Calcolo delle derivate applicando la definizione di alcune funzioni PDF

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appunti di fisica ...

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Calcolo delle derivate applicando la definizione di alcune funzioni. Sia f(x) = K, calcoliamo la derivata di tale funzione.

Per definizione la derivata è

lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

e nel nostro caso: lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) kk 0  lim  lim  0 h 0 h 0   h h h

Quindi f '( k )  0 D (k )  0

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Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = x.

Applichiamo la definizione di derivata:

lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Ovvero nel nostro caso:

lim h 0

f ( x  h)  f ( x) ( x  h)  x h  lim  lim  1   h 0 h 0 h h h D(x)  1

Calcoliamo la derivata della funzione f(x)=x2

Applichiamo la definizione di derivata:

lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Ovvero nel nostro caso:

lim h 0

( x  h) 2  x 2 f ( x  h)  f ( x) x 2  2 xh  h2  x2 h(2 x  h)  lim  lim  lim  2x h h h 0 0 0    h h h h

D( x 2 )  2 x

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La derivata della funzione f(x ) = xn ( n  ) Applicando la definizione di si pu xn uò calcolare la derivata della funzione f(x) =x

f '( x)   xn 1 D (x n )   x n1 Applichiamo la definizione di derivata lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

tenendo conto che:

si ha:

ola con il principio di induzione. Di seguito proveremo questa rego

Calcoliamo, usufruendo della ddefinizione, la derivata di f(x)=lnx Applichiamo la definizione di derivata: lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Nel nostro caso f(x+h)= ln (x+h)) e f(x) = lnx pertanto:

lim h 0

ln( x  h)  ln( x) ln( x  h) ln x f ( x  h)  f ( x)  lim  lim  lim m 0 0 0 h h h    h h h h

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h   ln x(1  )  ln x x    lim  lim  h 0 h 0 h h

Applichiamo la proprietà del prodotto di logaritmi:

h h  ) ln(1  )  ln x ln(1 ln x x x  lim ln x  lim ln x   lim  lim lim h 0 h 0 h h 0 h 0 h h 0 h h h

Semplifichiamo i termini simili e riconosciamo il limite fondamentale nel primo limite: ln(1  x) 1 x 0 x

lim

quindi dividiamo e moltiplichiamo per x al denominatore:

h ln(1  ) x 1  lim h 0 h x x x Dunque: D(ln x ) 

1 x

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Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = senx. Applichiamo la definizione di derivata: lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Nel nostro caso f(x+h)= sen (x+h) e f(x) = senx pertanto: f ( x  h)  f ( x ) sen ( x  h )  sen ( x )  lim   h 0 h h Applichiamo le formule di addizione: lim h 0

 lim h 0

sen ( x  h )  sen ( x ) senx cos h  senh cos x  sen( x )  lim   h 0 h h

Mettiamo sen x in evidenza:  lim h 0

senx(cos h 1)  senh cos x senx(cos h 1) senh cos x  lim  lim   h 0 h 0 h h h

Riconosciamo 2 limiti notevoli: senh 1  cosh  1 lim 0 x0 h h e x0

lim

Quindi:

0

 lim h 0

1

senx(cos h 1) senh cos x  lim  cos x h 0 h h

D ( senx )  cos x

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