Lezione n. 6 - Funzioni Numeriche e Funzioni reali I parte PDF

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Funzioni Numeriche e Funzioni reali

Adesso ci occuperemo di funzioni numeriche, dapprima vedremo degli esercizi di carattere generale che riguardano le funzioni in generale poi ci concentreremo su una parte che vi è più familiare, le funzioni di numeri reali di cui dovremo cercare il dominio. Iniziamo con esempi piuttosto elementari. La prima è la funzione dei numeri naturali

f: N

N

La legge è quella che ad ogni numero naturale fa corrispondere il suo doppio f(x) = 2x; Allora vediamo innanzitutto se è una funzione. La risposta è Si! poiché ad ogni numero naturale corrisponde un solo numero naturale che è il suo doppio. Dopodiché voglio sapere se è iniettiva o suriettiva. Vi ricordo che una funzione è iniettiva se ad elementi distinti fa corrispondere elementi distinti; suriettiva invece, se ogni elemento del codominio proviene da qualche elemento del dominio. Allora vediamo l’iniettività: per vedere l’iniettività prendo due elementi che hanno la stessa immagine e devo vedere se esse coincidono cioè: se f(m)=f(n) allora m=n se provo questa relazione allora è iniettiva. Ora l’immagine di m è il suo doppio, l’immagine di n è il suo doppio quindi 2m=2n se io divido entrambi i membri per 2 ottengo esattamente quello che volevo m=n. Sulla II° questione – se è suriettiva – capite bene che l’immagine è sempre il doppio di un numero naturale quindi è sempre un numero pari. Quindi si vede subito che la risposta è No! Perché per esempio, 3 non sta nell’immagine. Non c’è nessun numero naturale il cui doppio fa 3! Ma potevo dire qualsiasi altro numero dispari. Quindi concludiamo che la nostra funzione è iniettiva ma non è suriettiva. Adesso proviamo a complicare le cose e supponiamo di voler sapere se questa legge f(n) =n/2 è una funzione da f: N N

Allora mi devo chiedere se è vero che ∀ n∈N n/2∈N (è ancora un numero naturale). La risposta è palesemente No!! Perché se faccio l’immagine f(1) = ½ che non è un numero naturale. Perciò non ha l’immagine nell’insieme f: N N Certo che se avessi scritto il seguente insieme f: 2N N dove (2N e il sottoinsieme dei numeri pari in N) e applico questa legge che ∀ x∈ ∈2N faccio corrispondere g(x)= x/2 allora mi devo chiedere – è vero che ad ogni numero pari la sua metà è ancora un numero naturale? – la Risp. è Si!! perché se x∈ ∈2N è un numero pari (ed un numero pari per definizione è divisibile per 2) ci sarà sempre qualche numero naturale (h) che moltiplicato 2 mi darà x: x/2 = h∈N

Quindi non è la legge che ci dice che non è una funzione o è una funzione. Ma devo vedere chi è il Dominio e chi è il Codominio. Altro esempio che mette in evidenza questa particolarità delle funzioni: 𝒙𝟑

Q dove Z è l’insieme dei numeri relativi e Q di quelli razionali. Adesso assegno questa

legge f(x) = + e poi assegno g: Z Q e la legge g(x) =x2-2x+4. Allora prendiamo quello che ho 𝒙+𝟐 scritto, cominciamo dalla prima legge e ci chiediamo è una funzione? Per dirlo ad ogni relativo questa mi deve far corrispondere un numero razionale. In effetti: Prendiamo f: Z

se prendo 1

𝟖

f(1) = 9/3 = 3;

se prendo 0

f(0) = 8/2 = 4;

se prendo -1

F(-1) = 7/1 = 7

Sembrerebbe che tutto vada bene! Purtroppo se cerco però f(-2) l’immagine sarebbe f(-2) = 0/0. Purtroppo con lo zero al denominatore questo non ∈ Q. Benissimo!! Ma se da Z\[-2] Q che è quello che mi dà fastidio poiché per qualunque altro numero il denominatore della nostra funzione non darà mai zero Quindi

Allora f(x) = 𝒙𝟑 +

𝟖

𝒙+𝟐

f: Z\[-2]

Q

è una funzione.

Ora spero che ricordiate che 8 = 23 e quando incontro x3+23 è facile ricordare che la somma di due cubi si può scrivere come: (x+2)(x2-2x+4) Cosicché questa funzione così scritta sarebbe: f(x) =

(𝑥+2)(𝑥2 −2𝑥+4) 𝑥+2

Ovviamente tutti sanno che x+2 e x+2 del denominatore si semplificano e quindi la mia funzione sarebbe g(x) = x2-2x+4. A questo punto ci chiediamo ma le due funzioni sono uguali ??? Risposta Sembrano uguali, la legge è la stessa l’unica differenza è che g(x) = x2-2x+4 è definita su tutto Z Mentre f(x) = x3+8/x+2 è definita su Z\[-2]. Quindi non hanno lo stesso Dominio o Campo di Esistenza. La stessa legge è vera, se tengo bene in mente che nel primo caso vale per tutto Z\[-2] mentre nel secondo caso vale su tutto Z. In altre parole non hanno la stessa legge perché hanno diverso il Dominio. Vediamo altri esempi anche al di fuori di quelli numerici. Prendiamo l’insieme di tutti i triangoli Tr = [triangoli rettangoli] e indichiamo con S = [segmenti]; adesso diamo le seguenti leggi: c: Tr →S

c(t)=la sua ipotenusa (che è un segmento)

Pertanto, questa è una funzione? E’ iniettiva? È suriettiva? Possiamo immaginare 2 triangoli rettangoli diversi che hanno la stessa ipotenusa? Ovviamente sapete benissimo – se vi ricordate a scuola – prendendo una semicirconferenza, prendendo un qualunque punto A questo sarà un triangolo rettangolo che avrà per ipotenusa il suo diametro. A

B

Se prendo un altro punto B questo sarà un altro triangolo rettangolo che ha la stessa ipotenusa. Quindi triangoli rettangoli diversi hanno la stessa ipotenusa. Pertanto, questa non è iniettiva. E’ suriettiva? Cosa vuol dire? Che se prendo un segmento S C’è un triangolo rettangolo che ha quel segmento? Sostanzialmente ve l’ho detto prima, prendete la semicirconferenza e vedete che ce ne sono quanti ne volete. Perciò questa funzione non è iniettiva ma è suriettiva. Ora sempre lasciando Tr→S cambiamo la legge: c1: Tr →S c1(t) = un suo cateto mi chiedo se è una funzione. Ma la risposta è banale! Un triangolo rettangolo mica ha un solo cateto ne ha 2! Quindi ad ogni triangolo rettangolo corrisponderebbero due segmenti perciò certamente questa non è una funzione. Adesso cambiamo leggermente e prendiamo

C2: Tr →R+ la legge che vi do è che ad ogni triangolo faccio corrispondere la sua area c2 (t) = area (t) e scelgo come unità di misura il metro quadro (mq). E’ vero che ad ogni triangolo corrisponde un numero reale positivo, precisamente l’area di t? Certamente possiamo dire che c2 (t) = area (t) è una funzione! Vediamo se è iniettiva…ci sono triangoli rettangoli distinti che hanno la stessa area? Allora prendiamo un triangolo rettangolo che ha per cateti (3, 4) e ipotenusa (5) 3

4

5 Ovviamente l’area è = 6 ovvero (3*4)/2, non vi faccio perdere tempo su queste cose che vi sono certamente familiari. Altro triangolo

3

4

D’altra parte l’ipotenusa neanche la calcolo, sapete che dal Teorema di Pitagora sarà sempre uguale a radice quadrata di c1+c2, L’area di questo triangolo sarà sempre uguale a 6. Pertanto, in conclusione, è iniettiva? No!! Poiché a triangoli distinti corrisponde la stessa area. E’ suriettiva?...cosa mi devo chiedere - se prendo un qualunque numero reale positivo c’è un triangolo rettangolo che per area ha questo numero reale positivo Si!! Prendiamo un numero qualunque reale positivo α allora prendiamo un triangolo rettangolo che avrà per lato α e 2

α

2

Calcolo l’area (2*α)/2 = α quindi qualunque numero reale positivo noi prendiamo, posso trovare facilmente un triangolo rettangolo che ha per area α. Quindi ogni numero reale positivo proviene da almeno un triangolo rettangolo. Quindi la risposta è Si! è suriettiva!

Funzioni reali di variabili reali Bene! Studiati questi esempi di carattere generale per il momento, vorrei adesso concentrarmi di più sulla parte che è molto importante per la matematica di base e quindi per coloro che si accingono a fare studi scientifici: lo studio di funzioni reali di variabili reali. In effetti noi facciamo un abuso di linguaggio perché con l’insieme R → R sotto indentiamo di dire che quando diamo la legge non tutto R come Dominio ma andiamo a prendere il più grande sottoinsieme di R in cui la funzione è definita. Ecco perché quando diamo la legge andiamo a cercare quello che abbiamo definito il Campo di Esistenza (C.E.) della funzione. In effetti la legge potrebbe essere data da R → R ma per alcuni valori questa non produrrebbe alcuna funzione. Quindi il dominio o C.E. di una funzione f(x) è il più grande sottoinsieme di R in cui la funzione è definità. Adesso facciamo un certo numero di esempi concreti in cui cercheremo il campo di esistenza della funzione. Allora non dirò il Dominio della funzione ma lo dovremo cercare. Il codominio sarà sempre tutto R. Cercare tutti i valori di R in cui la nostra funzione è definita. Esempio

1−𝑥

Supponiamo che la legge data è f(x) =√ 𝑥+2 Naturalmente ci dobbiamo preoccupare per quali valori di x il risultato è un numero reale e qui entrano in gioco cose che ognuno di voi negli anni ha studiato: i radicali, i logaritmi, gli esponenziali ecc..). In questa funzione, per esempio, entrano in gioco 2 fattori: il fatto che sto facendo una divisione (e sappiamo che questa non è possibile quando al denominatore compare lo zero o il divisore sia 0); poi vedo un radicale con esponente pari e mi devo ricordare che è possibile se il radicando è un numero maggiore o uguale a zero; In questo caso specifico 1-x ≥0. Quindi la ricerca del nostro campo di esistenza C.E. è da ricercare tra i numeri reali che permettono che x+2≠0; e 1-x≥0 riscrivo meglio queste diseguaglianze x+2≠0 X ≠-2; 1-x ≥0 x≤1 Tutte le x che soddisfano a questa diseguaglianza faranno parte del nostro campo di esistenza. Quindi, se lo volessi rappresentare graficamente otterrei:

-2 1 Siccome insiemisticamente devo prendere l’intersezione avrò: tutte le x< -2 e tutte le -2 0, a≠1, e l’argomento b >0. Perciò andando alla nostra funzione 1-√𝑥 − 2 >0 ed allora il campo di esistenza sarà dato dalle soluzioni comuni del seguente sistema: 𝒙 ≠ 𝟎; { 𝒙−𝟐 ≥ 𝟎 𝟏 − √𝒙 − 𝟐 > 𝟎

Risolvere il nostro sistema di disequazioni e prendere l’intersezione: x≠0; x≥2 √𝑥 − 2 < - 1 moltiplico ambo i membri per (-1) ricordando che nella disuguaglianza, moltiplicando per un numero negativo devo cambiare il verso della disuguaglianza, quindi questa diventa √𝑥 − 2 >1

Qui non si pongono tanti problemi perché so che x-2>0 quindi il primo membro è una quantità positiva; il secondo membro è una quantità positiva. Perciò una disuguaglianza non cambia se io elevo al quadrato ambo i membri, visto che sono entrambi positivi. -

!!!!!

Curate sempre quello che state facendo –

Ad esempio 5 ≥-7 ma se elevo al quadrato la disuguaglianza, questo non sarà più vero 25≥49. Ma ne nostro caso non c’è problema: (√𝑥 − 2)2 >(1)2

da cui ottengo x-2>1

Faccio il mio campo di esistenza e ottengo

ovvero x>3

𝒙 ≠ 𝟎; {𝒙 ≥ 𝟐 𝒙>𝟑

Devo prendere l’intersezione

0

2

3

Bene! Esempio

f(x) = 2𝑥−2

𝑥+2

C.E.

Vediamo che abbiamo una potenza e pertanto può essere qualunque numero reale. Allora l’unica cosa di cui mi devo preoccupare stavolta è che x-2≠0. Pertanto, C.E. tutti i numeri reali tranne che per x≠2

Altro esempio con un po’ di trigonometria f(x) =

1−𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑠𝑒𝑛𝑥

C.E.

Prima di tutto mi preoccupo che 1+senx≠0; poi poiché il seno è definito su tutto R non c’è nessuna restrizione. Perciò il C.E. ha come restrizione 1+senx≠0 ovvero senx≠-1 Allora qui bisogna ricordare dov’è che il seno vale -1. Vale -1 esattamente a 3/2π e a multipli di 3/2π perché capite bene che se a questo aggiungo un suo multiplo (λπ) ritorno allo stesso punto di partenza 1

-1 (3/2π) Quindi il C.E. R\

1

cos

-1 sen

3/2π+ 2λπ

Adesso facciamo entrare in gioco la seguente funzione: f (x) =

√1−log(𝑥+1) 𝑙𝑜𝑔𝑥

e qui la cosa comincia a complicarsi perché ciò il logaritmo; ciò la radice; ciò la divisione e il logaritmo è dentro la radice. !!! Ma io devo stare a ricordare semplicemente i fatti fondamentali per trovare il C.E. e poi andare a risolvere il sistema delle disequazioni che ne nascono !!! Incominciamo quindi col dire che logx≠0; poi che l’argomento del logaritmo deve essere >0 quindi x>0. Soddisfatte le condizioni del logaritmo passo alla radice per cui pongo 1-log (x+1) ≥ 0. Ho tradotto tutte le informazioni affinché ciò sia un numero reale. Riscriviamo meglio: log x ≠0 x>0 x+1>0 1-log (x+1) ≥ 0 Il C.E. sarà quindi l’intersezione di questi tre insiemi. Perciò il problema si sposta nell’andar a risolvere queste tre disequazioni che non sempre sono banali. Innanzitutto il log x ≠0 Dobbiamo ricordare la definizione sui logaritmi: logab è quel numero α tale che messo come esponente alla base “a” mi dà l’argomento “b” ovvero aα=b

Ed allora nel nostro caso supponiamo, per un momento, che ci sia log x=0 allora x=e0 vi ricordo che e (base dei logaritmi naturali e vale 2,718………..) in tutti i casi non mi preoccupo quanto vale e perché so che ogni numero elevato a zero è uguale ad 1 >0. Quindi ritornando al nostro caso devo porre x≠1. Le altre due disequazioni una è risolta e l’altra praticamente pure. Perciò ci resta l’ultima. Anche qui se ci ricordiamo la definizione è facile. Innanzitutto facciamo questi due passaggi elementari: log (x+1) ≥ -1;

perciò log (x+1) ≤1

(moltiplico per -1 e cambio di verso la disequazione).

Ancora una volta applicherò la definizione di logaritmo: 1 è l’esponente che devo dare ad e per ottenere (x+1) ma non c’è il segno uguale!!! Perciò devo ricordare un’altra cosa che i logaritmi che hanno una base più grande di 1 (ed e lo è) sono logaritmi crescenti. Perciò se io ho questa disuguaglianza questa resta così com’è quando la base è più grande di 1. Quando invece la base è più piccola di 1 (es. 1/2) quando applico la definizione il logaritmo è decrescente quindi dovrò cambiare il verso. Non è il nostro caso!!! Perciò scriverò

x+1≤ e1

x ≤e1 -1

In definitiva il nostro C.E. sarà il seguente x≠1 x>0 x>-1 x≤ e1 -1 Si tratta ora di trovare l’intersezione

-1

0

1

e-1

00 { |𝑥| 1− ≥ 0𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝑥| ≤ 1

E si tratta di sapere risolvere questa disequazione | x |≤1. Le altre due sono praticamente già risolte.

Ci sono molti metodi, uno semplice ci dice che: −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

Ma se uno non lo ricorda cosa potrebbe fare? Innanzitutto ci preme conoscere la definizione che ci dice che quando incontro un valore assoluto | x | Questo vuol dire che: xsex ≥ 0; |x|= { −xsex < 0

Se io voglio risolvere quindi questa disequazione | x |≤1 potrei fare così utilizzando soltanto la definizione: Supponiamo che x sia maggiore o uguale a zero allora questo vuol dire che x ≥ 0 e x≤1 cioè 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

prima parte!!!!

Poiché è un valore assoluto vuol dire anche l’altra parte quindi se𝒙 < 𝟎 allora−𝒙 ≤ 𝟏 ho cambiato di segno e il verso della disequazione !!!! Riscriviamo 𝑥 0 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 -1

0

1

𝟎...