06. TSS, Lab06 - Análisis De Fourier En Tiempo Continuo y Discreto En Matlab PDF

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PRÁCTICA No. 6 ANÁLISIS DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO EN MATLAB® 1. OBJETIVOS 1.1.

Objetivo General

• Realizar el análisis de Fourier de señales en tiempo continuo y discreto, utilizando MATLAB®. 1.2.

Objetivos Específicos

• Conocer los comandos, algoritmos y funciones necesarias para realizar el análisis de Fourier de señales, en tiempo continuo y discreto, en MATLAB®. • Identificar las características del análisis de Fourier en tiempo continuo y discreto. 2. JUSTIFICACIÓN La realización de esta práctica le permitirá al estudiante conocer y aplicar los conocimientos teóricos vistos en clase sobre el análisis de Fourier en tiempo continuo y discreto. 3. MARCO TEÓRICO Un concepto fundamental en el estudio de señales y que se obtiene mediante el análisis de Fourier, es el de espectro de frecuencia o contenido de frecuencia de una señal, que es la representación en frecuencia de señales periódicas y no periódicas indicando su distribución de energía o la energía que posee en cada componente de frecuencia. Para una señal periódica el espectro es discreto y se lo conoce como espectro de línea, ya que su potencia se concentra en frecuencias múltiplos de una llamada frecuencia fundamental, directamente relacionada con el periodo de la señal. Por otra parte, el espectro de una señal aperiódica es una función continua de frecuencia, ya que su potencia está distribuida en un intervalo definido por las componentes de frecuencia máxima y mínima de la señal. Por lo general, el espectro es una función de la variable frecuencia valuada en complejos, y, por lo tanto, se especifica en términos de un espectro de amplitud y un espectro de fase. El concepto de espectro es similar al utilizado en la óptica de la luz, o en la ciencia de los materiales para los metales, cada uno de ellos indica la distribución de la energía sobre la frecuencia. La representación de frecuencia de señales y sistemas es extremadamente importante en el procesamiento de señales y en comunicaciones. Explica el filtrado, la modulación de mensajes en un sistema de comunicación, el significado del ancho de banda y cómo diseñar filtros. Del mismo modo, la representación de frecuencia resulta esencial en el muestreo de señales analógicas, el puente entre el procesamiento de señales analógicas y digitales, entre otros. Teoría de Señales y Sistemas – Lab06, Análisis De Fourier En Tiempo Continuo Y Discreto En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel) Página 1 de 16

3.1.

Representaciones de Fourier para cuatro clases de señales

Hay cuatro representaciones de Fourier distintas, cada una aplicable a una clase diferente de señal. Estas cuatro clases se definen por medio de las propiedades de periodicidad de una señal y dependiendo de si es en tiempo continuo o discreto. Las señales periódicas tienen representaciones mediante las series de Fourier que pueden aplicarse tanto a señales continuas (FS) como a señales discretas (DTFS). Las señales no periódicas tienen representaciones mediante la transformada de Fourier que puede aplicarse tanto a señales continuas (FT) como a señales discretas (DTFT). La tabla 1 ilustra la relación entre las propiedades de tiempo de una señal y la representación de Fourier apropiada. Propiedad de tiempo Continua Discreta

Periódica Serie de Fourier (FS) Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)

No periódica Transformada de Fourier (FT) Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

Tabla 1. Relación entre las propiedades de una señal y la representación de Fourier apropiada.

3.2.

La Serie de Fourier en tiempo continuo

La serie de Fourier describe una señal periódica 𝑥𝑝 (𝑡) como una suma (combinación lineal), en la mezcla correcta, de armónicos (o senoides) en la frecuencia fundamental 𝑓0 de 𝑥𝑝 (𝑡) y sus múltiplos 𝑘𝑓0 . La selección de señales armónicas también trae otras ventajas, permite un esquema simple, congruente y único para encontrar los coeficientes (la proporción correcta o factor de ponderación) de cada componente. De hecho, una suma de senoides que describe una señal periódica se conoce como serie de Fourier sólo si los coeficientes se seleccionan de acuerdo con este esquema. 3.2.1. Las tres formas de una serie de Fourier en tiempo continuo Existen tres formas para representar una señal periódica en términos de la serie de Fourier: la forma trigonométrica, la forma polar y la forma exponencial. La forma trigonométrica de la serie de Fourier es simplemente una combinación lineal de senos y cosenos con frecuencias iguales a los múltiplos de su frecuencia fundamental 𝑓𝑜 ó 𝜔0 , donde 𝜔0 = 2𝜋/𝑇 = 2𝜋𝑓0 . ∞

𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑎0 + ∑ [𝑎𝑘 cos(𝑘𝜔0 𝑡) + 𝑏𝑘 sin(𝑘𝜔0 𝑡)] 𝑘=1

Teoría de Señales y Sistemas – Lab06, Análisis De Fourier En Tiempo Continuo Y Discreto En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel) Página 2 de 16

El término constante 𝑎0 toma en cuenta cualquier nivel de DC en 𝑥𝑝 (𝑡), y 𝑎𝑘 y 𝑏𝑘 se conocen como los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier. Para cada frecuencia armónica 𝑘𝑓0 existe un par de términos (un seno y un coseno). Para encontrar los coeficientes de la serie de Fourier, basta con examinar sólo un periodo de 𝑥𝑝 (𝑡), puesto que una representación que describa a 𝑥𝑝 (𝑡) sobre un periodo garantiza la misma representación sobre los demás periodos y, por tanto, para toda la señal. Así que, 𝑎0 =

1 𝑡+𝑇 ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑡

𝑎𝑘 =

2 𝑡+𝑇 ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)cos(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 𝑡

2 𝑡+𝑇 𝑏𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)sin(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 𝑡

La forma polar combina cada par seno – coseno con la frecuencia 𝑘𝑓0 es una sola senoide: ∞

𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑐0 + ∑ 𝑐𝑘 cos(𝑘𝜔0 𝑡 + 𝜃𝑘 ) 𝑘=1

Es este caso, 𝑐0 representa el nivel de DC en 𝑥𝑝 (𝑡) , y 𝑐𝑘 y 𝜃𝑘 reciben el nombre de coeficientes polares. Así que, 𝑐0 = 𝑎0

𝑐𝑘 ∠𝜃𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘

𝑐𝑘 = √𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘2

𝜃𝑘 = − tan−1 (

𝑏𝑘 ) 𝑎𝑘

La forma exponencial invoca la relación de Euler para expresar cada par seno – coseno de frecuencia 𝑘𝑓0 con exponenciales complejas en ±𝑘𝑓0 : ∞

𝑥𝑝 (𝑡) = ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗𝑘𝜔0 𝑡 𝑘=−∞

En este caso, el índice 𝑘 varía de −∞ a ∞ y 𝑋[𝑘] representa los coeficientes complejos de la serie de Fourier. Así que, 𝑋[0] = 𝑎0

𝑋[𝑘] =

1 𝑡+𝑇 ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)𝑒 −𝑗𝑘𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 𝑡

𝑋[−𝑘] = 𝑋∗ [𝑘]

Es posible a partir de los coeficientes 𝑋[𝑘] de la serie de Fourier determinar 𝑥𝑝 (𝑡), por tanto, se denota la siguiente relación: 𝑥𝑝 (𝑡) ← 𝐹𝑆; 𝜔0 → 𝑋[𝑘]. La relación entre las tres formas de la serie de Fourier y sus coeficientes se representa en la tabla 2. Teoría de Señales y Sistemas – Lab06, Análisis De Fourier En Tiempo Continuo Y Discreto En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel) Página 3 de 16

Forma de la FS

𝑥𝑝 (𝑡) ← 𝐹𝑆; 𝜔0 → 𝑋[𝑘]

Ecuación General

𝑎0 =

∞

Trigonométrica

𝑥𝑝 (𝑡 ) = 𝑎0 + ∑[𝑎𝑘 cos(𝑘𝜔0 𝑡 ) 𝑘=1

+ 𝑏𝑘 sin(𝑘𝜔0 𝑡)]

∞

Polar

𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑐0 + ∑ 𝑐𝑘 cos(𝑘𝜔0 𝑡 + 𝜃𝑘 ) 𝑘=1

𝑡+𝑇

𝑥𝑝 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑡 2 𝑡+𝑇 𝑎𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)cos(2𝜋𝑘𝑓0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 𝑡 2 𝑡+𝑇 𝑏𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)sin(2𝜋𝑘 𝑓0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 𝑡 1 𝑡+𝑇 𝑐0 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑡 𝑐𝑘 ∠𝜃𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘 ∫

𝑐𝑘 = √𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘2

𝜃𝑘 = − tan−1 ( 𝑋[0] =

1

𝑡+𝑇

𝑋[0] = 𝑎0 = 𝑐0 𝑋[𝑘] = 0.5(𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘 ) 𝑋[𝑘] = 0.5𝑐𝑘 ∠𝜃𝑘 𝑋[𝑘] = 0.5𝑐𝑘 𝑒 𝑗𝜃𝑘 𝑎𝑘 = 2Re{𝑐𝑘 } 𝑏𝑘 = −2Im{𝑐𝑘 }

𝑏𝑘 ) 𝑎𝑘

𝑥𝑝 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑡 1 𝑡+𝑇 𝑋[𝑘] = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡)𝑒 −𝑗𝑘𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 𝑡 𝑋[−𝑘] = 𝑋 ∗ [𝑘]

∞

Exponencial

1

Relación

Coeficientes

𝑥𝑝 (𝑡) = ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘=−∞

∫

Tabla 2. Relación entre las tres formas de la serie de Fourier en tiempo continuo y sus coeficientes.

3.2.2. Simplificaciones mediante la simetría de la señal La serie de Fourier de una señal periódica 𝑥𝑝 (𝑡) sin ninguna simetría contiene componentes impares (senos) y pares (cosenos y el término DC). Si 𝑥𝑝 (𝑡) tiene simetría par, entonces debe estar formada sólo por términos de simetría par (de DC y cosenos); de aquí que 𝑏𝑘 = 0 y 𝑋[𝑘] sea puramente real con 𝑋[𝑘] = 𝑎𝑘 /2 . Por otra parte, si 𝑥𝑝 (𝑡) tiene simetría impar, entonces sólo debe estar formada por términos de simetría impar (senos); de aquí que 𝑎𝑘 = 𝑎0 = 0 y 𝑋[𝑘] sea puramente imaginario con 𝑋[𝑘] = −𝑗𝑏𝑘 = 2 . Finalmente, si 𝑥𝑝 (𝑡) tiene simetría de media onda, entonces debe contener únicamente los armónicos que tiene índices impares, pues estos representan la simetría de media onda. En la tabla 3 se muestran los efectos de la simetría de la señal sobre los coeficientes de la serie de Fourier. Simetría de la señal

Coeficientes

Simetría par en 𝑥𝑝 (𝑡)

4 2 𝑎𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡) cos(𝑘𝜔 0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑏𝑘 = 0 𝑋[𝑘] 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝜃𝑘 = 0 ó 𝜋

𝑇

𝑇

Simetría impar en 𝑥𝑝 (𝑡)

𝑎 0 = 𝑎𝑘 = 0

4 2 𝑏𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡) sin(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑋[𝑘] 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜

𝜃𝑘 =

𝜋 𝜋 ó− 2 2

Teoría de Señales y Sistemas – Lab06, Análisis De Fourier En Tiempo Continuo Y Discreto En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel) Página 4 de 16

𝑇

Simetría de media onda en 𝑥𝑝 (𝑡)

4 2 𝑎𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡) cos(𝑘𝜔 0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇

4 2 𝑏𝑘 = ∫ 𝑥𝑝 (𝑡) sin(𝑘𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 0

(𝑘 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) (𝑘 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟)

Tabla 3. Efectos de la simetría de la señal sobre los coeficientes de la serie de Fourier en tiempo continuo.

3.2.3. Espectro de señales periódicas Los términos análisis espectral o análisis armónico se usa a menudo para describir el análisis de una señal periódica 𝑥𝑝 (𝑡) por medio su serie de Fourier. Las cantidades 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 , 𝑐𝑘 , 𝜃𝑘 o 𝑋[𝑘] describen los coeficientes espectrales de 𝑥𝑝 (𝑡). Estos coeficientes pueden graficarse como una función del índice armónico 𝑘, o 𝑘𝑓0 (hertz), o 𝑘𝜔0 (rad/seg), como se muestra en la figura 1; estas gráficas se conocen como espectros o graficas espectrales.

Figura 1. Diferentes maneras de dibujar las gráficas espectrales de una serie de Fourier.

El espectro de magnitud y el espectro de fase describen las gráficas de magnitud y de fase de cada armónico. Estos espectros se trazan como señales discretas y en ocasiones también se les conoce como espectros de línea. Ahora, el término espectros unilaterales se refiere a gráficas de frecuencias positivas ( 𝑘 ≥ 0 ) y el término espectros bilaterales se refiere a gráficas para toda 𝑘, es decir, todas las frecuencias, positivas y negativas. Un ejemplo de espectro bilateral puede observarse en la figura 2.

𝜋

𝜋

Figura 2. Espectro de magnitud y fase para la señal 𝑥(𝑡) = 3 cos ቀ 2 𝑡 + 4 ቁ. Teoría de Señales y Sistemas – Lab06, Análisis De Fourier En Tiempo Continuo Y Discreto En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel) Página 5 de 16

3.3.

La serie de Fourier en tiempo discreto

Siguiendo una analogía con la serie de Fourier de tiempo continuo, en la tabla 4 se observa la representación mediante la serie de Fourier en tiempo discreto para una señal periódica 𝑥𝑝 [𝑛]; definiendo su frecuencia fundamental como 𝑁0 ó Ω0 , donde Ω0 = 2𝜋𝑚/𝑁, para 𝑚 y 𝑁 enteros. Forma de la DTFS

𝑥𝑝 [𝑛] ← 𝐷𝑇𝐹𝑆; Ω0 → 𝑋[𝑘] Ecuación General Coeficientes 𝑛+𝑁−1

𝑛+𝑁−1

Trigonométrica

𝑥𝑝 [𝑛] = 𝑎0 + ∑ [𝑎𝑘 cos(𝑘Ω0 𝑛) 𝑘=𝑛

+ 𝑏𝑘 sin(𝑘Ω0 𝑛)]

Polar

𝑛+𝑁−1

𝑥𝑝 [𝑛] = 𝑐0 + ∑ 𝑐𝑘 cos(𝑘Ω0 𝑛 + 𝜃𝑘 ) 𝑘=𝑛

1 𝑎0 = ∑ 𝑥𝑝 [𝑛] 𝑁

𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 = 𝑐0 =

𝑛=𝑛 𝑛+𝑁−1

2 ∑ 𝑥𝑝 [𝑛] cos(𝑘Ω0 𝑛) 𝑁 𝑛=𝑛 𝑛+𝑁−1

2 ∑ 𝑥𝑝 [𝑛] sin(𝑘Ω0 𝑛) 𝑁 𝑛=𝑛 𝑛+𝑁−1

1 ∑ 𝑥𝑝 [𝑛] 𝑁 𝑛=𝑛

𝑐𝑘 ∠𝜃𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘 𝑐𝑘 = √𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘2 𝜃𝑘 = − tan−1 (

𝑏𝑘 ) 𝑎𝑘

𝑛+𝑁−1

Exponencial

𝑛+𝑁−1

𝑥𝑝 [𝑛] = ∑ 𝑋[𝑘] 𝑒 𝑗𝑘Ω0 𝑛 𝑘=𝑛

1 ∑ 𝑥𝑝 [𝑛] 𝑋[0] = 𝑁 𝑋[𝑘] =

𝑛=𝑛 𝑛+𝑁−1

1 ∑ 𝑥𝑝 [𝑛]𝑒 −𝑗𝑘Ω0 𝑛 𝑁 𝑛=𝑛

𝑋[−𝑘] = 𝑋∗ [𝑘]

Tabla 4. Representación de las tres formas de la serie de Fourier en tiempo discreto y sus coeficientes.

3.4.

La transformada de Fourier en tiempo continuo

Una característica importante de la representación de la serie de Fourier de una señal periódica es la descripción de dicha señal en términos del contenido de frecuencia dado por las componentes sinusoidales. Es entonces cuando surge la pregunta de si las señales no periódicas, también conocidas como señales sin periodo, pueden describirse en términos de contenidos de frecuencia. La respuesta es sí, y la construcción analítica para hacerlo es la transformada de Fourier. Las componentes de frecuencia de señales no periódicas están Teoría de Señales y Sistemas – Lab06, Análisis De Fourier En Tiempo Continuo Y Discreto En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel) Página 6 de 16

definidas para todos los valores reales de la variable de frecuencia, y no sólo para los valores discretos como en el caso de una señal periódica. En otras palabras, el espectro para una señal no periódica, no es el espectro de línea, es un espectro continuo. Dada una señal 𝑥(𝑡), la transformada de Fourier 𝑋(𝜔) de 𝑥(𝑡) está definida para que sea la función de frecuencia: ∞

𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥 (𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 −∞

−∞...