Limiti di funzioni PDF

Preview

Summary

Appunti presi a lezione sui limiti delle funzioni...

Description

Matematica Limiti di funzioni Il limite di una funzione f(x) , per x tendente a x0 ∈ R , nel caso in cui xo risulti un punto di accumulazione per il dominio di f(x), un punto tale che in ogni intorno cadono punti di X distinti da x0. Intervalli Se a,b sono numeri reali con l'ipotesi di a < b per indicare l'intervallo di estremi a,b si usano le notazioni: [a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (a,b) = {x ∈ R | a < x < b} [a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} Questi intervalli indicano numeri finiti cioè intervalli limitati. Mentre questi altri sono illimitati in quanto a e b sono estremi dell'intervallo nel caso in cui questi non ne fanno parte. [a,+∞) = {x ∈ R | x ≥ a} (a,+∞) = {x ∈ R | x > a} (-∞,b] = {x ∈ R | x ≤ a} (-∞,b) = {x ∈ R | x < a} (-∞,+∞) = R Un intorno di x0 è un intervallo aperto contenente x0, in generale è considerato un intorno di x0 ogni insieme contenente un intervallo aperto di a. Esempio f(x) = A = R – {0} A = (-∞,0) ∪ (0,+∞) In questo x0, punto prescelto per il calcolo del limite può appartenere a uno dei due intervalli (-∞,0) (0,+∞), x0 in questo caso lo trattiamo come un numero reale. Definizione limite finito – si dice che f(x) ha il limite uguale a l (tende o converge a l) per x che tende ad x0 se qualunque sia la successione xn -> x0 , con xn  A e xn  x0 per ogni n risulta f(xn) = l lim x -> x0 f(x) = l , xn  A , xn  x0 , ∀ n ∈ N La definizione di limite è possibile per mezzo di disuguaglianze con i simboli ℇ ,  per le successioni. Mentre per i limiti di funzioni si usano ℇ, nel modo seguente: teorema – si ha lim x -> x0 f(x) = l (limite di una funzione), se e solo se, qualunque sia ℇ > 0, esiste un numero  > 0 in modo che l-ℇ < f(x) < l+ℇ per ogni x ∈ A – {0} tale che x0 -  < x < x0 - .

lim x -> x0 f(x) = l ∀ ℇ > 0, ∃  > 0 | |f(x) – l| < ℇ , +  f(x) =l ∀ ℇ > 0, ∃ k | |f(x) – l| < ℇ , k -  f(x) =l simile con nella tesi con x< -k Limite infinito lim x -> +  f(x) =+  ∀ M > 0, ∃ k | f(x) > M , k -  f(x) =-  con ipotesi f(x) < -M e x < -k. Limite destro e sinistro E' importante considerare anche il limite destro(x -> x0+) e sinistro (x -> x0-) se si avvicina x ℇ A rispettivamente solo maggiori di x0, o solo minori. lim x0+ f(x) = l ∀ ℇ > 0, ∃  >0 | |f(x) - l| < ℇ , 0 | |f(x) - l| < ℇ , R due funzioni tali che: lim x->x0 g(x) =y0 lim y->y0 f(y)=l ed esiste  > 0 tale che risulti g(x)  x0 per ogni x  x0 dell'intervallo (x0 - , x0 + ) . Allora è

anche: lim x->x0 f(g(x)) = l Funzioni continue Una funzione f(x) è continua in un punto x0 se lim x-> x0 f(x) = f(x0) Una funzione è continua in un intervallo [a,b] se è continua in ogni punto x0 ∈ [a,b] (se x0 = a si considera il limite destro x -> a+ , x0 = b per il limite sinistro x -> b-). La somma, la differenza, il prodotto, il quoziente(tenendo conto del denominatore che si annulla) è una funzione continua. Discontinuità La funzione f(x) = |x|/x = { 1 se x > 0, -1 se x < 0 è continua per x ≠ 0, ma non è continua se x = 0. Il grafico di questa funzione per x = 0 rappresenta un salto, una discontinuità

Questa funzione non è continua nel punto x0 = 0 perchè non esiste il valore f(x0) = f(0). Estendendo f(x) a x0 = 0 con un valore l ∈ R; considerando la funzione opposta f_(x) definita da f_(x) = {f(x) = |x|/x se x ≠ 0, l se x = 0 La funzione f_(x) è definita anche nel punto x0 = 0 ma non è continua in tale punto perchè non esiste il limite per x -> x0 f_(x); precisamente il limite destro è diverso dal limite sinistro. Nel caso della funzione trigonometrica f_(x) = sen x / x non è continua in x0 = 0 (non è definita) ma si può prolungare per continuità f(x) mediante la

funzione: f_(x) = {f(x) = sen x /x se x ≠ 0, l se x = 0 A a causa del limite notevole è continua anche nel punto x0 = 0. Il grafico si ottiene “completando” il disegno in figura con l'ulteriore punto di coordinate. Tipi di discontinuità. Sia f(X) una funzione definita in A e x0 un punto di A. Le discontinuità di f(x) si classificano nel modo seguente: (a) la funzione presenta in x0 una discontinuità eliminabile se esiste il limite di f(x) per x -> x0 e risulta lim x -> x0 f(x) ≠ f(x0). In tal caso, posto l = lim x -> x0 f(x), la funzione f_(x) = {f(x) se x ∈ A - {x0}, l se x = x0 risulta continua nel punto x0. (b) la funzione f(x) presenta in x0 una discontinuità di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro di f(x) in x0 e si ha lim x -> x0- f(x) ≠ lim x -> x0+ f(x) (c) la funzione f(x) presenta in x0 una discontinuità di seconda specie se uno almeno dei due limiti lim x -> x0- f(x) lim x -> x0+ f(x) non esiste oppure è infinito. Sia A un intervallo (o unione finita di intervalli), x0 ∈ A, e f(x) una funzione definita in A – {x0}; se esiste il limite im x -> x0 f(x) = l, allora la funzione f_(x), definita in A da f_(x) = {f(x) se x ∈ A - {x0}, l se x = x0 è detta prolungamento per continuità di f(x) in x0; f_(x) risulta continua in x0. Se poi f(x) è continua in A – {x0}, allora f_(x), continua su tutto l'insieme A, è detta prolungamento per continuità di f(x) su A. Teoremi sulle funzioni continue. I teoremi principali che operano sulle funzioni continue sono: ● teorema della permanenza del segno ● teorema dell'esistenza degli zeri

● ● ●

teorema di Weierstrass primo , secondo teorema dell'esistenza dei valori intermedi criterio di invertibilità.

Teorema della permanenza del segno. Sia f(x) una funzione definita in un intorno di x0, e sia continua in x0. Se f(x0) >0, esiste un numero  > 0 con la proprietà che f(x) > 0 per ogni x ∈ (x0 - , x0 + ). Ipotesi: sia f(x) una funzione continua in x0 e f(x0) > 0. Tesi:   > 0 | ∀ x ∈ (x0 - , x0 + ), f(x) > 0. Teorema dell'esistenza degli zeri. Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]. Se f(a) < 0, f(b) > 0, allora esiste x0  (a,b) tale che f(x0) = 0. Ipotesi: sia f(x) una funzione continua in [a,b] , f(a) * f(b) < 0 Tesi:  x0  (a,b) | f(x0) = 0. (Primo) Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Una funzione continua in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Ipotesi: f(x) continua in [a,b] Tesi: la funzione f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) cioè g(x) = f(x) – y0 ∀ x ∈[ ∈[a,b]. NB: Il caso riguarda in cui f(a) ≤ f(b). La tesi consiste nel provare che qualunque sia y0 ∈ [f(a), f(b)], esiste x0 ∈ [a,b] tale che f(x0) = y0. Se y0 = f(a) , x0 = a, allora anche y0 = f(b) e x0 =b. Teorema di Weierstrass Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora f(x) assume massimo e minimo in [a,b] cioè esistono in [a,b] x1,x2 tali che f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) ∀ x ∈[a,b]. I numeri x1, x2 sono detti rispettivamente punti di minimo e di massimo per f(x) nell'intervallo [a,b]; i corrispondenti valori m = f(x1) e M = f(x2) sono detti di minimo e massimo di f(x) in [a,b]. Ipotesi: f(x) continua in [a,b] Tesi: ∃ x1, x2 ∈ [a,b] | f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) ∀ x ∈[a,b]. x1 = punto di minimo in a,b x2 = punto di massimo in a,b Inoltre la funzione se è continua ed è strettamente monotòna esiste il suo inverso (funzione invertibile). (Secondo) Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Una funzione continua in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra il minimo e il

massimo. I valori di massimo e minimo sono assunti dal Teorema di Weierstrass , qualunque sia y0 ∈ (m,M) , esiste x0 ∈ [a,b] tale che f(x0) = y0. Indichiamo con x1,x2 i punti di minimo e massimo di f(x) tali che f(x1) = m, f(x2) = M considerando la funzione g(x) = f(x) – y0 ∀ x ∈[ ∈[a,b] Criterio di invertibilità Una funzione continua e strettamente monotòna in un intervallo [a,b] è invertibile in tale intervallo. f(a) < f(x) < f(b) ∀ x ∈[ ∈[a,b] f(a) è il minimo della f in [a,b] mentre f(b) è il massimo....