Definizione DI Funzioni PDF

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matematica, definizioni...

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DEFINIZIONE DI FUNZIONE: Una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. DEFINIZIONE DI IMMAGINE E CONTROIMMAGINE: L'immagine di una funzione è l'insieme dei

valori assunti da una funzione sul proprio dominio, ed è quindi contenuta nell'insieme di arrivo della funzione (il codominio), con il quale può al più coincidere, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione. DEFINIZIONE DI FUNZIONE INIETTIVA: In matematica, una funzione iniettiva è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

DEFINIZIONE DI FUNZIONE SURIETTIVA: In matematica, una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio. DEFINIZIONE DI FUNZIONE BIUNIVOCA O BIETTIVA: Diciamo che f è una funzione biiettiva se essa è contemporaneamente una funzione iniettiva e una funzione suriettiva. DEFINIZIONE DI FUNZIONE INVERTIBILE: Richiamiamo per prima cosa alla mente i concetti

di dominio e codominio di una funzione, ossia gli insiemi di input e output dei valori entranti e uscenti “mappati” tra loro da una funzione. Ci rendiamo allora immediatamente conto che una funzione inversa non è altro che una funzione che collega gli stessi due insiemi nelle stesse identiche corrispondenze della funzione di partenza, ma nel verso opposto. Si scambiano di fatto le xx del dominio con le yy del codominio. La funzione inversa di una f(x)f(x) è solitamente indicata come ff elevata alla -1−1 di xx: f^{-

1} (x)f−1(x). DEFINIZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA: si definisce funzione composta di f e g ( si indica con g o f : S -> T e si legge g composto f, funzione di S in Z ) la funzione di S in Z che ad ogni x in S associa l’elemento Z= g(f(x) Є Z DEFINIZIONE DI MINIMO E MASSIMO DI UN INSIEME: Sia A un sottoinsieme di un insieme numerico B, si definisce minimo di A, se esiste, quell’elemento di A minore o uguale ad ogni altro elemento di A: min A 6 x, ∀x ∈ A . Massimo di A, se esiste, quell’elemento di A maggiore o uguale ad ogni altro elemento di A: max A > x, ∀x ∈ A. DEFINIZIONE DI ESTREMO INFERIORE E SUPERIORE DI UN INSIEME: Sia A un sottoinsieme di un insieme numerico B, si definisce minorante di A ogni elemento di B minore o uguale ad ogni elemento di A. si indica con Amin l’insieme dei minoranti di A b ∈ Amin ⇔ b ∈ B, b 6 x, ∀x ∈ A se Amin 6= ∅ (ovvero esistono minoranti per l’insieme A) allora A viene detto limitato inferiormente se Amin = ∅ (ovvero non esistono minoranti per l’insieme A) allora A viene detto illimitato inferiormente si definisce estremo inferiore di A, se esiste, il massimo dei minoranti infA = maxAmin Sia A un sottoinsieme di un insieme numerico B, si definisce maggiorante di A ogni elemento di B maggiore o uguale ad ogni elemento di A. si indica con Amag l’insieme dei maggioranti di A b ∈ Amag ⇔ b ∈ B, b > x, ∀x ∈ A se Amag 6= ∅ (ovvero esistono maggioranti per l’insieme A) allora A viene detto limitato superiormente se Amag = ∅ (ovvero non esistono maggioranti per l’insieme A) allora A viene detto illimitato superiormente si definisce estremo superiore di A, se esiste, il minimo dei maggiorant supA = minAmag DEFINIZIONE DI MINIMO E MASSIMO DI UNA FUNZIONE: Siano f una funzione definita in X e x0 ∈ X. x0 è un punto di massimo relativo per f ⇔ esiste un intorno di x0 in cui il massimo di f è f(x0), cioè se ∃ I ∈ I(x0) : f(x0) ≥ f(x) , ∀ x ∈ I ∩ X f(x0) è detto massimo relativo per f. Siano f una funzione definita in X e x0 ∈ X. x0 è un punto di minimo relativo per f ⇔ esiste un intorno di x0 in cui il minimo di f è f(x0), cioè se ∃ I ∈ I(x0) : f(x0) ≤ f(x) , ∀ x ∈ I ∩ X f(x0) è detto minimo relativo per f.

DEFINIZIONE DI FUNZIONE MONOTONA: Siano f una funzione definita in X e x0 un punto di X. Se esiste un intorno di x0 nel quale la funzione è strettamente crescente, si dice che la funzione è strettamente crescente in x0. Se esiste un intorno di x0 nel quale la funzione è strettamente decrescente, si dice che la funzione è strettamente decrescente in x0. se una funzione è strettamente crescente in tutto X allora essa è strettamente crescente in ogni punto di X; viceversa, se una funzione è strettamente crescente in ogni punto di X potrebbe non essere strettamente crescente in tutto X. DEFINIZIONE DI FUNZIONI QUADRATICHE: una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado.

DEFINIZIONE DI CAMPO DI ESISTENZA:Si definisce campo d’esistenza di una funzione

l’insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere la variabile dipendente y. DEFINIZIONE FUNZIONE LOGARITMICA: Si dice funzione logaritmica una funzione che si presenta nella forma y=loga(x)dove la base a è un numero reale positivo diverso da 1. La funzione logaritmica in una determinata base è la funzione inversa della funzione esponenziale nella stessa base. DEFINIZIONE DI FUNZIONE SPONENZIALE: la funzione esponenziale è l'elevamento a potenza con base il numero di Eulero ; la scelta di questo particolare valore è motivata dal fatto che, in questo modo, la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa. Viene solitamente rappresentata come , oppure quando è difficile scrivere la variabile come un esponente.

DEFINIZIONE DI DERIVATA: La nozione di derivata di una funzione viene affrontata per la prima volta dal matematico francese Fermat nel XVII secolo. Fermat cerca di calcolare l'inclinazione ( coefficiente angolare ) della retta tangente nel punto x0 di una curva. Per calcolare il coefficiente angolare della retta è sufficiente conoscere almeno due punti della retta ( es. A e B ). Il rapporto incrementale tra i segmenti BC e AC determina il coefficiente angolare ossia l'inclinazione della retta tangente nel punto X0. Il rapporto tra i segmenti BC e AC è detto rapporto incrementale della retta perché misura il rapporto ΔY/ΔX ossia il tra l'incremento della variabile dipendente ΔY ( segmento BC ) e l'incremento della variabile indipendente ΔX ( segmento AC ). Tuttavia, Si può però calcolare il coefficiente angolare della retta tangente in X0 tramite il rapporto incrementale della funzione f(x). Dato un qualsiasi incremento ΔX della variabile dipendente, si calcola il rapporto incrementale ΔY/ΔX della funzione f(x). Si individua così una retta secante nei punti A e B con inclinazione ΔY/ΔX. Facendo tendere a zero l'incremento ΔX, il coefficiente angolare della retta secante si avvicina progressivamente all'inclinazione della retta tangente nel punto X0. Pertanto, il limite del rapporto incrementale della funzione f(x) per ΔX che tende a zero, eguaglia il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto X0. In questo modo è possibile calcolare l'inclinazione della retta tangente alla curva nel punto X0 anche se si conosce un solo punto della retta. Il valore numerico del coefficiente angolare è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo α compreso tra la retta e l'asse delle ascisse (x). Lo studio del segno della derivata in un punto. Dallo studio del segno della derivata di f(x) in un punto x Quando gli incrementi ΔX e ΔY diventano infinitesimali sono indicati rispettivamente con la notazione dx e dy detta differenziale. Pertanto, la derivata di una funzione può essere scritta nel seguente modo: Lo studio degli incrementi infinitesimali è CONTINUA. DEFINIZIONE DI FUNZIONE DERIVATA: La funzione derivata è la funzione che, se esiste, associa a ogni punto x il valore della derivata della funzione primitiva f(x). E' indicata con la notazione f'(x) oppure Df(x). La derivata di una funzione f(x) è detta derivata prima f'(x). La derivata della funzione prima è detta derivata seconda ed è indicata con la notazione f"(x). Data una funzione f(x)=x2, la derivata prima è f'(x)=2x. La derivata seconda di f(x) è la derivata di f'(x) ossia f"(x)=2. Con lo stesso procedimento si può calcolare la derivata terza. Le derivate di ordine superiori sono utili nello studio della funzione. Ad esempio, la derivata seconda consente di capire la concavità e la convessità della funzione. DEFINIZIONE DI UN LIMITE DI UNA FUNZIONE : il limite di una funzione in un punto X0 di accumulazione[1] per il suo dominio è un modo per esprimere la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento x’ a Indicando con f(x) la funzione,

il limite viene indicato con la notazione: lim x->x0 f(x). In altri termini, lim x->x0 f(x)=l significa che quando il valore di x si avvicina a x0, esprimibile con x->x0, il valore f(x) assunto dalla funzione si avvicina a l, cioè f(x)->l. Il valore l può essere finito (lЄR), infinito (+ ∞) o non esistere affatto. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore....