Slides - Calcolo delle probabilità - Indipendenza Stocastica PDF

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Indipendenza Stocastica9 Dati E ed H , per le probabilit` a P (E) e P (E|H) si pu` o avere:

P (E|H) > P (E), P (E|H) < P (E), P (E|H) = P (E ). Nel primo caso E `e correlato positivamente con H . Nel secondo caso E `e correlato negativamente con H . Nel terzo caso si dice che E `e stocasticamente indipendente da H : l’ipotesi che H sia vero non fa n`e aumentare n`e diminuire la probabilit` a di E . In questo caso si ha

P (EH) = P (H)P (E|H) = P (E)P (H) ,

(40)

Se P (E|H) = P (E) > 0, segue P (H|E) = P (H). In tal caso segue anche c

c

P (H |E) = 1  P (H|E) = 1  P (H) = P (H ) . Analoghe considerazioni si possono fare per le probabilit` a condizionate c

c

c

c

c

c

P (H|E ) , P (H |E ) , P (E|H ) , P (E |H ) .

9 Vedi Ross, Calcolo delle Probabilit`a, per esempi e propriet`a

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Famiglia di eventi stocasticamente indipendenti In generale, data una famiglia arbitraria F di eventi (tutti di probabilit` a positiva e minore di 1), gli eventi di F si dicono (stocasticamente) indipendenti se, per ogni sottofamiglia {E1, . . . , En} di F , n  2, si ha

P (E1 · · · En) = P (E1) · · · P (En) .

(41)

Osservazione. Se la condizione (41) vale per un certo intero n (ad esempio, n = 2), non `e detto che valga per n + 1 (nell’esempio fatto, n + 1 = 3). Teorema 4 Data una famiglia arbitraria F di eventi (tutti di probabilit` a positiva e minore di 1), se gli eventi di F sono (stocasticamente) indipendenti allora, per ogni sottofamiglia {E1, . . . , En} di F , con n  2, e per ogni 1  s  n, si ha

P (E1cE c2 · · · EscEs+1 · · · En) = P (E1c)P (E c2 ) · · · P (Esc )P (Es+1) · · · P (En) .

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(42)

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Esempio 39 Si effettua un’estrazione da un’urna contenente 4 palline, 1 rossa, 1 nera , 1 bianca, 1 gialla. Consideriamo gli eventi R= ”la pallina estratta e` rossa”, N = ”la pallina estratta e` nera”, B = ”la pallina estratta e` bianca”, G= ”la pallina estratta `e gialla”, E = R _ B, H = N _ B A = G _ B. Si pu` o verificare che la (41) non vale per la terna (E, H, A), mentre vale per ciascuna delle 3 coppie (E, H ), (E, A), (H, A). Esempio 40 Si effettuano due lanci di uno stesso dado. Consideriamo gli eventi A =“la somma dei due risultati `e 6”; B =“la somma dei due risultati `e 7”; E =“il risultato del primo lancio `e 4”. Mostrare che E ed A non sono stocasticamente indipendenti e che E e B sono stocasticamente indipendenti.

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Esempio 41 Si effettuano due lanci di uno stesso dado. L’insieme dei casi possibili `e costituito da Ω = {(m, n), m = 1, . . . , 6; n = 1, . . . , 6}. Supponiamo che i casi possibili siano tutti equiprobabili. Consideriamo gli eventi A =“il risultato del primo lancio `e 1 o 2 o 3”; B =“il risultato del primo lancio e` 3 o 4 o 5”; C =“la somma tra il risultato del primo lancio e il risultato del secondo lancio `e 9”. Verificare che gli eventi A, B, C non sono stocasticamente indipendenti. Utilizzando la rappresentazione insiemistica degli eventi si ha A = {(1, n), (2, n), (3, n), n = 1, . . . , 6}; B = {(3, n), (4, n), (5, n), n = 1, . . . , 6}; C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}. Consideriamo le intersezioni a 2 a 2. Si ha AB =“il risultato del primo lancio `e 3”, ovvero AB = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}; AC =“il risultato del primo lancio `e 3 e il risultato del secondo lancio `e 6”, ovvero AC = {(3, 6)}; BC = {(3, 6), (4, 5), (5, 4)}; Consideriamo l’intersezione a 3. Si ha ABC = {(3, 6)};

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Calcolando le probabilit` a degli eventi con il criterio classico si ha

P (A) = 21 , P (B) = 21 , P (C) = 19 1 P (ABC) = 36 = 12 12 19 = P (A)P (B)P (C). Inoltre osserviamo che

P (AB) = P (AC) = P (BC) =

1 1 6 6= 4 = P (A)P (B) 1 1 36 6= 18 = P (A)P (C) 1 1 12 6= 18 = P (B)P (C).

In altre parole la formula (41) vale per n = 3 ma non vale per n = 2. Quindi gli eventi A, B, C non sono stocasticamente indipendenti.

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Esercizio 19 Un imputato deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale `e raggiunto a maggioranza. I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente. A e B hanno probabilit` a α 2 (0, 1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta. (i) Si calcoli la probabilit` a che l’imputato sia assolto (evento E ). (ii) Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D, il quale ha probabilit`a δ 2 (0, 1), con δ 6= α, di decidere per l’assoluzione, si verifichi per quali valori di δ la probabilit` a di assoluzione per l’imputato `e maggiore che nel caso precedente .

P (E) = . . .

;

δ 2 ...

;

Esercizio 20 Con riferimento all’esercizio precedente, qualora gli imputati siano tre e vengono giudicati indipendentemente tra di loro dalle giurie prima considerate, si esprima la probabilit` a dei seguenti eventi: E1 = “la giuria composta da A, B e C ne assolve due su tre”; E2 = “la giuria composta da A, B e D ne assolve due su tre”; a che il giurato D decida In particolare per α⇤ = 43 si determini il valore δ ⇤ (probabilit` per l’assoluzione) in modo tale che P (E1) = P (E2).

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Esercizio 21 Un sistema S , costituito da due moduli in serie M1, M 2, dev’essere utilizzato in un dato intervallo di tempo [0, T ]. M1 `e formato da 2 dispositivi in parallelo D1, D2, mentre M2 `e formato da 3 dispositivi in parallelo D3, D 4, D5. Def initi gli eventi Ei = ”il dispositivo Di funziona senza guastarsi nell’intervallo [0, T ]”, i = 1, . . . , 5, e supposto che tali eventi siano indipendenti e tutti di probabilit`a p = 1  q , calcolare la probabilit`a α che S funzioni senza guastarsi nell’intervallo [0, T ]. α=

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Tre Prigionieri condannati10 Alberto, Bruno e Carlo sono tre condannati a morte e vengono informati dal loro carceriere che due soli di essi verranno giustiziati perch`e uno scelto a caso `e stato graziato. Consideriamo gli eventi A =”Alberto `e stato graziato”, B =”Bruno `e stato graziato” e C =” Carlo `e stato graziato ”. E’ noto che P (A) = P (B) = P (C) = 13 . Alberto osserva che almeno uno dei suoi due compagni di cella verr` a sicuramente condannato e chiede al carceriere di rivelargliene il nome pensando cos`ı di aumentare la sua probabilit` a di essere graziato. Infatti fa il seguente ragionamento: ”se ad esempio il carceriere mi dice che Bruno verr` a giustiziato allora la probabilit` a che dovr` o considerare sar` a c 1 1 P (A|B ) = 2 > 3 ”. Con tale ragionamento, Alberto aggiorna la sua probabilit`a di salvezza da 13 a 12 . Osserviamo che sebbene sia corretto P (A|B c) = 21 , l’informazione che viene data dal carceriere non `e esattamente B c. Pertanto Alberto non dovrebbe valutare P (A|B c), ma P (A|IBc ), con IBc =’Il carceriere comunica ad Alberto che Bruno verr`a giustiziato’. Calcolare P (A|IBc ) supponendo che nel caso in cui sia Bruno che Carlo verranno giustiziati il carceriere sceglier` a a caso chi dei due condannati comunicare ad Alberto. Si ha

P (A|IBc ) =

P (IBc |A)P (A) P (IBc |A)P (A) + P (IBc |B )P (B ) + P (IBc |C)P (C)

= ...

10Martin Gardner. Problema dei tre prigionieri. Mathematical Games, Scientific American, 180–182, 1959. Vedi anche, R. Scozzafava, Incertezza e Probabilit`a, Zanichelli, 50–51, 2001

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Tre condannati Osserviamo che

• Se `e Alberto ad essere graziato il carceriere potr`a scegliere chi comunicare tra i due condannati: Bruno o Carlo. Pertanto, se Alberto suppone che in tal caso il carceriere comunicher` a un nome scegliendo a caso tra Bruno e Carlo, si ha P (IBc |A) = 21 . Altrimenti, il carceriere dovrebbe comunicare ad Alberto, non solo il nome ma anche la probabilit` a P (IBc |A) = p con la quale sceglie Bruno. • Se `e Bruno ad essere graziato, il carceriere comunicher`a sicuramente il nome di Carlo, P (IBc |B) = 0. • Se `e Carlo ad essere graziato, il carceriere comunicher`a sicuramente il nome di Bruno, P (IBc |C) = 1 Quindi si ha

P (A|IBc ) =

p 13 p 13 + 0 13 + 1 13

=

p p+1

.

Se il carceriere, nell’ipotesi in cui Alberto viene graziato, sceglie a caso si ha p = quindi 1 1 P (A|IBc ) = 1 2 = 3 2 +1 2 1 Osservare che si ha P (C|IBc ) = 1  3 = 3 . G. Sanfilippo - CdP - - - pag.

1 2

e

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Problema di Monty Hall11 • Il problema di Monty Hall `e un famoso problema di teoria della probabilit`a, legato al gioco a premi americano Let’s Make a Deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. • Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore pu` o scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. • Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore dello show che conosce ci` o che si trova dietro ogni porta apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilit di cambiare la propria scelta iniziale, passando all’unica porta restante. • Cambiare porta migliora le chance del giocatore di vincere l’automobile?

11Wikipedia

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