Calcolo Delle Probabilita PDF

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 CALCOLO DELLE PROBABILITA’ Si definisce esperimento aleatorio (casuale) un esperimento i cui possibili esiti non possono essere previsti con certezza. Si definisce evento aleatorio (casuale) un qualsiasi esito di un esperimento aleatorio. Gli eventi aleatori si distinguono in due gruppi: Eventi aleatori elementari, indicati con il simbolo ωi, ovvero i singoli risultati di un esperimento aleatorio; Eventi aleatori composti, ovvero quelli eventi aleatori definiti come unione di due o piu` eventi elementari. In generale, gli eventi aleatori composti vengono denotati con le lettere maiuscole dell’alfabeto, ad esempio A,B,... Si definisce spazio campionario l’insieme di tutti i possibili eventi elementari. Lo spazio campionario viene denotato con il simbolo Ω. (Quindi un generico evento aleatorio può anche essere definito come un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario.) Per rappresentare graficamente lo spazio campionario si usano i diagrammi di Venn. Dato un evento E si definisce negato dell’evento E (denotato con ¯ E) l’evento il cui valore logico è l’opposto di quello di E.

 OPERAZIONI LOGICHE. Unione o Somma logica Dati due eventi aleatori E1 ed E2, definiamo unione o somma logica degli eventi E1, E2, l’evento aleatorio, denotato con E1 ∪E2, che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi che lo compongono. Intersezione o Prodotto logico Dati due eventi aleatori E1 ed E2, definiamo intersezione o prodotto logico degli eventi E1 ed E2, l’evento aleatorio, denotato con E1 ∩E2, che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi che lo compongono.

Le operazioni di unione logica ed intersezione logica soddisfano le seguenti proprietà: Commutativa E1 ∪ E2 = E2 ∪ E1 E1 ∩E2 = E2 ∩E1 Associativa (E1 ∪ E2)∪ E3 = E1 ∪ (E2 ∪ E3) = E1 ∪ E2 ∪ E3 (E1 ∩E2)∩E3 = E1 ∩(E2 ∩E3) = E1 ∩E2 ∩E3 Distributiva E1 ∩ (E2 ∪E3) = (E1 ∩E2)∪(E1 ∩E3) E1 ∪(E2 ∩E3) = (E1 ∪E2) ∩(E1 ∪E3) Due eventi si dicono incompatibili quando la loro intersezione logica è uguale all’evento impossibile, ovvero E1∩E2 = ∅.

In altri termini, E1 ed E2 sono incompatibili quando il verificarsi di uno di essi implica il non verificarsi dell’altro.

Definizione classica di probabilità

Si definisce spazio degli eventi aleatori l’insieme di tutti i possibili eventi aleatori associati ad un determinato esperimento casuale. Lo spazio degli eventi è denotato con il simbolo έ. Definizione assiomatica di probabilità. Si definisce funzione di probabilità, e verrà indicata con P(·), una qualsiasi funzione definita sullo spazio degli eventi έ che soddisfa i seguenti assiomi: i. P(E) ≥ 0 per ogni evento E ∈E (assioma di non negatività); ii. P(Ω) = 1 (assioma di normalizzazione); iii. comunque presi due eventi aleatori incompatibili, diciamo E1∩E2 = ∅, allora la probabilità dell’unione di E1 ed E2 `e uguale alla somma delle singole probabilità. (Teorema delle probabilit`a totali per eventi incompatibili) P(E1 ∪E2) = P(E1) + P(E2). NB: dal primo e dal secondo assioma discende che la probabilità è un valore certamente compreso tra 0 ed 1.  PROBABILITA’ CONDIZIONATA La probabilità di A condizionatamente a B, detta anche probabilità di A dato B, denotata con P(A | B), consiste nella valutazione della probabilità di un evento A valutato subordinatamente allo spazio campionario generato dall’evento B. Si nota che, sapendo che si manifesta l’evento B, si ha una riduzione della dimensione dello spazio campionario, e quindi di tutte le possibili coppie.

 STOCASTICA DIPENDENZA.

Diremo che l’evento A è stocasticamente indipendente dall’evento B quando il verificarsi di B non influenza la probabilità dell’evento A, ovvero: P(A | B) = P(A).

 VARIABILE ALEATORIA Si definisce variabile aleatoria, denotata con X, una qualsiasi funzione definita sullo spazio campionario Ω a valori reali, formalmente X : Ω → R.

P(X = xi) = p(xi) = P(Ei). Rappresentazione grafica

 VARIABILE ALEATORIA DISCRETA Diremo che X `e una variabile aleatoria discreta se D è un insieme discreto, ovvero contiene al più un’infinità numerabile di valori. Si definisce funzione di distribuzione della probabilità, quella funzione che associa ad ogni x appartenete al dominio di X la corrispondente probabilit`a ovvero P(x) = P(X = x). Vale che:  P(x) è sempre maggiore di 0  La sommatoria di tutte le P(x) è = 1 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE F(x) = P(X ≤ x) E’ La funzione che associa ad ogni x ∈ R la corrispondente probabilità cumulata P(X ≤ x) Proprietà Si dimostra che qualsiasi funzione di ripartizione soddisfa le seguenti proprietà i. F(x) `e una funzione non decrescente, ovvero se x1 < x2 allora F(x1) ≤ F(x2) ii. Limx→+∞F(x) = 1 iii. Limx→−∞F(x) = 0 vi. La funzione di ripartizione `e continua a destra, ovvero F(x) = F(x0) lim x→x+ 0

 MOMENTI TEORICI.(Indici di sintesi)

Si definisce valore atteso di X, la quantit`a E(X) = µ =Sommatoria (con x ∈D) di x ·p(x) Esempio:

1,5 in questo caso è il valore atteso.

Varianza

Asimmetria e curtosi

Definiamo la funzione di probabilità simmetrica quando: i. p(x1) = p(xn) ii.. p(x2) = p(xn−1) iii. p(x3) = p(xn−2) Invece essa è: asimmetrica positiva quando i valori piu` elevati di p(x) corrispondono ai valori più bassi della variabile aleatoria X. Asimmetrica negativa quando i valori piu` elevati di p(x) corrispondono ai valori più alti della variabile aleatoria X. Per misurare la simmetria si usa l’indice di Fisher.

Dove se: B=0 la distribuzione è simmetrica B>0, la distribuzione è asimmetrica positiva B P(x0 ≤ X < x1) Il calcolo della probabilità si fonda sull’utilizzo della funzione di densità. Geometricamente, la probabilità è uguale all’area sottesa alla funzione di densità definita nell’intervallo di estremi x0 e x1

Asimmetria

Curtosi

Simmetria Con asse di simmetria il punto x0, quando per ogni h > 0 si ottiene la relazione---> f (x0 −h) = f (x0 + h).

VARIABILE ALEATORIA GAUSSIANA

Caratteristiche della variabile aleatori normale: 1 Il parametro µ è il valore atteso della variabile casuale X e coincide con il punto di massimo della funzione di densità (6). 2 Il parametro σ2 è la varianza della variabile casuale X. Il parametro σ2 è legato ai punti di flesso x1 = µ−σ ed x2 = µ + σ. 3 La media, la mediana e la moda coincidono. 4 La funzione di densità della variabile aleatoria gaussiana è di forma campanulare, simmetrica (β1 = 0) con asse di simmetria definito dall’equazione x = µ. 5 L’aria sottesa alla curva è uguale ad 1. A causa della simmetria della funzione di densità (6), l’area sottesa a sinistra e a destra dell’asse di simmetria `e uguale a 0.5.

Poichè la funzione dipende da parametri, non si potrà avere una soluzione in forma chiusa, bensì si utilizza la standardizzazione della variabile.

(I valori della funzione di ripartizione sono stati calcolati e riportati in appositi prontuari.)...