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Warning: TT: undefined function: 32 Teoría de Señales y Sistemas – Lab03, Señales Pares E Impares En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)PRÁCTICA No. 3 SEÑALES PARES E IMPARES EN MATLAB® OBJETIVOS Objetivo General Calcular las partes par e impar de una señal utilizando MATLAB®. Objetivos Espec...

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PRÁCTICA No. 3 SEÑALES PARES E IMPARES EN MATLAB® 1. OBJETIVOS 1.1.

Objetivo General

• Calcular las partes par e impar de una señal utilizando MATLAB®. 1.2.

Objetivos Específicos

• Identificar si una señal es par o impar. • Conocer los comandos, algoritmos y funciones necesarias para calcular las partes par e impar de señales en MATLAB®. • Determinar las partes par e impar de señales en tiempo discreto y continuo, utilizando MATLAB®. 2. JUSTIFICACIÓN La realización de esta práctica le permitirá al estudiante conocer y aplicar los conocimientos teóricos vistos en clase sobre la identificación de las partes par e impar de señales en tiempo continuo y discreto. 3. MARCO TEÓRICO 3.1.

Señales pares e impares

Una señal 𝑥(𝑡) o 𝑥[𝑛], se dice que será una señal par si satisface la condición: 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡) para todo 𝑡 𝑥[−𝑛] = 𝑥[𝑛] para todo 𝑛 La señal 𝑥(𝑡) o 𝑥[𝑛] se dice que será una señal impar si satisface la condición: 𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡) para todo 𝑡 𝑥[−𝑛] = −𝑥[𝑛] para todo 𝑛 En otras palabras, las señales pares son simétricas en torno al eje vertical u origen del tiempo, en tanto que las señales impares son asimétricas en torno al origen del tiempo; un ejemplo de estas señales se observa en la figura 1. Las definiciones anteriores de señales par e impar suponen que las señales son de valor real. Sin embargo, debe tenerse cuidado cuando la señal de interés es de valor complejo; en Teoría de Señales y Sistemas – Lab03, Señales Pares E Impares En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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tal caso es posible hablar de simetría conjugada. Una señal de valor complejo 𝑥(𝑡) se dice que será conjugada simétrica si satisface la condición: 𝑥(−𝑡) = 𝑥 ∗(𝑡), donde el asterisco denota complejo conjugado Sea 𝑥(𝑡) = 𝑎(𝑡) + 𝑗𝑏(𝑡), donde 𝑎(𝑡) es la parte real de 𝑥(𝑡), 𝑏(𝑡) es la parte imaginaria y 𝑗 es la raíz cuadrada de −1. El complejo conjugado de 𝑥(𝑡) es entonces: 𝑥 ∗(𝑡) = 𝑎(𝑡) − 𝑗𝑏(𝑡). De acuerdo a lo anterior se concluye que la señal de valor complejo es conjugada simétrica si su parte real es par y la parte imaginaria es impar; un análisis similar se aplica para señales discretas.

Figura 1. 𝒂) Señal en par 𝑥1 (𝑡). 𝒃) Señal impar 𝑥2 (𝑡).

3.2.

Partes par e impar de una señal

Un hecho importante es que cualquier señal, que no sea par ni impar, puede ser expresada como una suma de dos señales, una de las cuales es la parte par y la otra la parte impar. Para ver esto, considere la señal: 1 [𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] 2 1 𝑥𝑝 [𝑛] = {𝑥 [𝑛] + 𝑥[−𝑛]} 2 𝑥𝑝 (𝑡) =

Donde 𝑥𝑝 (𝑡) se conoce como la parte par de 𝑥(𝑡). En forma similar, la parte impar de 𝑥(𝑡) está dada por: 1 𝑥𝑖 (𝑡) = [𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡)] 2 1 𝑥𝑖 [𝑛] = {𝑥 [𝑛] − 𝑥[−𝑛 ]} 2 Teoría de Señales y Sistemas – Lab03, Señales Pares E Impares En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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Es muy sencillo comprobar que 𝑥(𝑡) es la suma de las dos. Para el caso de tiempo discreto se cumplen definiciones completamente análogas. En resumen, tenemos las siguientes identidades: 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑝 (𝑡) + 𝑥𝑖 (𝑡) 𝑥[𝑛] = 𝑥𝑝 [𝑛] + 𝑥𝑖 [𝑛] Observe que la suma de dos señales pares es par y de dos señales impares es impar, y también que el producto de dos señales pares o dos impares es una señal par y que el producto de una señal par y una señal impar es una señal impar; también se puede demostrar que la derivada de cualquier función par es impar, y la derivada de una función par es impar (la demostración de todo lo anterior se deja como un ejercicio). 4. TRABAJO PREVIO Resuelva de forma teórica los siguientes ejercicios: a. Determine las partes par e impar de las señales siguientes: • 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) • •

𝜋

𝑥[𝑛] = 𝑒 𝑗(Ω0 𝑛+ 2 ) 𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛]

b. Determine y grafique las partes par e impar de la señal mostrada en la figura. Identifique sus partes cuidadosamente.

5. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Partes par e impar de una señal Sintaxis • syms var1… varN • sym • double(x) Teoría de Señales y Sistemas – Lab03, Señales Pares E Impares En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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• • •

subs(f, var, valor) fplot(f,xinterval) plot(x,y)

Descripción syms permite crear variables y funciones simbólicas, y es muy necesario para poder realizar operaciones matemáticas no numéricas; esto debido a que los cálculos en MATLAB® por defecto se realizan en formato numérico. Hay otros comandos que podrían necesitarse en ese mismo contexto como sym que convierte una variable numérica a simbólica y double que convierte a variable simbólica a numérica. subs(f, var, valor) se utiliza para hacer una sustitución simbólica simple de var en valor en la expresión f; para el caso que compete a esta práctica utilizaremos el comando subs para evaluar una función en un punto distinto a 𝑡. Finalmente, se hace necesario la utilización del comando fplot para dibujar señales definidas en forma simbólica, y que podemos indicar como parámetro el intervalo donde queremos ver la señal; en su contraparte, para dibujar señales definidas en forma numérica se usa el comando plot definiendo en sus parámetros la señal y la variable de tiempo en cada eje correspondiente. Ejemplo 1: Señal de tiempo continuo Calcule la parte par e impar de la siguiente señal continua:

Comandos Es posible generar la señal utilizando cualquier combinación de comandos de los descritos en la práctica 1. Es importante mencionar que si se desea trabajar con variables simbólicas para los cálculos matemáticos de las partes par e impar se hace imprescindible la utilización de comandos propios de MATLAB® pues estos permiten realizar operaciones con variables simbólicas. Las funciones de la adsp toolbox quedan excluidas por su incapacidad de trabajar con variables simbólicas. A continuación, se muestran dos posibles algoritmos que permiten dar solución al problema planteado, uno utilizando variables simbólicas y otro utilizando variables numéricas. %% Ejemplo 1: Calculo de la parte par e impar de una señal análoga syms t; %Variable simbólica de tiempo x = (t+2)*(heaviside(t+2)-heaviside(t+1))-t*(heaviside(t+1)heaviside(t))+t*(heaviside(t)-heaviside(t-1))+heaviside(t-1); %Generación de señal xp = (x + subs(x,t,-t))/2; %Calculo de la parte par de la señal xi = (x - subs(x,t,-t))/2; %Calculo de la parte impar de la señal Teoría de Señales y Sistemas – Lab03, Señales Pares E Impares En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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xr = xp+xi; %Reconstrución de la señal original a partir de la suma de sus partes par e impar subplot(2,2,1),fplot(x,[-3 3]),grid on,title('Señal Original x(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica señal original subplot(2,2,2),fplot(xr,[-3 3]),grid on,title('Señal Reconstruida x(t)=xp(t)+xi(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica señal reconstruida subplot(2,2,3),fplot(xp,[-3 3]),grid on,title('Parte Par xp(t) de la Señal x(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica parte par subplot(2,2,4),fplot(xi,[-3 3]),grid on,title('Parte Impar xi(t) de la Señal x(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica parte impar ___________________________________________________________________________________ %% Ejemplo 1: Calculo de la parte par e impar de una señal análoga adsp toolbox t = -3:0.005:3; %Variable de tiempo x = (t+2).*(ustep(t+2)-ustep(t+1))-t.*(ustep(t+1)-ustep(t))+t.*(ustep(t)-ustep(t1))+ustep(t-1); %Generación de señal xp = (x + x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte par de la señal xi = (x - x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte impar de la señal xr = xp+xi; %Reconstrución de la señal original a partir de la suma de sus partes par e impar subplot(2,2,1),plot(t,x),grid on,title('Señal Original x(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica señal original subplot(2,2,2),plot(t,xr),grid on,title('Señal Reconstruida x(t)=xp(t)+xi(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica señal reconstruida subplot(2,2,3),plot(t,xp),grid on,title('Parte Par xp(t) de la Señal x(t)'),ylim([0.1 1.1]) %Grafica parte par subplot(2,2,4),plot(t,xi),grid on,title('Parte Impar xi(t) de la Señal x(t)'),ylim([-0.1 1.1]) %Grafica parte impar

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Ejemplo 2: Señal de tiempo discreto Calcule la parte par y la parte impar de la siguiente señal discreta:

Comandos En este caso, por tratarse de una secuencia discreta, no es necesario utilizar el cálculo simbólico, y basta con emplear el cálculo matricial. Esto quiere decir que las secuencias discretas se tratan, en MATLAB®, como vectores. Al utilizar vectores para representar secuencias surge un problema cuando esas secuencias son de longitud infinita, es decir, con infinitas muestras no nulas, al ser imposible trabajar con la totalidad de la señal. %% Ejemplo 2: Calculo de la parte par e impar de una señal discreta adsp toolbox n = -5:5; x = -1.*ustep(n+5)+2.*ustep(n); xp = (x + x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte par de la señal xi = (x - x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte impar de la señal xr = xp+xi; %Reconstrución de la señal original a partir de la suma de sus partes par e impar subplot(2,2,1),stem(n,x),grid on,title('Señal Original x[n]'),ylim([-1.1 1.1]) %Grafica señal original subplot(2,2,2),stem(n,xr),grid on,title('Señal Reconstruida x[n]=xp[]n+xi[n]'),ylim([-1.1 1.1]) %Grafica señal reconstruida subplot(2,2,3),stem(n,xp),grid on,title('Parte Par xp[n] de la Señal x[n]'),ylim([1.1 1.1]) %Grafica parte par subplot(2,2,4),stem(n,xi),grid on,title('Parte Impar xi[n] de la Señal x[n]'),ylim([-1.1 1.1]) %Grafica parte impar

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Ejemplo 3: Programando una función en MATLAB® Nos plantemos ahora automatizar los cálculos anteriores, programando funciones que tomen como entrada una señal continua o una señal discreta cualquiera, y ofrezca como salida sus partes par e impar, visualizando, además, las cuatro señales contando con la comprobación (la suma de su parte par e impar). Para programar funciones en MATLAB® se debe crear un fichero cuya primera línea es: function [VarSal1,VarSal2,...] = NombreFuncion(VarEnt1,VarEnt2,...) Luego, guardar ese fichero con la extensión .m. A partir de ese momento, existe una nueva función de MATLAB® llamada NombreFuncion que podemos ejecutar desde la línea de comandos, como cualquiera de las predefinidas en MATLAB®, siempre y cuando estemos en el directorio en el que guardamos el fichero, pasándole los correspondientes valores de las variables de entrada, y obteniendo los valores de las diferentes variables de salida (si es que las hay, en ambos casos). Para el ejemplo que nos ocupa, vamos a crear una función llamada ParImparCon que permitirá calcular las partes par e impar de una señal continua definida simbólicamente. Para ello, copie las siguientes sentencias en un fichero nuevo, desde el editor de MATLAB®, y guárdelo con el nombre ParImparCon.m: function ParImparCon(x,I) %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % PROPÓSITO: % Programa que calcula las partes Par e Impar de una Señal Continua, % visualizando además, las cuatro señales (La señal original, la parte par, % la parte impar y la suma de la parte par e impar) % % USO: % ParImparCon(x,I) % % ARGUMENTOS DE ENTRADA: % x ---> Señal Continua. % I ---> Intervalo (de la variable independiente) donde se representarán % las señales. Ej: [-3 3] % % ARGUMENTOS DE SALIDA: NO HAY % % COMENTARIOS: % La señal 'x' debe ser una función simbólica, de una única variable % independiente, que debe ser 't'. % % VER TAMBIÉN: % ParImparDis ParImparConN %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % (C) NOMBRE ALUMNO, 2017. % Versión 1.0 %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" syms t;% Definición de variable independiente simbólica. xPAR = (x + subs(x,t,-t))/2; % Parte Par de la señal. xIMPAR = (x - subs(x,t,-t))/2; % Parte Impar de la señal. xSUMA = xPAR + xIMPAR; %Reconstrucción de la señal original F = figure(1); set(F,'name','PARTE PAR Y PARTE IMPAR (SEÑALES CONTINUAS)'); subplot(2,2,1),fplot(x,I),grid on,title('SEÑAL ORIGINAL x(t)'); %Grafica señal Teoría de Señales y Sistemas – Lab03, Señales Pares E Impares En MATLAB® (@Autor Ángelo Joseph Soto Vergel)

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original subplot(2,2,2),fplot(xSUMA,I),grid on,title('SEÑAL RECONSTRUIDA x(t)=xp(t)+xi(t)'); %Grafica señal reconstruida subplot(2,2,3),fplot(xPAR,I),grid on,title('PARTE PAR xp(t) DE LA SEÑAL x(t)'); %Grafica parte par subplot(2,2,4),fplot(xIMPAR,I),grid on,title('PARTE IMPAR xi(t) DE LA SEÑAL x(t)'); %Grafica parte impar Ahora, vamos a crear una función llamada ParImparConN que permitirá calcular las partes par e impar de una señal continua definida numéricamente. Para ello, copie las siguientes sentencias en un fichero nuevo, desde el editor de MATLAB®, y guárdelo con el nombre ParImparConN.m: function ParImparConN(x,t) %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % PROPÓSITO: % Programa que calcula las partes Par e Impar de una Señal Continua, % visualizando además, las cuatro señales (La señal original, la parte par, % la parte impar y la suma de la parte par e impar) % % USO: % ParImparCon(x,I) % % ARGUMENTOS DE ENTRADA: % x ---> Señal Continua. % t ---> Vector temporal para definir la señal continua Ej: [-3:0.05:3] % % ARGUMENTOS DE SALIDA: NO HAY % % COMENTARIOS: % La señal 'x' debe ser una función definida numéricamente, de una única variable % independiente, que debe ser 't'. % % VER TAMBIÉN: % ParImparDis ParImparCon %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % (C) NOMBRE ALUMNO, 2017. % Versión 1.0 %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" xPAR = (x + x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte par de la señal xIMPAR = (x - x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte impar de la señal xSUMA = xPAR + xIMPAR; %Reconstrucción de la señal original F = figure(1); set(F,'name','PARTE PAR Y PARTE IMPAR (SEÑALES CONTINUAS)'); subplot(2,2,1),plot(t,x),grid on,title('SEÑAL ORIGINAL x(t)'); %Grafica señal original subplot(2,2,2),plot(t,xSUMA),grid on,title('SEÑAL RECONSTRUIDA x(t)=xp(t)+xi(t)'); %Grafica señal reconstruida subplot(2,2,3),plot(t,xPAR),grid on,title('PARTE PAR xp(t) DE LA SEÑAL x(t)'); %Grafica parte par subplot(2,2,4),plot(t,xIMPAR),grid on,title('PARTE IMPAR xi(t) DE LA SEÑAL x(t)'); %Grafica parte impar

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Finalmente, vamos a crear una función llamada ParImparDis que permitirá calcular las partes par e impar de una señal discreta. Para ello, copie las siguientes sentencias en un fichero nuevo, desde el editor de MATLAB®, y guárdelo con el nombre ParImparDis.m: function ParImparDis(x,n) %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % PROPÓSITO: % Programa que calcula las partes Par e Impar de una Señal Discreta, % visualizando además, las cuatro señales (La señal original, la parte par, % la parte impar y la suma de la parte par e impar) % % USO: % ParImparDis(x,n) % % ARGUMENTOS DE ENTRADA: % x ---> Muestras de la Señal Discreta. % n ---> Vector temporal discreto a que se refieren las muestras. Ej: [-3:3] % % ARGUMENTOS DE SALIDA: NO HAY % % COMENTARIOS: % Las muestras de la señal 'x' deben corresponder estar centradas respecto % del origen, esto es, el vector 'n' debe ser de la forma: [-L...0...L] % % VER TAMBIÉN: % ParImparCon ParImparConN %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" % (C) NOMBRE ALUMNO, 2017. % Versión 1.0 %"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" xPAR = (x + x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte par de la señal xIMPAR = (x - x(end:-1:1))/2; %Calculo de la parte impar de la señal xSUMA = xPAR+xIMPAR; %Reconstrución de la señal original a partir de la suma de sus partes par e impar F = figure(1); set(F,'name','PARTE PAR Y PARTE IMPAR (SEÑALES DISCRETAS)'); subplot(2,2,1),stem(n,x),grid on,title('SEÑAL ORIGINAL x[n]'); %Grafica señal original subplot(2,2,2),stem(n,xSUMA),grid on,title('SEÑAL RECONSTRUIDA x[n]=xp[]n+xi[n]'); %Grafica señal reconstruida subplot(2,2,3),stem(n,xPAR),grid on,title('PARTE PAR xp[n] DE LA SEÑAL x[n]'); %Grafica parte par subplot(2,2,4),stem(n,xIMPAR),grid on,title('PARTE IMPAR xi[n] DE LA SEÑAL x[n]'); %Grafica parte impar;

Partes Par e Impar De Una Señal Con ADSP Toolbox Sintaxis • [E,O,T]=evenodd(X,tn)

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Descripción evenodd genera la parte par, E, e impar, O, de X durante una duración simétrica T, tn es el índice de tiempo para X. tn es opcional y su valor por defecto es un vector de tiempo que inicia en 0 e incrementa a intervalos unitarios. Por otra parte, si el espaciamiento de muestreo es 1, se supone una señal de tiempo discreto. Ejemplo 4: Partes par e impar con ADSP Toolbox Dar solución a los ejemplos 1 y 2 con la función evenodd. Comandos %% Partes Par e Impar De Una Señal Con ADSP Toolbox t = -3:0.005:3; %Variable de tiempo xt = (t+2).*(heaviside(t+2)-heaviside(t+1))-t.*(heaviside(t+1)heaviside(t))+t.*(heaviside(t)-heaviside(t-1))+heaviside(t-1); %Generación de señal n = -5:5;% Variable de tiempo discreto xn = -1.*ustep(n+5)+2.*ustep(n);%Generación de señal x[n] [Par, Impar, tt] = evenodd(xt,t); %Calculo de la parte par e impar de la señal x(t) [Parn, Imparn, nn] = evenodd(xn,n); %Calculo de la parte par e impar de la señal x[n] subplot(3,2,1),plot(t,xt),grid on,title('Señal Original x(t)'),ylim([-1.1 1.1]) subplot(3,2,2),plot(tt,Par),grid on,title('Parte Par de x(t)'),ylim([-1.1 1.1]) subplot(3,2,3),plot(tt,Impar),grid on,title('Parte Impar de x(t)'),ylim([-1.1 1.1]) subplot(3,2,4),stem(n,xn),grid on,title('Señal Original x[n]'),ylim([-1.1 1.1]) subplot(3,2,5),stem(nn,Parn),grid on,title('Parte Par de x[n]'),ylim([-1.1 1.1]) subplot(3,2,6),stem(nn,Imparn),grid on,title('Parte Impar de x[n]'),ylim([-1.1 1.1])

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6. EVALUACIÓN a. Calcule las partes par e impar de las siguientes señales continuas, utilizando las funciones ParImparCon y evenodd: • 𝑥1 (𝑡) = sin(𝑡), representado en el intervalo [−4𝜋, 4𝜋]. • 𝑥2 (𝑡) = |cos(𝑡)|, representado en el intervalo [−3𝜋, 3𝜋]. • 𝑥3 (𝑡) = 4 ∗ {𝑡 ∗ [𝑢(𝑡) − 𝑢 (𝑡 − 1)] + (−𝑡 + 2) ∗ [𝑢(𝑡 − 1) − 𝑢(𝑡 − 2)]} , en el intervalo [−4, 4]. b. Calcule las partes par e impar de la siguiente secuencia discreta, utilizando las funciones ParImparDis y evenodd:

NOTA: Se deberá entregar un informe en formato pdf de los resultados en forma individual a la siguiente semana de terminado la sesión de la práctica. 7. BIBLIOGRAFÍA Ambardar, A. (2002). Procesamiento de Señales Analógica y Digitales (2da ed.). México. Barchiesi, J. V. (2008). Procesamiento Digital de Señales. Retrieved from http://www.euv.cl/archivos_pdf/senales.pdf Haykin, S., & Van Veen, B. (2001). Señales y Sistemas (1ra ed.). Kamen, E. W., & Heck, B. S. (2008). Fundamentos de Señales y Sistemas Usando la Web y MATLAB (3ra ed.). México. Morón, J. (2011). Señales y Sistemas (1ra ed.). Venezuela: Fondo Editorial Biblioteca Universidad Rafael Urdaneta. Oppenheim, A. V., & Willsky, A. S. (1998). Señales y Sistemas (2da ed.). Sistemas y Circuitos, Practica 2: Señales - Curso Académico 07/08. (2011). Madrid: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones, Universidad Carlos III de Madrid. Retrieved from http://www.tsc.uc3m.es/docencia/SyC/docs/Practica2_SyC_0708.pdf The MathWorks Inc. (2017). MathWorks - Makers of MATLAB and Simulink. Retrieved April 10, 2017, from https://www.mathworks.com/

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