Massimi E Minimi DI Funzioni Reali IN DUE Variabili PDF

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MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI REALI IN DUE VARIABILI 1. Dare la definizione di un punto massimo relativo per una funzione a due variabili e descrivere la procedura per determinare punti di massimo e minimo mediante le linee di livello. Si intende per massimo relativo di una funzione in due variabili, il valore più alto che assume la funzione all’interno del suo dominio, di conseguenza i punti che sono attorno a quest’ultimo hanno un valore di k inferiore. Sia P1 il massimo relativo, qualsiasi altro punto P assume un valore di k a lui inferiore. Invece si intende per minimo relativo di una funzione in due variabili, il valore più basso che assume la funzione all’interno del suo dominio, di conseguenza i punti che sono intorno a quest’ultimo hanno un valore di k superiore. Sia P1 il minimo relativo, qualsiasi altro punto P assume un valore di k a lui superiore. La procedura per determinare i punti di massimo e minimo relativo è la seguente: a. pongo l’equazione generica della linea di livello b. individuiamo e disegniamo 3 linee di livello in un unico grafico c. studio se le linee di livello si restringono attorno al punto per valori crescenti di della quota k (massimo relativo) o per valori decrescenti (minimo relativo) 2. Che cosa significa che i massimi ed i minimi relativi della funzione sono liberi? Sono definiti liberi in quanto non esistono legami fra le variabili indipendenti, dunque possono assumere qualunque valore nel dominio. 3. Che cosa si intende per massimo o minimo vincolato? Per massimo o minimo vincolato si intende il punto che soddisfa determinate condizioni della funzione in due variabili, che si esprimono mediante equazioni e disequazioni. Sono vincolati perché le variabili indipendenti non possono assumere qualsiasi valore del dominio perché sono legate tra loro da un vincolo. I punti di massimo e minimo vincolati sono dati dai punti in cui le linee di livello sono tangenti alla linea rappresentativa del vincolo (l). 4. In un punto P di massimo o di minimo vincolato, come si comportano le linee di livello? Le linee di livello sono tangenti alla linea rappresentativa del vincolo (l) della funzione in due variabili, costituendo così il punto P di massimo o minimo vincolato. 5. Se il vincolo è espresso da un’equazione, come si determinano gli eventuali massimi e minimi vincolati utilizzando le linee di livello? Se il vincolo è espresso da un’equazione, per determinare gli eventuali massimi e minimi vincolati è necessario: a. sistema tra l’equazione della funzione in due variabili e la linea rappresentativa del vincolo (l) trovo l’equazione risolvente il sistema con k b. pongo la condizione di tangenza all’equazione risolvente il sistema = b2 - 4ac trovo la quota (k) del punto critico di tangenza (anche più di uno se la linea rappresentativa del vincolo non è lineare) c. individuo le coordinate dei punti di tangenza: sostituisco la quota trovata con l’equazione risolvente il sistema (che abbiamo ottenuto precedentemente) e ottengo la coordinata di x o y, sostituisco infine l’incognita trovata con l’equazione semplice della funzione in due variabili che abbiamo ottenuto nel sistema con la linea rappresentativa del vincolo. ho trovato i punti di tangenza d. disegno il grafico con linea del vincolo e linee di livello che devo trovare con le quote k trovate individuo se sono in presenza di un massimo o minimo vincolato in relazione a k

6. Esporre il procedimento della ricerca del massimo assoluto e del minimo assoluto utilizzando le linee di livello. Innanzitutto è necessario individuare la ricerca del massimo o del minimo assoluto riguardi una funzione in 2 variabili non lineare soggetta a vincoli lineari o non, oppure se si riferisce ad una funzione in 2 variabili lineari soggetta a vincoli lineari (non si calcolano le linee di livello, si studiano direttamente gli estremi e non i punti interni al dominio dati dai massimi o minimi relativo). Se si tratta di una funzione in 2 variabili non lineare soggetta a vincoli lineari o non bisogna: a. risolvere il sistema del dominio dei vincoli e rappresentare le soluzioni delle disequazioni in un unico grafico (bisogna studiare anche l’area nella quale la funzione ammette risultati reali) b. individuo massimi o minimi relativi (individuo l’equazione generica delle linee di livello, individuo e disegno 3 linee di livello, individuo se è presente un massimo o minimo relativo solo nelle linee di livello di una funzione che sono costituite da un fascio di circonferenze concentriche) c. individuo il valore che la funzione assume ai vertici o ai punti relativi che cadono all’interno del dominio (massimo e minimo assoluto se il dominio è costituito da un poligono oppure o massimo o minimo assoluto se il dominio è costituito da un troncone). 7. Analizzare il problema della ricerca del massimo o minimo assoluto di una funzione lineare con vincoli espressi da disequazioni lineari. Se la funzione è lineare ed è soggetta a vincoli lineari bisogna adottare un altro metodo di risoluzione per individuare i massimi o minimi assoluti: a. Risolvere il sistema dei vincoli del dominio e rappresentare le soluzioni delle disequazioni in un unico grafico b. Individuare il valore che la funzione assume ai vertici: sostituisco le coordinate dei vertici con l’equazione della funzione in 2 variabili c. determino: minimo e massimo assoluto se il dominio è rappresentato da un poligono, massimo o minimo assoluto se il dominio è rappresentato da una regione illimitata detta troncone. 8. Che cosa si intende per dominio dei vincoli? Il dominio dei vincoli è la soluzione del sistema S, composto da vincoli che possono essere rappresentati da equazioni, disequazioni o sistemi, che può consistere in un poligono, in un troncone (regione illimitata aperta), un segmento, un punto o insieme vuoto. 9. Come si procede alla ricerca del massimo e del minimo assoluto di una funzione lineare se il dominio dei vincoli è rispettivamente un poligono od un troncone? Se l’intersezione del dominio dei vincoli non è vuota, ci troviamo difronte ad un poligono o ad un troncone, un segmento o un punto. Se il dominio di una funzione è un poligono, i punti massimi e minimi assoluti si trovano sul contorno del poligono, o del segmento o del punto, in sintesi basta calcolare il valore che assume la funzione ai vertici del poligono; il massimo dei valori è il massimo assoluto e il minimo dei valori è il minimo assoluto. Invece se il dominio di una funzione è un troncone il punto massimo o minimo assoluto vanno studiati sul contorno del troncone, in questo caso avremo solo un massimo o un minimo assoluto che si trova sul vertice.

MASSIMI E MINIMI di una FUNZIONE IN DUE VARIABILI I massimi e i minimi di una funzione in due variabili sono detti estremi di questa funzione, si dice che una funzione ammette un estremo in un dato punto se quest’ultimo è massimo o minimo. I massimi o minimi possono essere: - Relativi (liberi) - Assoluti (liberi) - Vincolati

MASSIMI E MINIMI RELATIVI La funzione in due variabili ammette un massimo relativo nel punto P1 se: nel suo intorno, incluso nel dominio D, qualsiasi punto P di detto intorno assuma un valore minore rispetto al punto P1. La funzione in due variabili ammette un minimo relativo nel punto P1 se nel suo intorno, incluso nel dominio D, qualsiasi punto P di detto intorno abbia un valore maggiore rispetto al punto P1. I massimi e minimi relativi sono detti liberi, perché non esistono legami fra le variabili indipendenti che possono assumere qualunque valore nel dominio. In prossimità di un massimo o minimo relativo le linee di livello “si restringono” attorno ad un punto: se si restringono attorno al punto P per valori di K crescenti, la funzione ha un massimo relativo; se si restringono attorno al punto P per valori decrescenti la funzione ha un minimo relativo. Procedura per studiare un massimo o minimo relativo: a. pongo l’equazione generica della linea di livello b. individuiamo e disegniamo 3 linee di livello in un unico grafico c. studio se le linee di livello si restringono attorno al punto per valori crescenti di della quota k (massimo relativo) o per valori decrescenti (minimo relativo) N.B. i massimi o minimi relativi si possono avere solamente nelle funzioni non lineari le quali posseggono come linee di livello un fascio di circonferenze concentriche, poiché queste ultime si restringono attorno ad un punto. Inoltre non si possono avere contemporaneamente un massimo ed un minimo relativo poiché il punto interessato è il centro delle circonferenze concentriche.

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI L’insieme S, detto anche dominio dei vincoli, è un poligono, o un troncone (regione poligonale illimitata), o un segmento, o un punto o insieme vuoto (in questo caso la funzione di due variabili è definita per ogni coppia di numeri reali (x;y) e dunque non presenta né massimo né minimo assoluto). I vincoli di tale insieme S possono essere rappresentati da equazioni, disequazioni o sistemi. In particolare la soluzione del sistema, quando l’intersezione non è vuota può riguardare: -

un poligono convesso (eventualmente riconducibile ad un segmento o ad un punto)

Secondo il teorema di Weierstrass, una funzione in due variabili continua e definita da un insieme limitato e chiuso S, ammette sempre sia il massimo che il minimo assoluto. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI...