Integración de funciones pares e impares y ejercicio de función impar PDF

Preview

Summary

Gráficas de las funciones, teoría, demostraciones y resolución de ejercicio paso a paso...

Description

22-mayo-2020

Integración de funciones pares e impares Incluso con un cambio de variable, la integración puede ser difícil. En ocasiones se puede simplificar el cálculo de una integral definida (en un intervalo que es simétrico respecto al eje 𝑦 o respecto al origen) reconociendo que el integrando es una función par o impar (vea la figura 2).

Figura 2. Funciones pares e impares.

Teorema 4. Integración de funciones pares e impares Sea 𝑓 integrable en el intervalo cerrado [–a, a]. 𝑎

𝑎

1. Si 𝑓 es una función par, entonces: ∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

2. Si 𝑓 es una función impar, entonces: ∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

Demostración: Esta es la demostración de la primera propiedad. Como 𝑓 es par, sabe que 𝑓(𝑥) = 𝑓(– 𝑥). Utilizando el teorema 1 con la sustitución 𝑢 = – 𝑥 , se obtiene: 0

0

0

𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(−𝑢 )(𝑑𝑢 ) = − ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −𝑎

𝑎

𝑎

0

Por último, utilizando el teorema, se tiene que: 0

0

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −𝑎

𝑎

−𝑎

𝑎

0

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

𝑎

0

= 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

0

22-mayo-2020 Ejemplo 16 Integrar una función impar Evalúe la integral definida: ∫

𝜋⁄2

(𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑑𝑥

−𝜋 ⁄2

Solución: Haciendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 se obtiene:

𝑓(−𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 3 (−𝑥) cos (−𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) cos (−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 = −𝑓(𝑥)

Por tanto, 𝑓 es una función impar, y debido a que 𝑓 es simétrica respecto al origen en [−𝜋⁄2 , 𝜋⁄2], se puede aplicar el teorema 4 para concluir que: ∫

𝜋 ⁄2

(𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = 0

−𝜋⁄2

De acuerdo con la figura 3 observe que las dos regiones a cualquier lado del eje tienen la misma área. Sin embargo, como una se encuentra por debajo del eje 𝑥 y otra está por encima del mismo, la integración produce un efecto de cancelación.

𝜋 ⁄2

Figura 3. Como 𝑓 es una función impar, ∫−𝜋 ⁄2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0....