derivate analisi I, funzioni elementari e funzioni composte PDF

Preview

Summary

▼✐❝❤❡❧❛ ❊❧❡✉t❡r✐❊❙❊❘❈■❩■❆❘■❖ ❉■ ❆◆❆▲■❙■▼❆❚❊▼❆❚■❈❆ ■❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ❱❡r♦♥❛✱ ❋❛❝♦❧tà ❞✐ ❙❝✐❡♥③❡▼▼✳❋❋✳◆◆✳❈♦rs♦ ❞✐ ▲❛✉r❡❛ ✐♥ ■♥❢♦r♠❛t✐❝❛ ❡ ❇✐♦✐♥❢♦r♠❛t✐❝❛❛✳❛✳ ✷✵✶✶✴✷✵✶✷■♥❞✐❝❡✶ ◆✉♠❡r✐ ✼ ✶✳✶ ❊q✉❛③✐♦♥✐❡❞✐s❡q✉❛③✐♦♥✐✿❡s❡r❝✐③✐♣r♦♣ ♦st✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✷ ❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❛✿❡s❡...

Description

A Giulia con la speranza che almeno nella matematica non assomigli al papà ,

✍

1)x2 − 15x + 16 > 0 3)(x − 1)(x + 2)(x2 − x − 6) ≥ 0 5)3x + 5 ≤ 8 7)3(2 − x) < 2(3 + x) 4 x ≥1+ 2 x 11)|3x − 7| < 2 x   13)  − 1 ≤ 1 2 15)|x + 1| > |x − 3| 9)

17)(ex − 5)2 + 5(ex − 5) + 2 > −2   √ 19)|x| + x − 1 ≤ 2

21)|x(x − 3)| > x2 − 1

2)(x + 2)(x − 2)(x − 3) < 0 x−1 x+1

2 2 3)

2) x < −2 ∨ 2 < x < 3 √ √ 4)x < −1 − 2 ∨ −1 < x < −1 + 2 ∨ x > 1

5)

6)

7)

8)

9)

10)

5 11) < x < 3 3 13)

12) − 3 < x < −2

15)x > 1

16)x < −3 ∨ x > 1

17)

18)

19)

20)

14)

21) x < −1 −1 ≤ x ≤ 3 x > 3

x>1   x < −1

 −x − 1 > −x + 3   x < −1 

∪

  −1 ≤ x ≤ 3

∪

∪

  −1 ≤ x ≤ 3

 x>3

 x + 1 > −x + 3

x>1

∪

 x > 3

x+1 > x−3



x < −3 ∨ x > 1  x < 0

 −x + 3 < −2x  x1

∪

 x>3

 x − 3 < 2x

 x > 3

 x > −1

✍ √ √ √ 22) x2 − 4 x − 2 = (x − 2) x + 2 p √ √ 24) 3x − 2 x = 2 − x

√ 23)2 x − 2 = 4 − x 25)|x + 1| = |x − 3|

26)10x = 100

27)7x = 1

28)4x = 3

29)4x = 2 3x

30)10x = 3x+1

31)32x − 3x − 5 = 0

32) log3 x = 3

33) log3 x = log3 2 − log3 (x + 1)

34) log2 x + log4 x = 3

35)4 log4 x − log2 (1 + x) = 0

36) logx e + log x − 2 = 0

37) logπ x = 1

✒ 22)x ≥ 2

√ 23)x = 6 − 2 3

24)x = 1

25)x = 1

26)

27)

28)x = log4 3 oppure equivalentemente x =

log 3 log 4

29) log

log 3 log 10 − log 3 32)x = 27

31)x =

30)x =

35)

36)x = e

37)

x x≥2

x2 − 4 ≥ 0 x − 2 ≥ 0

x+2≥ 0

x≥2

√ x = 6−2 3

4−x≥ 0

√  1+ 2 2

log 3

33)x = 2

34)x = 4

x ≥ 2



x≤4

2≤ x≤ 4

√ x = 6±2 3

√ x = 6+2 3

x=1 x≤2

√ 3x − 2 x ≥ 0 9x2 − 4x ≥ 0 x ≤ 2 x ≥ 0 x ≤ 0 ∨ x ≥ 4/9

x≥0

x ≤ 0 ∨ x ≥ 4/9

4/9 ≤ x ≤ 2 √ 3x−2 x = 2−x

√

x = 2x− 1 2x − 1 ≥ 0

1/2 ≤ x ≤ 2 4x2 − 5x + 1 = 0

x=1

x = 1 −1 ≤ x ≤ 3

x=1 log x=

t>0

3x = t

log 3

√ 1+ 2 2

t2 =

x = 27 x = 27

x=4

x>3

x < −1

√  1+ 2 2

t t1 =

x=2 x = −1 x>0



x = 1/4

t2 −t−5 = 0

√ 1− 2 2

1 = log3 3

log3 x = 3 log3 3 = log3 33 x=

x > −1

x = −1

2 x+1

x=2

x>0

logb x = log(ab) = log a + log b log2 x =3 2 log2 x + log2 x = 6 log2 x + log2 4

loga x loga b log2 (x2 x) = 6

x=e logx a =

1 loga x

1 + loge x − 2 = 0 loge x

3 log2 x = 6

x=4

t2 − 2t + 1 = 0

loge x = t

t=1

x=e

✍ k ∈ R, 38)||x2 − 4| − 1| − 2 = k   39)|3x2 − 2| − 1 + 2 = k   40)x2 − 4|x − 1| = k ✍ x √ 41) sin x = 3/2 √ 43) 3 sin x + cos x = 2

42) cos x ≤ 1/2 44) sin x − cos x = 1

✒ π 2π + 2kπ, k ∈ Z + 2kπ e x = 3 3 5 π 42) + 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, k ∈ Z 3 3

41)x =

x=

π 2

x=π

sin x = Y

Y + Z2 = 1

Y −Z = 1

t := tan

x 2

sin x =

cos x = Z

2

2t 1 − t2 cos x = 1 + t2 1 + t2

✍

45)((1 + a2 )2/3 )3/4 =

√

1 + a2

46)((1 + a)2/3 )3/4 =

√

1+a

47)| − a| = a

✍ √ 50) cos2 x − 1

51) sin((2x − log(1 − x))

52) log(sin x + cos x) e3x

✒

π 3 2kπ − < x < π + 2kπ k ∈ Z 4 4 7 2kπ + π < x < 2π + 2kπ 4

2kπ < x <

3 π + 2kπ ∪ 4

✍ x

sin2 x − 6 cos2 x − sin x cos x = 0

x

✍ x/2

x

sin x + 7 cos x + 5 = 0

✍ A= inf A n

✒

sup A n



 1 : n ∈ N \ {0} . n A

1/n

n

n=1 l=0 l=0

∀n ∈ N \ {0}

0<

1 n+1

< n1 inf A = 0

sup A = 1

1 n

ε>0

n ¯

0+ε

A 0+ε >

ε

1 1 ⇔n ¯> ε n ¯ inf A = 0

A

✍ A= inf A ✒ sup A = 1

sup A



 1 1 − : n ∈ N \ {0} . n A inf A = min A = 0

max A

✍  2n : n∈Z . A= n2 + 1 inf A ✒



sup A

A

A

∀n ∈ Z

−1≤

2n ≤1 +1

n2

±1 inf A = min A = −1 sup A = max A = 1

n = ±1

✍ A= inf A ✒



 2 n + : n ∈ N \ {0} . n

sup A

n

A 1/n

n n

sup A = +∞

max A

1/n n=1

n=2

n + 2/n = 3

n + 2/n > n ≥ 3

n>2

inf A = min A = 3

✍ A= inf A



 n−1 : n∈N . n+1

sup A

A n−1 n+1

✒

n n−1 n−1 n+1−1 < < ⇔ ⇔ n2 + 2n − n − 2 < n2 + n ⇔ −2 < 0 n+1 n+1 n+1+1 n+2 N n≥0 n=0 inf A = min A = −1 sup A = 1 max A n−1 < 1 ⇔ n − 1 < n + 1 ⇔ −1 < 1 n+1 ε 1−ε ∀ε > 0, ∃¯ n ∈ N:1−ε <

1−ε <

n ¯−1 . n ¯+1

n ¯−1 2 2 n ¯ +1−n ¯+1 −1 0 : cos x

✒   1 1 π = 0 ⇔ = + kπ, k ∈ N cos x 2 x x>0 x=

2 , π(1 + 2k)

k ∈ N.

A

sup A = max A =

2 π

k =0

inf A = 0

ε>0 ε ∀ε > 0, ∃k ∈ N : ε >

2 1 1 ⇔k> − π(1 + k) πε 2

✍ A= inf A

sup A



1 , [−1 + (−1) ]n + 2 n +2 n

 n∈N . A

✒

✍  n−2 : n ∈ N . A= n+2 inf A



sup A

A

✒

✍ A= inf A



 n2 + 2[n + (−1)n ] : n≥2 . n2 + 1

sup A

A

✒

✍ A= inf A ✒

sup A



 n − n cos(nπ) + 1 : n≥1 . n + n cos(nπ) + 1 A

min A

✍ A= inf A

sup A



 2 : n ≥ 1 ∪ [1, 2). n+1

A

✒

✍ (2 − i) (1 + 3i)

(2 − i) (1 + 3i) = 2 + 6i − i + (−i)(3i) = 2 − 5i + 3 = 5 + 5i. ✍ (2 − i) + (1 + 3i)

(2 − i) + (1 + 3i) = 2 − i + 1 + 3i = 3 + 2i. ✍ −i(2 − i) + (3 − i)(i + 2)

−i(2 − i) + (3 − i)(i + 2) = −2i − 1 + 3i + 6 + 1 − 2i = 6 − i.

✍ i(2i − 3) + (i − 1)(3 + 4i)

i(2i − 3) + (i − 1)(3 + 4i) = −2 − 3i + (i − 1)(3 − 4i) = −2 − 3i + 3i + 4 − 3 + 4i = −1 + 4i ℜ(z) = −1,

ℑ(z) = 4,

z = −1 − 4i.

ℑ(z) = 4 6= 4i ✍

2−i 3+i

6 − 2i − 3i − 1 5 − 5i 1−i 2−i = = = . 3+i 9+1 10 2 ✍

1 2 − 3i 1 2 + 3i 2 + 3i . = 13 2 − 3i 2 + 3i ✍

2 + i − (3 − i) 3i + 1

3i − 1 2 + i − (3 − i) 2 + i − 3 − i 1 − 3i . = = 10 3i + 1 3i + 1 1 − 3i 1 − 3i

3i + 1

1 − 3i

3i − 1

3i − 1

✍

iz − 2z i+z

z = 3+i

(−7 + 5i)(3 − 2i) −11 + 29i i(3 + i) − 2(3 − i) 3 − 2i . = = 13 3 + 2i 3 − 2i 13 ✍

3z − i|z|2 − (2 − i)z 2ℜ(z) − ℑ(z)

z = 2+i

2i 3(2 + i) − i(4 + 1) − (2 − i)(2 − i) 6 + 3i − 4i − i − 4 + 4i + 1 = 1+ . = 3 3 4−1 ✍

  |z |2 ℑ iz z + z

iz z +

z = 1 + 3i

|z|2 10 1 − 3i 10 − 30i = 1 + 7i = i10 + = 10i + 10 1 + 3i 1 − 3i z   |z |2 ℑ iz z + = 7. z

✍

ℜ



ℜ

|z|2 − 2z iz





z = 2+i

z = 2−i

z = 2 + i,



|z |2 − 2z iz



5 − 4 + 2i −1 − 2i = ℜ 2i − 1 −1 − 2i   3 3 − 4i = . = ℜ 5 5



|z|2 = 5

iz = 2i − 1



1 + 2i −1 − 2i =ℜ −1 + 2i −1 − 2i



=ℜ



 −1 − 4i + 4 5

2i − 1 = −1 − 2i 6= 2i + 1!!! ✍ (z, w)

z, w ∈ C (

zw = i |z|2 w + z = 1.

z 6= 0

0 = i

|z |2 w + z = |z|2 w + z = |z |2 w + z = 1 |z|2 z 6= 0

|z|2

i + z = 1. z

|z|2 = z z¯ zzi +z =1 z

zi + z = 1. z = a − ib

z = a + ib

(a − ib)(i + 1) = 1 ai + a + b − ib = 1. (

a−b= 0 a + b = 1.

a = b = 21 z=

i+1 1 i , + = 2 2 2

zw =

w=

i 2i 1 − i 2i + 2 = = = i + 1, 1+i 1−i z 2

w = 1 − i.

1+i 1 1 (i + 1) = (1 + i)2 = (1 + (−1) + 2i) = i 2 2 2

2

|z| w + z =



 1 1+i 1 1 + = (1 − i + 1 + i) = 1. (1 − i) + 4 4 2 2

✍ (z, w)

z, w ∈ C ( z+w = 1+i |w|2 + z = 1 − i.

z = 1 + i − w,

z = 1−i−w

|w|2 + 1 − iw = 1 − i w(w − 1) = 0

w=0

w=0

w=1

(1 + i, 0) (i, 1)

✍ (z, w)

z = a + ib

(

a, b

z, w ∈ C ( z 2 − z 2 = 4i (1 + i)z = (1 − i)z.

z = a − ib z 2 = (a + ib)2 = a2 + 2abi − b2 a b

4abi = 4i ⇔ (1 + i)(a + ib) = (1 − i)(a − ib)

(

z = a2 − 2abi − b2

ab = 1 2(a + b)i = 0.

a = −b

✍ z 1)z = −1 + i √ 2)z = 3i + 1 √ √ 3)z = 2 − 2i.

✍ z 4)|z| = 2 5)|z| ≤ 2 6)arg(z) = 3π 7)|z − 2i| ≤ 3 8)|z − 3 + 4i| ≤ 5 9)π ≤ arg(z) ≤ 74 π.

✍ z 10)|z| = |z + i| 11)ℜ(z) > 2 12)ℑ(z) = −4 √ 13)z = 8 + i √ 14)z = 3 2 − 2i 15)|z| < 1

|z − 1 − i| < 1

16)|z − i| = |z − 1|

|z − 1 − i| ≤ 1

17)|z| < |z + 1|

|z + 1 − i| < 1

18)|z| > |z + 1|

|z + 1 − i| < 1

19)|z| < |z + 1|

|z + 1 − i| > 1

20)|z + 1| < 1

ℜz = ℑz

21)|z + 1| < 1

ℜz > ℑz

22)|z + 1| = 1

ℜz < ℑz

23)|z + 1| < 1

ℜz < ℑz

24)|z| > 1

|z − 1 − i| < 1

25)|z| < 1

|z − 1 − i| > 1

26)|z + 2| < |z + i| 27)|z + 1| = |z + i| 28)|z| > |z + i| 29)|z + 1| > |z + i| 30)|z − i| < |z + 1 − 2i|

|z + 1 − i| < 1

31)|z − i| > |z + 1 − 2i|

|z + 1 − i| < 1

32)|z + 1 − i| > |z|

|z + 1| < 1

33)|z + 1 − i| < |z|

|z + 1| < 1

34)|z + 1 − i| > |z|

|z + 1| > 1

35)|z + 1 − i| < |z|

|z + 1| > 1

✍ C 36)z 2 + z z¯ − 4 + 4i = 0   √ z¯ − i 3 37) = 2 2i 1 −√ i 38)z 2 + i 3z + i = 0 39)5¯ z − z = z z¯ + 6i 40)(¯ z − 2z + 6i)ℑz = 1 − 9i 41)(2z + z¯ − 3)ℜz = 6 − i 42)5z + z¯ = z z¯ + 4i 43)(2z − z¯ + 2)ℜz = 3 − 3i 44)(z + 2)¯ z = iz 45)(¯ z − 2)z = iz 46)(z − 2)¯ z = i¯ z 47)(¯ z + 2)z = i¯ z 48)z +

1−i z

= −2 + i

49)z −

1−i z

= 1 + 2i

50)z −

1+i z

= 1 − 2i

1+i z

= 2+i √ 52)z(4 − z¯) = 4 3i 51)z +

53)i¯ z ℑz = z 54)|z |2 + z¯ = 2 + i 55)|z + 2| z = −i 56)(z + 1)3 = i

✍ {z + i : z ∈ E} {z − 2i : z ∈ E} {−iz : z ∈ E }

{iz : z ∈ E} {−z : z ∈ E } {−z + i : z ∈ E } {z 2 : z ∈ E}

{z 3 : z ∈ E} √ { z : z ∈ E} E E = {z E = {z E = {z E = {z

∈ C : 0 ≤ |z| ≤ 1, 0 ≤ (z) ≤ π} π ∈ C : 2 ≤ |z| ≤ 3, 2 ≤ (z) ≤ 23 π} ∈ C : |z| = 1, 0 ≤ (z) ≤ π} π (z) ≤ π} ∈C: 2 ≤

✍

√ −3 + i 3 7π/4.

✍ z 3 − iz 5 + z 7

√ z = (1 + i)/ 2

✍ z = 1 − 2i (¯ z )2 + iz − 2 i|z|2 − z

z 3 − i¯ z z − |z|

√ z = (1 − i)/ 2.

✍

w=

z2

z − i¯ z − 2i|z |2

z = 1 + 2i.

✍ z = 1 − 2i (¯ z )2 + iz − 2 i|z|2 − z

✍ z, w ∈ C  i+z +w = π  izw = π.

✍ z = −3 − 4i z|z| + i¯ z , 2i + z¯ z = 4 − 3i ✍ (z, w), z, w ∈ C,   (z − |w|)(iz + z¯) = 0    2|w| − z − 2i = 2 + i(w − w) ¯     |z| = |w|.

✍ (z, w), z, w ∈ C,    (w + |z |)(iw¯ + w) = 0   2|z| + w + 3i = 3 + z + z¯     |z| = |w|. ✍ z = a + ib (a)(−1 − i)3

(b)(1 +

√

3i)3

(c)(−1 + i)3

√ (d)( 3 + i)3

✍

(a)z = −5 − 5i (b)z = 5 − 5i (c)z = −5 + 5i (d)z = 5 + 5i (e)z = −1 + i (f )z = 1 + i (g)z = 1 − i (h)z = −1 − i

✍ (−1 − i)5

z = a + ib

✍ z=

√

3 + 3i

✍ (z − 1)3 = 1

w3 = 1 ✍ E

C E = {z ∈ C : |z − 2| < 1} E

F F = {z ∈ C : iz ∈ E}

✍ z ∈ C z 6= 0

z −1 = (a)

1+z 1 + z¯

(b)¯ z |z|

(c)

z¯ |z|

(d)

z¯ |z |2

✍ z ∈ C z 6= 0 (a)

z z¯

(b)|¯ z|

(c)z + z¯

z z¯

✍ i501 = (a) − i

(b) − 1

(c)1

(d)i

✍ i502 = (a) − i

(b) − 1

(c)1

(d)i

✍ E∈C E = {z ∈ C : |z + i| = 1 |z − i| = 2} E E=∅

E E

✍ 2+3i 1+3i

= 1 (a) (7 − i) 5

1 (b) − (1 + 7i) 5

1 (c) (11 − 3i) 10

(d)

1 (7 − i) 10

✍ z

z + z¯ = 0

✍ 2z − 2ℜz + z¯ = −3i

✍ 3¯ z + 2ℑz + z = 2

✍ 3¯ z − 2ℜz − z = 2i

✍ z − ℑz = −¯ z

✍ (z − z¯) z¯ = 2

✍ z∈C (a)z − iz

(b)z − z¯

(c)z z¯

(d)z + i¯ z

✍ θ

z

2π

1 z

(a) − 2θ

(b) − θ +

π 2

(d) − θ

(c)θ

✍ z∈C

|z| = 1

(a)|z − 1| = 0

✍

√ z = 2 3 + 2i

(b)0 ≤ |z − 1| ≤ 2

w=

1 2



 cos π3 + i sin 3π

(a)

1 2

1 π (b) e−i 2 2

(c)|z − 1| < |z|

(d)

(z − 1) = 0

zw = (c)2

π

(d)2 ei 2

✍ z∈C (a)(z + i)2

(b)i(z − z¯)

(c)

z + z¯ 2i

(d)i z¯ z

✍ z = x + iy ∈ C {x + i : 1 < y < 2} {x + iy : −2 < x < −1} ∅

|z + 2| < |z| < |z + 4|

✍ |z + 1|2 =

z = 1+i

(a)5

(b)3

(c)25

(d)0

✍ 2

2

{a + ib : {a + ib : {a + ib : {a + ib :

(a − 1) + b < 1} (a − 1)2 + b2 > 1} a < 0} a > 0}

z = 2+i

z z¯ =

z = a + ib ∈ C

|z + 1| < |z − 1|

✍

✍ z −1 =

z = 3 + 4i

(a)

−3 − 4i 25

(b)

−3 + 4i 25

(c)

3 − 4i 25

(d)

3 + 4i 25

✍ z∈C

✍ z=

√  2 cos

π 16

+ i sin 16π

|z| = |z + 1|



√ 8 (a) 2 i

z8 = (b) −

√ 8

2

(c)16i

(d) − 16

✍ (z + 1)2 + 1 = 0 (a)z = ±1 − 1

(b)z = ±1 + i

(c)z = ±i − 1

(d)z = ±i + 1

(c)z = ±i − 1

(d)z = ±i + 1

✍ (z − 1)2 + 1 = 0 (a)z = ±1 − 1

(b)z = ±1 + i

✍ 3+i 1+i

= (a)1 − 2i

(b)2 + 2i

(c)2 − i

(d)4 + i

(a)1 − 2i

(b)2 + 2i

(c)2 − i

(d)4 + i

(a)1 − 2i

(b)2 + 2i

(c)2 − i

(d)4 + i

✍ 3−i 1+i

=

✍ 3+5i 1+i

=

✍ z |z|2 = 8i

z = a + ib (a)1 + 2i

(b)1 − 2i

z= (c)2i

(d) − 2i

✍ z |z|2 = −8i

z = a + ib

(b)1 − 2i

(a)1 + 2i

z= (c)2i

(d) − 2i

✍ z |z|2 = −i

z = a + ib

(b) − i

(a)i

z= (c)1 + i

(d)1 − i

✍ z = x + iy x, y ∈ R |z + 1| z = z¯? (a){0 ≤ x ≤ 2, y = 0}

(b){−2 ≤ x ≤ 0, y = 0}

(c){0} ∪ {2}

(d){0} ∪ {−2}

(c){0} ∪ {2}

(d){0} ∪ {−2}

✍ z = x + iy x, y ∈ R |z − 1| z¯ = z? (a){−2 ≤ x ≤ 0, y = 0}

(b){0 ≤ x ≤ 2, y = 0}

✍ z

|z| − 1 > 0

z

|z| − 1 < 0

✍

✍ z

|z| − 1 = 0

✍ z 2 = z¯? √ √ (b){0} ∪ {1} (c){0} ∪ {2} ∪ {−1 + i 3} ∪ {−1 − i 3} √ √ (d){0} ∪ {1} ∪ {(−1 + i 3)/2} ∪ {(−1 − i 3)/2}

(a){0} ∪ {2}

✍ z 2 = 2¯ z? √ √ (b){0} ∪ {1} (c){0} ∪ {2} ∪ {−1 + i 3} ∪ {−1 − i 3} √ √ (d){0} ∪ {1} ∪ {(−1 + i 3)/2} ∪ {(−1 − i 3)/2}

(a){0} ∪ {2}

✍ z = 3 + 4i

|z −2 | = (a)

1 13

1 (b) √ 13

(c)

1 25

(d)

1 5

✍ √ 1)y = x + 1 3)y = x3 + 3

2)y = |x − 2| + 1 4)y = sin x + 2

5)y = ex+2 √ 7)y = 2 x + 2 9)y = −x3 + 3

6)y = log(x + 5) 8)y = 2 |x − 2| 10)y = −(x + 3)3

11)y = e−x + 2 p 13)y = 2 |x| + 2 − 1 p 15)y = |3 2 − |x| − 2|

12)y = − log(−x) 14)y = −(|x| + 3)3 − 5 16)y = |e−x − 2|

4

y=

3

√

x+1

2 1

−3

−2

−1

1

0

2

3

4

−1 −2

y = |x − 2| + 1

4 3 2 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−1 5 4 3

y = x3 + 3

2 1

−3

−2

−1

0 −1 −2

1

2

3

4

5

6

R

✍ 1)1 + x2 √ 3) 8 − 2x p 5) |x − 2| p 7) |x| − 2

√ 9) log x + 1 √ 11) log( x2 − 6x + 5) √ 13) sin(x − 1 − 2x) x 15) √ x−1 17) log(x − x3 ) 1 19) 1 − √ cos x √ 21) x + 1 + 1 − x √ 23) tan(2x − x + 1)

√ 2)1 − x √ 4) x − 2 1 6) √ x−2 1 8) p |x| − 2 1 10) x −x1 12) √ 2−x 1 √ 14) 1− x−2 √ 16) x2 − 2

1 ex − 6 √ 20) log(2x − x2 − 1) p 22) log(2 − x) − log(x + 1) p 1 24) 1 − 2 log4 x − p |x − 1| 18)

✒ 1)R 3){x : x ≤ 4}