GLI Assiomi Della Probabilita PDF

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GLI ASSIOMI DELLA PROBABILITA’ Sia Ω un insieme denominato SPAZIO DEGLI EVENTI (o spazio campionario). Una funzione 𝑓: 𝑃 (Ω) → [0,1] e’ detta funzione di probabilita’ se e solo se 1) 𝑃(Ω) = 1 [l’evento certo ha probabilita’ uguale a 1] 2) Se 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅ allora 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) [additivita’ rispetto agli eventi incompatibili] TEOREMA La probabilita’ dell’evento impossibile e’ uguale a 0 P(∅)=0 DIMOSTRAZIONE Ω ∩ ∅ = ∅ } → 𝑃(Ω) = 𝑃(Ω) + 𝑃(∅) → 𝑃(∅) = 𝑃(Ω) − 𝑃(Ω) = 0 Ω=Ω∪∅

Dati gli eventi 𝑬𝟏 𝑒𝑑 𝑬𝟐 chiamiamo

DEFINIZIONI

Evento Intersezione/Evento Prodotto Logico

Ω

𝐸2

𝐸1 ∩ 𝐸2

𝐸1

Eventi Differenza 𝑬𝟏 − 𝑬𝟐

Ω

𝐸2

𝑬𝟐 − 𝑬𝟏 𝐸1

Evento Contrario di E 𝐸

Ω E

PROPRIETA’ TEOREMA [PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONTRARIO] 𝑃(𝐸 ) = 1 − 𝑃(𝐸) DIMOSTRAZIONE 𝐸 ∩ 𝐸 = ∅ ) = 1 } → 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐸 𝐸 ∪ 𝐸 = Ω TEOREMA [PROBABILITA’ DELL’EVENTO DIFFERENZA] 𝑃(𝐸1 − 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 )

Ω 𝐸2

DIMOSTRAZIONE 𝐸1

(𝐸1 − 𝐸2 ) ∩ (𝐸1 − 𝐸2 ) = ∅ } → 𝑃(𝐸1 − 𝐸2 ) + 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) (𝐸1 − 𝐸2 ) ∪ (𝐸1 − 𝐸2 ) = 𝐸1

TEOREMA [PROBABILITA’ DELL’EVENTO SOMMA LOGICA] 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃 (𝐸2 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) DIMOSTRAZIONE 𝐸1 ∪ 𝐸2 = (𝐸1 − 𝐸2 ) ∪ (𝐸1 ∩ 𝐸2 ) ∪ (𝐸2 − 𝐸1 ) 𝐸1 ∪ 𝐸2 = (𝐸1 − 𝐸2 ) + (𝐸1 ∩ 𝐸2 ) + (𝐸2 − 𝐸1 ) = 𝑃(𝐸1 ) − 𝑃 (𝐸1 ∩ 𝐸2 ) + 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) + 𝑃 (𝐸2 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 )

Ω

𝐸2 𝐸1...