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FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE: PRIME DEFINIZIONI Gaetano Tarcisio Spartà

Gaetano Tarcisio Spartà

“Funzioni di una variabile reale: Prime definizioni”

Indice

1. FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE ............................ 3 2. CAMPO DI ESISTENZA ......................................................................... 5 3. GRAFICO .................................................................................................. 8 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................... 10

Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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1. FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Ricordiamo che, dati due insiemi A (dominio), B (insieme di arrivo), una funzione è una legge che a ogni elemento di A associa uno (e un solo) elemento di B. Se il dominio è un sottoinsieme (non vuoto) dell’insieme R dei numeri reali, e l’insieme di arrivo è R, la funzione si dice “reale” (in riferimento all’insieme di arrivo) “di una variabile reale” (in riferimento al dominio). In altri termini: Sia A un sottoinsieme (non vuoto) dell’insieme dei numeri reali R. Una funzione reale di una variabile reale è una legge che a ogni numero reale x dell’insieme A associa uno (e un solo) numero reale. Per indicare che f

è una funzione reale di dominio A, si usa la

notazione 𝑓: 𝐴 → 𝑅 (che si legge “f da A a

R”). Se x è un elemento di A, il suo

corrispondente elemento di R (tramite f) si indica con 𝑓(𝑥) (che si legge “f di x”). Facciamo qualche esempio.

Esempio 1 Consideriamo la funzione 𝑓: [0 , 1] → 𝑅 definita dalla legge 𝑓(𝑥) = 2𝑥 . In questo caso, il dominio della funzione è l’intervallo reale [0 , 1]. La funzione associa, a ogni numero dell’intervallo, il suo doppio. Per esempio, si ha 𝑓(0) = 2 ∙ 0 = 0 ,

Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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1 𝑓( ) = 2∙1 = 1, 2 2 𝑓(1) = 2 ∙ 1 = 2 . Esempio 2 Consideriamo la funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita dalla legge 𝑓(𝑥) = 𝑥 . In questo caso, il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali. La funzione associa, a ogni numero reale, il numero stesso. Per esempio, si ha 𝑓(−1) = −1 , 𝑓(0) = 0 ,

𝑓(√2) = √2 . Questa funzione prende il nome di “funzione identità”.

Esempio 3 Consideriamo la funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita dalla legge 𝑓(𝑥) = 5 . In questo caso, il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali. La funzione associa, a ogni numero reale, il numero 5. Per esempio, si ha 𝑓(−4) = 5 , 𝑓(1) = 5 ,

3 𝑓( ) = 5. 2

Una funzione di questo tipo, cioè che assume sempre lo stesso valore, si dice “costante”. Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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2. CAMPO DI ESISTENZA A partire da una espressione di tipo f(x) possiamo chiederci quale sia il più “grande” sottoinsieme A dei numeri reali che si può scegliere come dominio della funzione f. In altri termini, ci chiediamo quali sono i numeri reali x per i quali l’espressione f(x) è ben definita. Il sottoinsieme di R nel quale l’espressione f(x) è ben definita si definisce “campo di esistenza” (o “insieme di definizione”) di f(x).

Esempio 4 Consideriamo l’espressione 𝑓(𝑥) = 2𝑥 . Nell’esempio 1, a partire da questa legge abbiamo definito una funzione di dominio [0 , 1 ] . Comunque, questa espressione è ben definita per ogni numero reale (dato che ogni numero reale può essere moltiplicato per 2). Allora, il campo di esistenza di f(x) è l’insieme dei numeri reali 𝑅. Esempio 5 Consideriamo l’espressione 𝑓(𝑥) =

1 . 𝑥−1

Questa espressione è ben definita quando il denominatore è diverso da zero. Dato che 𝑥−1=0 equivale a 𝑥 =1, Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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l’espressione è ben definita per 𝑥≠1 (x diverso da 1). Cioè, il campo di esistenza di f(x) è (−∞ , 1) ∪ (1 , +∞) . Esempio 6 Consideriamo l’espressione 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 . Dato che una potenza di base positiva è definita per qualsiasi esponente, il problema si riconduce a individuare i valori per i quali è ben definita l’espressione √𝑥 . La radice quadrata è ben definita per i numeri maggiori o uguali a zero (abbiamo già visto l’esistenza della radice n-esima dei numeri positivi. Inoltre, la radice n-esima di zero è zero). Dunque l’espressione f(x) è ben definita per 𝑥 ≥0. Cioè, il campo di esistenza di f(x) è [0 , +∞) . Esempio 7 Consideriamo l’espressione 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑥 + 2) . Questa espressione è ben definita quando l’argomento del logaritmo è maggiore di zero. Dato che 𝑥+2>0 equivale a 𝑥 > −2 , l’espressione è ben definita per Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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𝑥 > −2 . Cioè, il campo di esistenza di f(x) è (−2 , +∞) .

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3. GRAFICO Data un funzione 𝑓: 𝐴 → 𝑅 , definiamo “grafico di f” l’insieme delle coppie ordinate (𝒙, 𝒇(𝒙)) al variare di x nel dominio A. Dato che gli elementi del grafico di una funzione sono coppie di numeri reali, possiamo considerare il grafico come un sottoinsieme del piano cartesiano. Vediamo qualche esempio.

Esempio 8 Sia k un numero reale. Consideriamo la funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita dalla legge 𝑓(𝑥) = 𝑘 (funzione costante di valore k). Il grafico di f è l’insieme delle coppie (𝑥, 𝑘) al variare di x nell’insieme dei numeri reali, e rappresenta una retta del piano cartesiano, parallela all’asse delle ascisse (la retta di equazione 𝑦 = 𝑘. Vedi figura seguente).

Esempio 9 Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633)

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Consideriamo la funzione identità vista nell’esempio 2, cioè la funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita dalla legge 𝑓(𝑥) = 𝑥 . Il grafico di f è l’insieme delle coppie (𝑥, 𝑥) al variare di x nell’insieme dei numeri reali, e rappresenta una retta del piano cartesiano (la retta di equazione 𝑦 = 𝑥. Vedi figura seguente).

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BIBLIOGRAFIA 

Guerraggio. Matematica (seconda edizione). Pearson. 2009. Capitolo 2, paragrafo 6 (con qualche differenza nelle definizioni).

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