Funzioni Reali DI Variabile PDF

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FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di

e siano x ed y due elementi variabili rispettivamente in

A e in B, si definisce funzione reale di variabile reale una relazione che associa ad ogni elemento uno ed un solo elemento

.

La variabile x si dice variabile indipendente; La variabile y si dice variabile dipendente o immagine di x secondo la funzione assegnata e si indica nel modo seguente: (si legge y uguale f di x ) Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive: (si legge f è una funzione di A in B ) Utilizzando il simbolismo introdotto in logica matematica possiamo scrivere: è funzione di A in B

f una relazione di A in B

A si dice dominio della funzione f, e lo indicheremo anche con la lettera D oppure con la seguente scrittura (successivamente parleremo in modo approfondito del concetto di dominio di una funzione reale di variabile reale,in relazione alla determinazione dello stesso quando non è assegnato) OSSERVAZIONI IMPORTANTI In generale 1)

è funzione se si verificano contemporaneamente le 3 condizioni seguenti:

è una relazione di A in B ( cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano

2)

)

(in generale, il dominio di una semplice relazione può essere un sottoinsieme

dell’insieme di partenza A, ciò non può accadere per le funzioni) 3)

è univoca, cioè In

generale

per

una

semplice relazione è possibile che un elemento del

dominio abbia 2 elementi corrispondenti distinti, ciò non può accadere per le funzioni. Tuttavia è possibile, per le funzioni, che 2 elementi distinti del dominio abbiano la stessa immagine, cioè si può verificare che

.

Il sottoinsieme dell’insieme B (insieme di arrivo della funzione) formato dalle immagini degli elementi di A si dice codominio della funzione. Il codominio di una funzione lo indicheremo con la lettera C oppure con la scrittura seguente : .

LE FUNZIONI ANALITICHE Nonostante sia possibile generalizzare il concetto di funzione anche quando gli insiemi A e B non sono sottoinsiemi di

, noi ci occuperemo solo ed esclusivamente delle funzioni reali di variabile

reale, e cioè di quelle funzioni che mettono in corrispondenza 2 variabili numeriche reali. Queste funzioni sono dette anche funzioni analitiche o matematiche (attenzione non sono le uniche). Una funzione analitica è sempre assegnata mediante una legge f esprimibile analiticamente; ossia la corrispondenza

si realizza attraverso l’applicazione di una formula matematica che

caratterizza la funzione stessa. Tale formula, fissato un qualunque valore

, ci consente di calcolare univocamente il

corrispondente valore dell’immagine

, eseguendo un numero finito di operazioni

matematiche ben determinate. Esempio :la funzione

definita dalla legge matematica

oppure mezzo della legge assegnata.

associa ad ogni valore

oppure

uno e un solo valore

per

Per esempio, per x=4 si determina l’immagine . Spesso, come nell’esempio, una funzione è assegnata per mezzo di un’espressione analitica, ossia di una formula matematica. Se la formula matematica è del tipo

, come nell’esempio considerato, si dice che la

funzione è assegnata in forma esplicita. Nel caso in cui la formula matematica che definisce la funzione è del tipo

, si dice che

la funzione è assegnata in forma implicita.

Per esempio: l’equazione

è la forma implicita della funzione

considerata. Forma esplicita

Forma implicita

sopra

GRAFICO DI UNA FUNZIONE Assegnata una funzione reale di variabile reale

, di equazione

, detto C il

codominio di f. Si definisce grafico della funzione l’insieme di tutte le coppie ordinate che hanno come primo elemento un elemento del

, e come secondo elemento la rispettiva immagine in C.

Tale grafico è un insieme di coppie ordinate che può essere rappresentato in un piano cartesiano mediante un insieme di punti del tipo

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI I LIVELLO: EMPIRICHE (le immagini si determinano di volta in volta effettuando delle misure, non esiste alcuna legge matematica che lega le variabili x ed y)

FUNZIONI ANALITICHE (quelle esprimibili attraverso una legge matematica e in cui l’immagine è sempre rilevabile → si ottiene assegnando un valore arbitrario alla x, purché la

)

Le funzioni analitiche permettono di ottenere l’immagine attraverso un numero finito di operazioni matematiche. Indicando con che:

l’insieme delle funzioni reali di variabile reale, possiamo osservare

Tutto ciò è schematizzato nel seguente diagramma:

EMPIRICHE FUNZIONI

ALGEBRICHE

RAZIONALI IRRAZIONALI

ANALITICHE TRASCENDENTI

ESEMPI DI FUNZIONI ANALITICHE ●Funzioni algebriche razionali intere: ;

;

●Funzioni algebriche razionali fratte: ; ●Funzioni algebriche irrazionali intere: ; ●Funzioni algebriche irrazionali fratte:

ESPONENZIALI LOGARITMICHE GONIOMETRICHE

; ●Funzioni trascendenti:

f(x)=

f(x) = ln...