Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità PDF

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Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità...

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Calcolo delle probabilità Esercizio 1: Probabilità elementari (I) Effettuiamo l’esperimento di lanciare due dadi equi a 6 facce contemporaneamente. Definiamo tre eventi: A = “la somma delle due facce è maggiore o uguale a 10”, B = “Il primo dado restituisce 3 o 4” e C = “Il secondo dado restituisce 3”. A = “F1 + F2 ≥ 10” B = “F1 = 3 V F1 = 4” C = “F2 = 3” a) Indicare lo spazio campionario dell’esperimento Lo spazio campionario (Ω)  è  l’insieme di tutti i possibili r isultati dell’esperimento. Ogni dado ha 6 facce → #Ω = 6*6 = 3  6 elementi Ω= 11 12 21 22 31 32 41 42 51 52 61 62

 3 1 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 6  4

15 25 35 45 5  5 6  5

16 26 36  46 56 66

b) Calcolare la probabilità P(A), P(B) e P(C) La probabilità P(X) si calcola facendo il numero di casi favorevoli fratto il numero di casi possibili: P(X) = #casi favorevoli / #casi possibili (Ω) #casi favorevoli: Numero di esiti che rispettano le condizioni richieste dall’evento. #casi possibili: Numero di tutti i casi possibili di Ω (cioè #Ω). P(A) = #casi favorevoli / #casi possibili = 6/36 = 1/6 P(B) = #casi favorevoli / #casi possibili = 12/36 = 1/3  P(C) = #casi favorevoli / #casi possibili = 6/36 = 1/6  P(B) e P(C) possono essere risolti anche considerando un solo dado. c) Quale relazione esiste tra gli eventi A, B e C? Per trovare le relazioni tra gli eventi bisogna osservare l’insieme delle parti (Ω) e i colori. Le possibili relazioni tra gli eventi sono: - Incompatibili: Il numero di casi in comune tra gli eventi deve essere 0. A e B sono eventi incompatibili ⇔ A ∩ B = Ø → P(A ∩ B) = Ø = 0 - Indipendenti: Un evento non influenza l’esito dell’altro. Questo implica che la probabilità congiunta di A e B è pari al loro prodotto: P(A ∩ B) = P(A)*P(B) A ∩ B = {46} ≠ 0 → A e B sono c  ompatibili A ∩ C = Ø → A e B sono i ncompatibili → P(A ∩ C) = 0 B ∩ C = {33, 43} ≠ 0 → B e C sono c  ompatibili A, B, C sono tra loro indipendenti → P(A ∩ B) = P(A)*P(B) e P(B ∩ C) = P(B)*P(C)

d) Calcolare P(B U C) L’unione di due eventi P(B U C) si trova sommando  la probabilità del primo evento con la probabilità del secondo evento, meno la loro intersezione: P(B U C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) Applico la formula: P(B U C) = 1/3 + 1/6 - 2/36 = 16/36  e) Calcolare P(A) La probabilità del complementare P(A) è tutto ciò che non è A, e si calcola: P(A) = 1 - P(A) Applico la formula: P(A) = 1 - 1/6 = 5/6 f) Calcolare P(A - B) La differenza di due eventi P(A - B) è la probabilità del primo evento meno la probabilità dell’intersezione tra i due eventi: P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B) Applico la formula: P(A - B) = 1/6 - 1/36 = 5/36  g) Calcolare P(A ∩ C) e P(A ∩ C  ) Sappiamo che P(A ∩ C) = 0 → P(A ∩ C) = P(C) e P(A ∩ C  ) = P(A) Applico la formula: P(A ∩ C) = P(C) = 1/6  P(A ∩ C  ) = P(A) = 1/6  h) Calcolare P(A ∩ C) Per trovare P(A ∩ C) ci sono due modi: 1. Considero solo gli elementi che non fanno parte né di A né di C. 2. Tolgo al totale l’unione tra A e C: P(Ω) - P(A U C) = 1 - [P(A) + P(C) - P (A ∩ C)] Applico la formula: 1. P(A ∩ C) = 24/36 = 2/3  2. P(Ω) - P(A U C) = 1 - [P(A) + P(C) - P (A ∩ C)] = 1 - [1/6 + 1/6 - 0] = 2  /3 i) Calcolare P(A ∩ B) Per trovare P(A ∩ B) ci sono due modi: 3. Considero solo gli elementi che non fanno parte né di A né di B. 4. Tolgo al totale l’unione tra A e B: P(Ω) - P(A U B) = 1 - [P(A) + P(B) - P (A ∩ B)] Applico la formula: 3. P(A ∩ B) = 19/36  4. P(Ω) - P(A U B) = 1 - [P(A) + P(B) - P (A ∩ B)] = 1 - [1/6 + 1/3 - 1/36] = 19/36

Esercizio 2: Probabilità elementari (II) Tre eventi A, B e C hanno probabilità, rispettivamente, 0.15, 0.15 e 0.05. Si sa che A e B sono incompatibili, A e C sono incompatibili, mentre B e C sono indipendenti e compatibili. P(A) = 0,15 P(B) = 0,15 P(C) = 0,05 Bisogna disegnare un diagramma di Venn: se gli eventi sono incompatibili non si intersecano, se invece sono compatibili si intersecano. P(A U B U C) = P(Ω) - P(A U B U C) = 1 - P(A U B U C) Si calcolino le seguenti probabilità: a) A oppure B L’oppure indica l’unione  →P  (A U B) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,15 + 0,15 - 0 = 0  ,30 = 30% b) Non accade né A né B Nè A nè B indica il complementare  dell’unione di A e B → P(A U B) P(A U B) = P(Ω - A U B) = P(Ω) - P(A U B) = 1 - 0,30 = 0,70 = 70% c) Non accade né A, né B, né C Nè A nè B nè C indica il complementare  dell’unione di A, B e C → P(A U B U C) P(A U B U C) = P(Ω - A U B U C) = P(Ω) - P(A U B U C) = 1 - [P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C)] = 1 - [0,15 + 0,15 + 0,05 - 0 - 0 - 0,15*0,05] = 0  ,6425 = 64,25%  d) Accade A ma non B A ma non B indica la differenza → P(A - B) P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B) = 0,15 - 0 = 0  ,15 = 15% Esercizio 3: Variabile casuale binomiale (I) Sapendo che: - Il 35% dei dipendenti di un’azienda è cinquantenne - Tale ditta ha un rilevante numero di addetti - Viene selezionato un campione casuale di 5 dipendenti dalla stessa azienda e considerando come “risultato” di questa selezione il numero di dipendenti cinquantenni estratti. Questo esercizio non tratta più la probabilità elementare ma riguarda la probabilità matematica, in cui c’è una funzione di densità (o di probabilità) che assegna una probabilità ad un certo tipo di evento xi. Ci sono due tipologie di variabili casuali: 1. Variabili casuali discrete (es. variabile casuale Binomiale) 2. Variabili casuali continue (es. variabile casuale Normale o Gaussiana)

La variabile casuale Binomiale → discreta La variabile casuale Binomiale esprime la probabilità di ottenere “X” successi in “n” prove indipendenti, data la probabilità “p” del singolo successo. La variabile casuale binomiale ha queste caratteristiche: 1. Gli eventi analizzati sono dicotomici (o binomiali), cioè hanno solamente due alternative possibili. Nel nostro caso, il dipendente ha o non ha 50 anni. 2. n è il numero  di prove indipendenti  (o tentativi) effettuate nell’esperimento. Nel nostro caso n=5 che sono i dipendenti estratti casualmente. 3. p è la probabilità  di successo, cioè che l’evento si verifichi per ogni singola prova indipendente. Nel nostro caso p=0,35 che è la probabilità che il dipendente abbia 50 anni. Se queste caratteristiche vengono rispettate X si distribuisce come una Binomiale, con parametri n ep→X  ~ Bin(n, p). Nel nostro caso, X è l’evento “# di cinquantenni estratti in 5 prove casuali indipendenti”. a) Individuare gli eventi associati (spazio campionario) a questo esperimento aleatorio Lo spazio campionario (Ω) è il numero di persone cinquantenni sulle 5 prove. Ω = {0, 1 , 2, 3, 4, 5} b) È possibile individuare un modello probabilistico in grado di rappresentare il problema? Il modello probabilistico in grado di rappresentare il problema è il modello binomiale. c) Si calcoli la probabilità di selezionare due soli dipendenti cinquantenni. La probabilità di una variabile binomiale si calcola: P(X = x) = (nx)*px *(1 - p)n-x = n!/[x!*(n - x)!]*px*(1 - p)n-x Applico la formula: P(X = 2) = 5!/[2!*(5 - 2)!]*(0,35)2 *(1 - 0,35)5-2  = (5*4*3!)/(2!*3!)*(0,35)2 *(0,64)3 = 0,3364 = 33,64%  d) Si calcoli la probabilità di selezionare più di 3 dipendenti cinquantenni. P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = P(X ≥ 4) P(X = 4) = 5!/[4!*(5 - 4)!]*(0,35)4 *(1 - 0,35)5-4  = 5!/[4!*1!]*(0,35)4 *(1 - 0,35)1 = 0,0488 5 5-5 P(X = 5) = 5!/[5!*(5 - 5)!]*(0,35) *(1 - 0,35) = 5!/(5!*0!)*(0,35)5 *(0,65)0 = 1*(0,35)5 *1 = 0,0053 P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,0488 + 0,0053 = 0,0541 = 5,41% e) Si calcoli la probabilità di selezionare al più 2 dipendenti cinquantenni. P(X ≤ 2) =  P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) P(X = 0) = 5!/0!*(5 - 0)!*(0,35)0 *(1 - 0,35)5-0  = 1*1*(0,65)5 = 0,1160 P(X = 1) = 5!/(1!*4!)*(0,35)5*(1 - 0,35)5-1 = 0,3124 P(X = 2) = 0,3364 P(X ≤ 2) =  P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,1160 + 0,3124 + 0,3364 = 0,7648 = 76,48% f) Si calcoli la probabilità di selezionare tra i 2 e i 4 dipendenti cinquantenni. P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) P(X = 2) = 0,3364

P(X = 3) = 5!/3!*(5 - 3)!*(0,35)3 *(1 - 0,35)5-3  = 0,1811 P(X = 4) = 0,0488 P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,3364 + 0,1811 + 0,0488 = 0,5663 = 56,63% g) Qual è il numero atteso di dipendenti di 50 anni selezionati nell’esperimento? E qual è la variabilità? Il valore atteso E(X) è la media di X e in un contesto binomiale si calcola: E(X) = n*p Nel nostro caso, E(X) è il numero medio di dipendenti con 50 anni di età nell’esperimento. La variabilità VAR(X) è la varianza di X e in un contesto binomiale si calcola: VAR(X) = n*p*(1-p) Applico le formule: E(X) = n*p = 5*0,35 = 1,75 → In 5 tentativi, il numero medio di 50enni è di 1,75. VAR(X) = n*p*(1 - p) = 5*0,35*0,65 = 1,1375  SQM(X) = √1,1375 = 1,0665 → In 5 tentativi, la variabilità del numero di 50enni è di 1,0665 persone. Esercizio 4 - Variabile casuale Normale (I) → Continua Ipotizziamo che le concentrazioni di inquinante PM10 (particolati con diametro inferiore a 10 mm) a Bergamo nel 2020 si distribuisca secondo una legge di tipo Normale/Gaussiana. La concentrazione giornaliera media è di 70 μg/m3 , mentre lo scarto quadratico medio è di 25 μg/m3 . La variabile casuale Normale → continua X ~ N(μ, σ2) dove σ = √σ2 μ = media della distribuzione σ2 = varianza della distribuzione La variabile casuale normale ha queste caratteristiche: 1. Nel testo viene indicato esplicitamente che X è normale 2. Viene dato un valore medio (μ) 3. Viene data una variabilità (σ2 o σ) Nel nostro caso: X = “Evento concentrazione di PM10 nell'aria a Bergamo” X ~ N(μ=70, σ=25) a) Quale è la probabilità che in un qualsiasi giorno del 2020 le concentrazioni siano inferiori a 90 μg/m3 Dato che X è continua non c’è differenza tra minore ( 100) = 1 - P(X ≤ 100) 1 - P[(X - μ)/σ ≤ (100 - 70)/25] = 1 - P(Z ≤ 1,20) = 1 - Φ  (1,20) = 1 - 0,88493 = 0,11507 = 11,507% c) Quale è la probabilità che in un qualsiasi giorno del 2020 le concentrazioni siano comprese tra 60 μg/m3 e 85 μg/m3 P(60 < X < 85) = P(X ≤ 85) - P(X ≤ 60) P[(X - μ)/σ ≤ (85 - 70)/25] - P[(X - μ)/σ ≤ (60 - 70)/25] = P(Z ≤ 0,60) - P(Z ≤ -0,40) = Φ(0,60) - [1 - P(Z ≤ 0,40)] = Φ(0,60) - [1 - Φ(0,40)] = 0,72575 - [1 - 0,65542] = 0,38117 = 38,117% d) Quale è la probabilità che in un qualsiasi giorno del 2020 le concentrazioni siano comprese tra 110 μg/m3 e 120 μg/m3 P(110 < X < 120) = P(X ≤ 120) - P(X ≤ 110) P[(X - μ)/σ ≤ (120 - 70)/25] - P[(X - μ)/σ ≤ (110 - 70)/25] = P(Z ≤ 2,00) - P(Z ≤ 1,60) = Φ(2,00)  - Φ(1,60) = 0,97725 - 0,95420 = 0,03205 ≅ 3,205%  e) Data la distribuzione di cui sopra, si identifichi il 95° percentile Il percentile è l’inverso della funzione di ripartizione di x che garantisce 0,95 → F-1(x) = 0,95 P(X ≤ x0,95) = 0,95 e per trovarlo devo: 1. Z0,95: P(Z ≤ Z0,95) = 95% = 0,95 → Φ  (Z0,95) = 0,95 2. X0,95: X0,95 = μ + Z0,95*σ → Z0,95 = (X0,95 - μ)/σ e cerco Z0,95 3. Z0,95 = (1,64 + 1,65)/2 = 1,645 4. X0,95 = 1,645*25 + 70 = 111,125...