

Capítulo 1

x(r)

x(t)

d> Figura 1-1 a ) Señal analógica en tiempo continuo; b) señal cuantificada en tiempo continuo; c) señal de datos muestreados; d) señal digital.

Observe que la señal analógica es un caso especial de la señal en tiempo continuo. En la práctica, sin embargo, se emplea con frecuencia la terminología “ tiempo continuo” en lugar de “ analógica” . De esta forma, en la literatura, incluyendo este libro, los términos “ señal en tiempo continuo” y “ señal analógica” se intercambian de manera frecuente, aunque estrictamente hablando no son del todo sinónimos. Una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente t está cuantificada). En una señal en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo, entonces la señal se denomina señal de datos muestreados. Una señal de datos muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores discretos de tiempo. Ésta es una señal de pulsos modulada en amplitud. La figura 1-1c) muestra una señal de datos muestreados. Una señal digital es una señal en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha señal se puede representar mediante una secuencia de números, por ejemplo, en la forma de números binarios.

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Sección 1-1

3

Introducción

(En la práctica, muchas señales digitales se obtienen mediante el muestreo de señales analógicas que después se cuantifícan; la cuantifícación es lo que permite que estas señales analógicas sean leídas corno palabras binarias finitas.) La figura 1-1d) muestra una señal digital. Es claro que está cuantificada tanto en amplitud como en tiempo. El uso de un controlador digital requiere de la cuantifícación de las señales tanto en amplitud como en tiempo. El término “ señal en tiempo discreto’’ es más general que el término “ señal digital” o que el término “ señal de datos muestreados” . De hecho, una señal en tiempo discreto se puede referir ya sea a una señal digital o a una señal de datos muestreados. En la práctica, los términos “ tiempo discreto” y "digital” a menudo se intercambian. Sin embargo, el término “ tiempo discreto” se emplea en el estudio teórico, mientras que el término “ digital” se utiliza en conexión con las realizaciones de hardware o software. En ingeniería de control, el objeto controlado es una planta o proceso. Éste podría ser una planta o proceso físico o un proceso no físico como un proceso económico. La mayoría de las plantas o procesos físicos involucran señales en tiempo continuo; por lo tanto, si los sistemas de control incluyen controladores digitales, se hace necesaria la conversión de señales (de analógico a digital y de digital a analógico). Existen técnicas estándar para realizar dichas conversiones de señales; las que se estudiarán en la sección 1-4. Hablando con cierta holgura, los términos como sistemas de control en tiempo discreto, siste­ mas de control de datos muestreados y control digital implican el mismo tipo o tipos muy similares de sistemas de control. Hablando en forma precisa, por supu...