Lezione 11.1 Funzioni a più variabili limiti, continuità PDF

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Lezione 11 –Funzioni a più variabili: limiti, continuità e derivabilitàDefinizione 11. Data la funzione f : X → R con X ⊆ Rn e x0 ∈ Rn si definisce che l è limite di f per x tendente a x 0 lim x → x 0f ( x )= l se ∀ I ( l ) ∃ I ( x 0 ):∀ x ∈ I ( x 0 )∩ X ;x ≠ x 0 si ha f ( x )∈ I ( l )Definizione 11...

Description

Lezione 11 –Funzioni a più variabili: limiti, continuità e derivabilità Definizione 11.1 n f : X →R X⊆R Data la funzione con e

0

n

x ∈R si definisce che l è limite di f per x tendente a x0 lim f ( x )=l x→x0 se ∀ I (l ) ∃I ( x 0 ) : ∀ x∈I ( x 0 )∩ X ; x≠x 0 si ha f ( x ) ∈I ( l )

Definizione 11.2 I(l)

f : X →R 0

x ∈X

se

con X⊆R

n

si dice continua in lim0 f  x   f x 0

x x

 

Esempio 11.1 f ( x )= 2 2x 1 x22 , x12 + x 22≠0 x1 + x2 , ¿ f : R 2 {0 ¿ ¿→ R ¿

lim x →0

2 x 1 x2 x21+ x22

0 0

10 10 0 10 0 0 0 0 0 0 0 10 0 10 0 10 0

non esiste perché in qualunque intorno di (0,0) cadono  infiniti punti la cui immagine è 0,  infiniti punti la cui immagine è 1; infatti x 1=0 , x 2 ≠0 ⇒ f ( x ) =0⇒ f ( x ) → 0 x 2=0 , x 1 ≠0 ⇒ f ( x ) =0⇒ f ( x ) →0 x 1=x 2 ≠0 ⇒ f ( x ) =1⇒ f ( x ) →1

Esempio 11.2 lim ln (1+ x 12 + x 22 )=0 x →0

f ( x )=ln ( 1+ x 12 + x 22 )

f : R2 →R

f ( x )≥0 , f ( x )=0 ⇔ x=0

∀ I ( 0) ∃ I ( 0) : ∀ x∈I ( 0 ) ; x ≠0 f ( x ) ∈I ( 0 ) −ε < f ( x ) < ε ⇔ ln (1+ x 21 + x 22 )...